一、最小二乘解

$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 经常无解，一般是因为方程太多了。矩阵 $A$ 的行比列要多，即方程要多余未知数（$m>n$）。$n$ 个列只能张成 $m$ 空间的一小部分，除非测量的值都非常完美，否则 $\mathbf{b}$ 将会落在 $A$ 的列空间之外。此时使用消元法将会得到不可能存在的方程，因为测量值包含噪声，我们要找到最优解。
重复：我们不可能能一直把误差 $\mathbf{e}=\mathbf{b}-A\mathbf{x}$ 降为零，当 $\mathbf{e}$ 为零时，$\mathbf{x}$ 是 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的确切解；否则我们要使得 $\mathbf{e}$ 的长度尽可能的小，此时 $\hat{\mathbf{x}}$ 就是最小二乘解（least squares solution）。本节的目的就是计算并使用 $\hat{\mathbf{x}}$，因为有许多实际问题需要答案。
以前强调 $\mathbf{p}$（投影），现在强调 $\hat{\mathbf{x}}$（最小二乘解），它们由 $\mathbf{p}=A\hat{\mathbf{x}}$ 联系起来。基本的方程任然是 $A^{T}A\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}$，这里有一个非正式的方法得到这个 “正态方程”：

$$当A\mathbf{x}=\mathbf{b}没有解时，两边同时左乘A^T然后求解A^{T}A\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}$$

【例1】最小二乘的一个重要应用就是对于 $m$ 个点拟合成一条直线。从三个点开始：求出最接近点 $(0,6),(1,0)$ 和 $(2,0)$ 的直线。
没有任何一条直线可以同时过着三个点，假设直线方程为 $b=C+Dt$，我们要求出两个数字 $C$ 和 $D$，它满足三个方程：$n=2$ 且 $m=3$。这三个方程在 $t=0,1,2$ 时要适配给定的值 $b=6,0,0$：$$\begin{gathered} t=0如果C+D\cdot 0=6，则第一个点在直线b=C+Dt上 \\ t=1如果C+D\cdot 1=0，则第二个点在直线b=C+Dt上 \\ t=2如果C+D\cdot 2=0，则第三个点在直线b=C+Dt上 \end{gathered}$$这个 $3\times 2$ 的系统是没有解的：$\mathbf{b}=(6,0,0)$ 不是列 $(1,1,1)$ 和 $(0,1,2)$ 的线性组合。从这些方程中得到 $A，\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{b}$：$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\\ 1& 2\end{array}\right]\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}C\\ D\end{array}\right]\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}6\\ 0\\ 0\end{array}\right]A\mathbf{x}=\mathbf{b}无解$$我们计算出 $\hat{\mathbf{x}}=(5,-3)$，这两个数字是最好的 $C$ 和 $D$，所以 $5-3t$ 是对于这三个点最优的直线。我们要让投影和最小二乘联系起来，就要解释为什么 $A^{T}A\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}$。
在实际问题中，可能很轻易就有 $m=100$ 个点而不是 $m=3$，它们不会精确的匹配到任何直线 $C+Dt$。本例中的数字 $6,0,0$ 夸大了误差，误差 ${\mathbf{e}}_1，{\mathbf{e}}_2$ 和 ${\mathbf{e}}_3$ 如 Figure 4.6所示。

