Radon 变换

Radon 变换是数学上用于函数或图像的一种积分变换，广泛应用于图像处理领域，尤其是在计算机断层成像 (CT) 中。本文档将详细介绍 Radon 变换的数学含义及其在图像处理中的应用。

数学定义

Radon 变换的数学定义是将二维函数 $f(x,y)$ 转换为其在各个角度 $\theta$ 上的投影。设 $f(x,y)$ 是定义在 ${\mathbb{R}}^2$ 上的函数，Radon 变换可以表示为：

R { f } ( p , θ ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) δ ( x cos ⁡ θ + y sin ⁡ θ − p ) d x d y R\{f\}(p,\theta) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \delta(x\cos\theta + y\sin\theta - p) \,dx\,dy R{f}(p,θ)=∫−∞∞​∫−∞∞​f(x,y)δ(xcosθ+ysinθ−p)dxdy

其中，$\delta$ 是 Dirac delta 函数，$p$ 是在角度 $\theta$ 上的投影距离。

更直观地，可以将 Radon 变换理解为：在给定的角度 $\theta$ 上，通过将图像 $f(x,y)$ 沿垂直于 $\theta$ 的方向进行积分，得到在该角度上的投影 R { f } ( p , θ ) R\{f\}(p,\theta) R{f}(p,θ).

性质

Radon 变换具有以下几个重要性质：

1. 线性性质：若 $f$ 和 $g$ 是两个函数，$a$ 和 $b$ 是常数，则有
   R { a f + b g } = a R { f } + b R { g } R\{af + bg\} = aR\{f\} + bR\{g\} R{af+bg}=aR{f}+bR{g}

2. 平移性质：若 $f(x,y)$ 平移了 $(x_0,y_0)$，则其 Radon 变换的结果也是相应平移的。

3. 旋转性质：若 $f(x,y)$ 旋转了角度 $\varphi$，则其 Radon 变换的结果也相应旋转 $\varphi$.

在图像处理中的应用

Radon 变换在图像处理中的应用非常广泛，以下是几个主要应用领域：

1. 计算机断层成像 (CT)

在 CT 成像中，Radon 变换用于从多个角度获取对象内部结构的投影数据。这些投影数据经过反投影算法处理后，可以重建出对象的内部图像。具体步骤如下：

1. 获取投影数据：通过旋转 X 射线源和检测器，获取不同角度的投影数据。
2. Radon 变换：将二维图像 $f(x,y)$ 转换为多个角度的投影 R { f } ( p , θ ) R\{f\}(p,\theta) R{f}(p,θ).
3. 反投影：使用逆 Radon 变换将投影数据 R { f } ( p , θ ) R\{f\}(p,\theta) R{f}(p,θ) 重建回二维图像 $f(x,y)$.

2. 图像复原

在图像复原中，Radon 变换可以用于去噪和增强图像。例如，可以通过分析不同角度的投影数据，识别和去除图像中的噪声，从而提高图像质量。

3. 模式识别

Radon 变换还可以用于模式识别和特征提取。在这类应用中，可以通过分析图像在不同角度的投影数据，提取出特定模式或特征，从而实现图像分类或目标识别。

逆 Radon 变换

逆 Radon 变换用于将投影数据恢复成原始图像。通常使用滤波反投影算法 (Filtered Back Projection, FBP) 来实现。其基本步骤如下：

1. 对投影数据应用滤波操作，通常使用 Ram-Lak 滤波器。
2. 将滤波后的投影数据进行反投影，得到重建图像。

逆 Radon 变换的数学表示为：

f ( x , y ) = ∫ 0 π R { f } ( p , θ ) d θ , f(x,y) = \int_{0}^{\pi} R\{f\}(p,\theta) \, d\theta, f(x,y)=∫0π​R{f}(p,θ)dθ,

其中， R { f } ( p , θ ) R\{f\}(p,\theta) R{f}(p,θ) 是滤波后的投影数据。

示例代码

以下是一个使用 Python 和 Scipy 实现 Radon 变换和逆 Radon 变换的示例代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from skimage.transform import radon, iradon# 生成一个二维图像
image = np.zeros((100, 100))
image[30:70, 30:70] = 1# 执行 Radon 变换
theta = np.linspace(0., 180., max(image.shape), endpoint=False)
sinogram = radon(image, theta=theta, circle=True)# 执行逆 Radon 变换
reconstruction = iradon(sinogram, theta=theta, circle=True)# 显示原始图像、Radon 变换结果和重建图像
fig, (ax1, ax2, ax3) = plt.subplots(1, 3, figsize=(15, 5))
ax1.set_title("Original")
ax1.imshow(image, cmap=plt.cm.Greys_r)
ax2.set_title("Radon Transform\n(Sinogram)")
ax2.set_xlabel("Projection angle (deg)")
ax2.set_ylabel("Projection position (pixels)")
ax2.imshow(sinogram, cmap=plt.cm.Greys_r, aspect='auto')
ax3.set_title("Reconstruction\nfrom Radon transform")
ax3.imshow(reconstruction, cmap=plt.cm.Greys_r)
plt.show()

结果显示：

以上代码展示了用 Scipy 库进行 Radon 变换和逆 Radon 变换，并正确显示原始图像、Radon 变换的结果（正弦图）以及重建图像。

Matlab 例子

为了读者方便，这里再给出一个 Matlab Radon 变换的例子。
以下是一个使用 MATLAB 实现 Radon 变换和逆 Radon 变换的示例代码：

% 生成一个二维图像
image = zeros(100, 100);
image(30:70, 30:70) = 1;% 执行 Radon 变换
theta = 0:179;
[R, xp] = radon(image, theta);% 执行逆 Radon 变换
I = iradon(R, theta);% 显示原始图像、Radon 变换结果和重建图像
figure;
subplot(1,3,1);
imshow(image, []);
title('Original');subplot(1,3,2);
imagesc(theta, xp, R);
xlabel('Projection angle (degrees)');
ylabel('X''');
title('Radon Transform (Sinogram)');subplot(1,3,3);
imshow(I, []);
title('Reconstruction from Radon transform');

运行结果：

效果不错！

续

如果读者有需求，我们将通过一系列博客展示图像处理相关的知识，所有文章均有相应代码实现。请持续关注！

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作者 ：计算小屋
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