二、最小化误差

我们如何让误差 $\mathbf{e}=\mathbf{b}-A\mathbf{x}$ 尽可能小呢？这个问题很重要，答案也很美妙。最好的 $\mathbf{x}$（称为 $\hat{\mathbf{x}}$）可以通过几何学（误差 $\mathbf{e}$ 与 $A$ 列空间的夹角是 $90°$）；也可以由代数：$A^{T}A\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}$；还可以通过微积分得到相同的 $\hat{\mathbf{x}}$：误差 $||A\mathbf{x}-\mathbf{b}|{|}^2$ 的导数在 $\hat{\mathbf{x}}$ 处为零。
由几何学： 每个 $A\mathbf{x}$ 都落在由列 $(1,1,1)$ 和 $(0,1,2)$ 所张成的平面内。在这个平面中，我们要找到最靠近 $\mathbf{b}$ 的点，这个最近的点就是投影 $\mathbf{p}$。
$A\hat{\mathbf{x}}$ 最好的选择就是 $\mathbf{p}$，最小的误差是 $\mathbf{e}=\mathbf{b}-\mathbf{p}$，它垂直于 $A$ 的列。这三个点的高度为 $(p_1,p_2,p_3)$ 时，它们是在一条直线上，因为 $\mathbf{p}$ 在 $A$ 的列空间。拟合成一条直线时，$\hat{\mathbf{x}}$ 最好的选择就是 $(C,D)$。
由代数： 每个向量 $\mathbf{b}$ 都可以分为两部分，在列空间中的部分是 $\mathbf{p}$，还有垂直的部分是 $\mathbf{e}$。我们无法求解方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$，但是我们可以求解方程 $A\hat{\mathbf{x}}=\mathbf{p}$（移除 $\mathbf{e}$ 然后求解 $A^{T}A\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}$）：$$A\mathbf{x}=\mathbf{b}=\mathbf{p}+\mathbf{e}无解A\hat{\mathbf{x}}=\mathbf{p}有解\hat{\mathbf{x}}就是(A^{T}A{)}^{-1}{A}^T\mathbf{b}(\mathrm{4.3.1})$$$A\hat{\mathbf{x}}=\mathbf{p}$ 的解得到最小可能误差 $\mathbf{e}$：$$任意\mathbf{x}的长度平方||A\mathbf{x}-\mathbf{b}|{|}^2=||A\mathbf{x}-\mathbf{p}|{|}^2+||\mathbf{e}|{|}^2(\mathrm{4.3.2})$$这就是直角三角形中的勾股定理 $c^2=a^2+b^2$，向量 $A\mathbf{x}-\mathbf{p}$ 在列空间中，它与在左零空间中的 $\mathbf{e}$ 垂直。我们通过选择 $\mathbf{x}=\hat{\mathbf{x}}$ 将 $A\mathbf{x}-\mathbf{p}$ 减小至零，留下了我们不能再减小的最小可能误差 $\mathbf{e}=(e_1,e_2,e_3)$。
注意 “最小” 的意思是 $A\mathbf{x}-\mathbf{b}$ 长度的平方最小化：$$最小二乘解\hat{\mathbf{x}}使得E=||A\mathbf{x}-\mathbf{b}|{|}^2尽可能的小。$$Figure 4.6a 展示了最近的直线，它的误差距离是 $e_1,e_2,e=1,-2,1$。这些都是竖直的距离，最小二乘直线最小化 $E=e_1^2+e_2^2+e_3^2$。
Figure 4.6b 显示了在三维空间（$\mathbf{b},\mathbf{p},\mathbf{e}$ 的空间）中的同样问题。向量 $\mathbf{b}$ 不在 $A$ 的列空间中，这也就是为什么 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的原因，没有任何直线可以同时穿过这三点。最小可能的误差就是垂直向量 $\mathbf{e}=\mathbf{b}-A\hat{\mathbf{x}}$，误差向量 $(1,-2,1)$ 在这三个方程中，它就是与这条最优直线的垂直距离。这两张图的背后就是基本方程 $A^{T}A\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}$。
注意误差 $1,-2,1$ 相加等于零。这是因为：误差 $\mathbf{e}=(e_1,e_2,e_3)$ 垂直于 $A$ 的第一列 $(1,1,1)$，它们的点积就是 $e_1+e_2+e_3=0$。
由微积分： 大部分函数的最小值都是用微积分解决！图形降到最低点并且在每一个方向的导数都为零。这里要使得误差函数 $E$ 最小化，$E$ 就是平方和 $e_1^2+e_2^2+e_3^2$（每个方程中误差的平方）：$$E=||A\mathbf{x}-\mathbf{b}|{|}^2=(C+D\cdot 0-6{)}^2+(C+D\cdot 1{)}^2+(C+D\cdot 2{)}^2(\mathrm{4.3.3})$$未知数是 $C$ 和 $D$，两个未知数有两个偏导数，它们在极小值处都为零。称为偏导数是因为求 $\frac{\partial E}{\partial C}$ 时将 $D$ 当做常数，求 $\frac{\partial E}{\partial D}$ 时将 $C$ 当做常数：$$\begin{gathered} \frac{\partial E}{\partial C}=2(C+D\cdot 0-6)+2(C+D\cdot 1)+2(C+D\cdot 2)=0 \\ \frac{\partial E}{\partial D}=2(C+D\cdot 0-6)\cdot (0)+2(C+D\cdot 1)\cdot (1)+2(C+D\cdot 2)\cdot (2)=0 \end{gathered}$$因为求导的链式法则，$\frac{\partial E}{\partial D}$ 含有额外的因子 $0,1,2$（最后的 $(C+2D{)}^2$ 的导数是 $2$ 乘 $C+2D$ 再乘 $2$）。这些因子在 $\frac{\partial E}{\partial C}$ 中就是 $1,1,1$。
毫无意外的 $||A\mathbf{x}-\mathbf{b}||$ 导数的因子 $1,1,1$ 和 $0,1,2$ 就是 $A$ 的列，现在消去每一项的 $2$ 然后将 $C$ 和 $D$ 的同类项进行合并：$$\begin{array}{c}C的导数为零：3C+3D=6\\ D的导数为零：3C+5D=0\end{array}矩阵\left[\begin{array}{cc}3& 3\\ 3& 5\end{array}\right]就是A^{T}A(\mathrm{4.3.4})$$这些方程与 $A^{T}A\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}$ 完全相同。 最优的 $C$ 和 $D$ 就是 $\hat{\mathbf{x}}$ 的分量。从微积分得到的方程与从线性代数得到的 “正规方程” 完全一致。这是最小二乘的关键方程：

$$当A^{T}A\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}时，||A\mathbf{x}-\mathbf{b}|{|}^2的偏导数为零。$$

解是 $C=5，D=-3$，因此 $b=5-3t$ 就是最优的直线 —— 它与这三点最近。当 $t=0,1,2$ 时，这条直线经过 $\mathbf{p}=5,2,-1$，它不通过 $\mathbf{b}=6,0,0$。误差是 $1,-2,1$，就是误差向量 $\mathbf{e}$！

三、最小二乘的大图

Figure 4.3 是关键的一张图，它显示了 $4$ 个基本子空间和矩阵的真正作用，左边的向量 $\mathbf{x}$ 到右边的 $\mathbf{b}=A\mathbf{x}$，这张图将 $\mathbf{x}$ 分成 ${\mathbf{x}}_r+{\mathbf{x}}_n$，$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 可能存在很多解。
现在的情况与上述正好相反，$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 无解，这里我们不再分解 $\mathbf{x}$，而是将 $\mathbf{b}$ 分成 $\mathbf{b}=\mathbf{p}+\mathbf{e}$。Figure 4.7 显示了最小二乘的大图，我们不解 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$,而是求解 $A\hat{\mathbf{x}}=\mathbf{p}$，误差 $\mathbf{e}=\mathbf{b}-\mathbf{p}$ 无法避免。
注意这里的零空间 $N(A)$ 很小 —— 仅有一个点，这是因为 $A$ 的列线性无关，$A\mathbf{x}=0$ 的唯一解就是 $\mathbf{x}=0$，此时 $A^{T}A$ 是可逆的。方程 $A^{T}A\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}$ 就决定了最优向量 $\hat{\mathbf{x}}$，对于误差有 $A^T\mathbf{e}=0$。

四、拟合一条直线

最小二乘最常见的应用就是拟合一条直线，从 $m>2$ 个点开始，希望找到一条最接近这些点的直线。在时间点 $t_1,t_2,\cdots ,t_m$ 时，这 $m$ 个点的高度是 $b_1,b_2,\cdots ,b_m$。最优直线 $C+Dt$ 距这些点的垂直距离是 $e_1,e_2,\cdots ,e_m$。没有完全经过这些点的直线，我们要使得这些误差的平方 $E=e_1^2+e_2^2+\cdots +e_m^2$ 最小。
第一个例子是 Figure 4.6 中的三点问题，现在我们将允许 $m$ 个点（$m$ 可以很多），$\hat{\mathbf{x}}$ 的两个分量仍然是 $C$ 和 $D$。
如果我们要求 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的确切解时，它需要一条完全通过这 $m$ 个点的直线，通常这是不现实的。两个未知数 $C$ 和 $D$ 决定了一条直线，所以 $A$ 仅有 $n=2$ 列。为了拟合这 $m$ 个点，我们需要求解 $m$ 个方程（但是只有两个未知数！）$$A\mathbf{x}=\mathbf{b}是\begin{array}{c}C+D{t}_1=b_1\\ C+D{t}_2=b_2\\ ⋮\\ C+D{t}_m=b_m\end{array}其中A=\left[\begin{array}{cc}1& t_1\\ 1& t_2\\ ⋮& ⋮\\ 1& t_m\end{array}\right](\mathrm{4.3.5})$$$A$ 的列空间很细，这使得大部分的 $\mathbf{b}$ 都落在列空间外。如果 $\mathbf{b}$ 恰好落在列空间中，那么这些点就很正好落在一条直线上。这种情况下 $\mathbf{b}=\mathbf{p}$，$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 可解，误差是 $\mathbf{e}=(0,0,\cdots ,0)$。$$\begin{array}{l}最接近的直线C+Dt的高度是p_1,p_2,\cdots ,p_m，误差是e_1,e_2,\cdots ,e_m.\\ 求解A^{T}A\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}，得到\hat{\mathbf{x}}=(C,D)，误差是e_i=b_i-C-D{t}_i.\end{array}$$直线拟合非常重要，我们给定方程 $A^{T}A\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}$，$A$ 的两列是线性无关的（除非所有的点 $t_i$ 都一样），我们转到最小二乘并求解 $A^{T}A\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}$。$$点积矩阵A^{T}A=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ t_1& t_2& \cdots & t_m\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& t_1\\ 1& t_2\\ ⋮& ⋮\\ 1& t_m\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}m& \sum t_i\\ \sum t_i& \sum t_i^2\end{array}\right](\mathrm{4.3.6})$$正规方程的右侧是 $2\times 1$ 的向量 $A^T\mathbf{b}$：$$A^T\mathbf{b}=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ t_1& t_2& \cdots & t_m\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\sum b_i\\ \sum t_i{b}_i\end{array}\right](\mathrm{4.3.7})$$在特定问题中，这些数字都是给定的，最优的 $\hat{\mathbf{x}}=(C,D)$ 是 $(A^{T}A{)}^{-1}{A}^T\mathbf{b}$.

当 $A^{T}A\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}$ 时，直线 $C+Dt$ 使得 $e_1^2+e_2^2+\cdots +e_m^2=||A\mathbf{x}-\mathbf{b}|{|}^2$ 最小：$$A^{T}A\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}\left[\begin{array}{cc}m& \sum t_i\\ \sum t_i& \sum t_i^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}C\\ D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\sum b_i\\ \sum t_i{b}_i\end{array}\right](\mathrm{4.3.8})$$

这 $m$ 个点与这条直线的垂直误差是 $\mathbf{e}=\mathbf{b}-\mathbf{p}$ 的分量，这个误差向量 $\mathbf{b}-A\hat{\mathbf{x}}$ 与 $A$ 的列是垂直的（几何学），误差向量在 $A^T$ 的零空间中（线性代数）。最优的 $\hat{\mathbf{x}}=(C,D)$ 使得总误差 $E$ 最小，即平方和最小（微积分）：$$E(\mathbf{x})=||A\mathbf{x}-\mathbf{b}|{|}^2=(C+D{t}_1-b_1{)}^2+(C+D{t}_2-b_2)+\cdots (C+D{t}_m-b_m{)}^2$$微积分中令 $\frac{\partial E}{\partial C}$ 和 $\frac{\partial E}{\partial D}$ 等于零，就可以得到 $A^{T}A\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}$。
其它的最小二乘问题未知数可能多于两个，拟合成最优的抛物线有 $n=3$ 个系数 $C,D,E$。一般情况下，我们用 $n$ 个参数拟合 $m$ 个数据点，矩阵 $A$ 有 $n$ 列，且 $n<m$。$||A\mathbf{x}-\mathbf{b}|{|}^2$ 的导数可以得到 $n$ 个方程 $A^{T}A\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}$。平方的导数是线性的。这就是为什么最小二乘法会流行。

【例2】当测量的时间点 $t_i$ 的和为零时，$A$ 有正交列。假设在时间点 $t=-2,0,2$ 时 $b=1,2,4$，这些时间点相加为零。$A$ 的列点积为零：$(1,1,1)$ 与 $(-2,0,2)$ 正交。$$\begin{array}{l}C+D(-2)=1\\ C+D(0)=2\\ C+D(2)=4\end{array}或A\mathbf{x}=\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 1& 0\\ 1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}C\\ D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 4\end{array}\right]$$当 $A$ 的列正交时，$A^{T}A$ 是一个对角矩阵：$$A^{T}A\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}是\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 8\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}C\\ D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}7\\ 6\end{array}\right](\mathrm{4.3.9})$$重点：因为 $A^{T}A$ 是对角矩阵，我们可以分开求出 $C=\frac{7}{3}$，$D=\frac{6}{8}$。$A^{T}A$ 中的零是 $A$ 垂直列的点积。这个对角矩阵 $m=3$，$t_1^2+t_2^2+t_3^2=8$，它与单位矩阵基本上有差不多的性质。
正交矩阵非常有用，我们可以通过减去时间的平均 $\bar{t}=(t_1+t_2+\cdots +t_m)/m$ 来进行时间的移位。如果原始时间点是 $1,3,5$，则它们的平均值是 $\bar{t}=3$，平移后的时间点 $T=t-\bar{t}=t-3$，它们的和是零！$$\begin{array}{l}{T}_1=1-3=-2\\ T_2=3-3=0\\ T_3=5-3=2\end{array}{A}_{new}=\left[\begin{array}{cc}1& T_1\\ 1& T_2\\ 1& T_3\end{array}\right]A_{new}^T{A}_{new}=\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 8\end{array}\right]$$此时 $C$ 和 $D$ 可以由简单的方程（4.3.9）直接得到，最优的直线 $C+DT$ 就是 $C+D(t-\bar{t})=C+D(t-3)$。

五、A 有相关列：$\hat{\mathbf{x}}$ 是什么？

从一开始，我们就假设 $A$ 的列是无关的，那么 $A^{T}A$ 可逆，$A^{T}A\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}$ 可以得到 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的最小二乘解。
如果 $A$ 有相关列，最优的 $\hat{\mathbf{x}}$ 是什么呢？下面是一个特殊的例子：测量值 $b_1=3$ 和 $b_2=1$ 都是在相同的时间点 $T$ ！直线 $C+Dt$ 不可能同时经过这两个点。此时我们将 $\mathbf{b}=(3,1)$ 投影到 $A$ 的列空间得到 $\mathbf{p}=(2,2)$，这样就把方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 变成了 $A\hat{\mathbf{x}}=\mathbf{p}$，将一个无解的方程变成了一个又无穷多解的方程，这个问题的原因就是 $A$ 有相关列且 $(1,-1)$ 在它的零空间中。
我们应该选择哪个解 $\hat{\mathbf{x}}$ 呢？图中所有的虚线在 $T=1$ 处都有两个误差 $1$ 和 $-1$，误差 $\mathbf{e}=\mathbf{b}-\mathbf{p}=(1,-1)$ 需要尽可能小，但是这里我们无法知道哪条是最优的直线。
在直觉上会选择高度为 $2$ 的水平线，如果最优直线的方程是 $b=C+Dt$，则可以选择 ${\hat{x}}_1=C=2$，${\hat{x}}_2=D=0$，如果最优方程是 $b=ct+d$（交换了一下 $C$ 和 $D$ 的位置），则水平线有 ${\hat{x}}_1=c=0$，${\hat{x}}_2=d=2$，即不同的 $\hat{\mathbf{x}}$ 得到了相同的直线！这样同样无法选择最优的 $\hat{\mathbf{x}}.$
$A$ 的 “伪逆矩阵（pseudoinverse）” 会选出 $A\hat{\mathbf{x}}=\mathbf{p}$ 的最短解。这里的最短解是 ${\mathbf{x}}^{+}=(1,1)$，它是 $A$ 行空间中的特解，${\mathbf{x}}^{+}$ 的长度是 $\sqrt{2}$（上述两个 $\hat{\mathbf{x}}=(2,0)$ 和 $(0,2)$ 的长度都为 $2$）。
当 $A$ 的列无关时，零空间仅包含零向量，伪逆矩阵就是我们正常的左逆矩阵 $L=(A^{T}A{)}^{-1}{A}^T$。
注意：MATLAB 的奇异矩阵得到的是 $\text{Inf}$ 或 $\text{NaN}$（Not a Number）或 $10^{16}$（不好的数），每种情况都会出现警告！$\text{Inf}$ 和 $\text{NaN}$ 和 $10^{16}$ 可能是来自 $0\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 和$0\mathbf{x}=0$ 和 $10^{-16}\mathbf{x}=1$。
这三个例子是三大困难：奇异且无解，奇异有无穷多解，非常非常接近奇异。

六、抛物线拟合

如果我们扔出去一颗球，要用一条直线去拟合球的轨迹是疯狂的行为。一条抛物线 $b=C+Dt+E{t}^2$ 将允许这个球先向上再向下（$b$ 是在时间 $t$ 时的高度）。实际轨迹并不是一条完美的抛物线，但是投影的全部定理都是由近似开始的。
当伽利略从比萨斜塔扔下一块石头开始，它会加速，距离包含一个二次项 $\frac{1}{2}g{t}^2$（伽利略的观点与石头的重量无关）。如果没有 $t^2$ 我们将无法将卫星送入轨道。尽管这里出现了一个非线性函数 $t^2$，未知数 $C,D,E$ 仍然是线性的！最优抛物线的拟合仍然是线性代数的一个问题。
问题： 在时间 $t_1,t_2,\cdots ,t_m$ 时，高度是 $b_1,b_2,\cdots ,b_m$，用一条抛物线拟合这些点。
解： 当 $m>3$ 个点时，这 $m$ 个方程一般是无解的：$$\begin{array}{c}C+D{t}_1+E{t}_1^2=b_1\\ C+D{t}_2+E{t}_2^2=b_2\\ \cdots \\ C+D{t}_m+E{t}_m^2=b_m\end{array}\begin{array}{c}是A\mathbf{x}=\mathbf{b}，其中\\ A是m\times 3的矩阵\end{array}A=\left[\begin{array}{ccc}1& t_1& t_1^2\\ 1& t_2& t_2^2\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ 1& t_m& t_m^2\end{array}\right](\mathrm{4.3.10})$$最小二乘： 最接近的抛物线 $C+Dt+E{t}^2$ 是 $\hat{\mathbf{x}}=(C,D,E)$ 满足三个正规方程 $A^{T}A\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}$。
下面将这个变成投影问题：$A$ 的列空间维度是 $3$，$\mathbf{b}$ 的投影是 $\mathbf{p}=A\hat{\mathbf{x}}$，其中 $\mathbf{p}$ 是系数 $C,D,E$ 对三列进行组合。第一个数据点的误差是 $e_1=b_1-C-D{t}_1-E{t}_1^2$，误差的总平方和是 $e_1^2+e_2^2+\cdots +e_m^2$。如果用微积分来最小化误差，就是计算 $E$（误差总的平方和，与系数 $E$ 不同）对于 $C,D,E$ 的偏导数，当 $\hat{\mathbf{x}}=(C,D,E)$ 是 $A^{T}A\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}$ 这个 $3\times 3$ 的方程系统的解时，这三个偏导数等于零。
傅里叶级数也是最小二乘的应用 —— 这里是近似函数而不是近似向量，函数的近似从误差的平方和 $e_1^2+e_2^2+\cdots +e_m^2$ 变成了误差平方的积分。

【例3】一个抛物线 $b=C+Dt+E{t}^2$ 当 $t=0,1,2$ 时，经过三个高度 $b=6,0,0$，关于 $C,D,E$ 的三个方程是$$\begin{array}{c}C+D\cdot 0+E\cdot 0^2=6\\ C+D\cdot 1+E\cdot 1^2=0\\ C+D\cdot 2+E\cdot 2^2=0\end{array}(\mathrm{4.3.11})$$这个就是 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$，它是有解的，这三个数据点得到三个方程和一个方阵，解是 $\mathbf{x}=(C,D,E)=(6,-9,3)$，如 Figure 4.8a 所示，这条抛物线 $b=6-9t+3t^2$ 通过这三个点。
上述对于投影来说意味着什么？矩阵有三列，它张成整个 ${\text{R}}^3$ 空间，投影矩阵就是单位矩阵，$\mathbf{b}$ 的投影就是 $\mathbf{b}$，误差是零。这里不需要 $A^{T}A\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}$，因为 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有解。当然两边也可以左乘 $A^T$，只是我们没什么理由这样做。
Figure 4.8 显示了在 $t_4$ 时刻的第四点是 $b_4$，如果它正好落在抛物线上，则新的 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$（$4$ 个方程）任然有解，如果第四点不在抛物线上，我们就需要 $A^{T}A\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}$，那么最小二乘的抛物线就不一定让四个点都落在它上面。
最小二乘会平衡四个误差得到三个关于 $C,D,E$ 的方程。

七、主要内容总结

1. 最小二乘解 $\hat{\mathbf{x}}$ 使得 $||A\mathbf{x}-\mathbf{b}|{|}^2={\mathbf{x}}^T{A}^{T}A\mathbf{x}-2{\mathbf{x}}^T{\mathbf{A}}^T\mathbf{b}+{\mathbf{b}}^T\mathbf{b}$ 最小，这个就是 $E$，它是 $m$ 个方程误差的平方和（$m>n$）。
2. 最优的 $\hat{\mathbf{x}}$ 由正规方程 $A^{T}A\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}$ 得来，$E$ 是最小值。
3. 通过直线 $b=C+Dt$ 拟合 $m$ 个点，正规方程可以得到 $C$ 和 $D$。
4. 最优直线的高度是 $\mathbf{p}=(p_1,p_2,\cdots ,p_m)$，和数据点的竖直距离就是误差 $\mathbf{e}=(e_1,e_2,\cdots ,e_m)$，关键方程是 $A^T\mathbf{e}=0$。
5. 如果有 $m$ 个数据点（$m>n$），我们可以得到 $n$ 个方程，这 $n$ 个方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 通常是无解的。但是 $n$ 个 $A^{T}A\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}$ 方程可以得到最小二乘解 —— 最小 MSE（均方值：mean square error）的组合。

八、例题

【例4】在时刻 $t=1,2,\cdots ,9$ 时， $9$ 个测量值 $b_1$ 到 $b_9$ 全为零。第 $10$ 个测量值 $b_{10}=40$，它是一个离群值。找到一条最优的水平直线 $y=C$ 来拟合这 $10$ 个点 $(1,0),(2,0),\cdots ,(9,0),(10,40)$，使用下面三种情况的误差 $E$：
（1）最小二乘误差 $E_2=e_1^2+e_2^2+\cdots +e_{10}^2$（$C$ 的正规方式是线性的）
（2）最小极大误差（least maximum error） $E_{\infty }=|e_{\text{max}}|$
（3）最小误差和 $E_1=|e_1|+|e_2|+\cdots +|e_{10}|$
解： （1）最小二乘法对 $0,0,\cdots ,0,40$ 这 $10$ 个点拟合出来的水平直线是 $C=4$：$$A是10\times 1的全1矩阵A^{T}A=10A^T\mathbf{b}=\sum _{i=1}^{10}{b}_i=40所以10C=40$$（2）最小极大误差是 $C=20$，是 $0$ 和 $40$ 的一半。
（3）最小误差和是 $C=0$。误差和是 $9|C|+|40-C|$，可得当 $C=0$ 时最小。
最小和来自中位测量（median measurement），$0,0,\cdots ,0,40$ 的中位数是 $0$。统计学中，最小二乘解受离群值影响很大，例如此例中的 $b_{10}=40$，有时使用最小误差和会比较好。但是这样的话，方程就是一个非线性的了。
下面使用最小二乘法用一条直线 $C+Dt$ 来拟合这 $10$ 个点，$(1,0)$ 到 $(10,40)$： $$A^{T}A=\left[\begin{array}{cc}10& \sum t_i\\ \sum t_i& \sum t_i^2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}10& 55\\ 55& 385\end{array}\right]A^T\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}\sum b_i\\ \sum t_i{b}_i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}40\\ 400\end{array}\right]$$这些就是由方程（4.3.8）而来，然后求解 $A^{T}A\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}$，得到 $C=-8，D=24/11$。
如果将 $\mathbf{b}=(0,0,\cdots ,40)$ 乘上 $3$ 再加上 $30$ 得到 ${\mathbf{b}}_{\text{new}}=(30,30,\cdots ,150)$，那么 $C$ 和 $D$ 会发生什么样的变化呢？线性将允许我们重新设定 $\mathbf{b}$ 的比例，$3$ 乘 $\mathbf{b}$ 可以得到 $C$ 和 $D$ 都乘 $3$，对所有的 $b_i$ 都加上 $30$，相当于对 $C$ 加上 $30$，得到新的 $C_{\text{new}}=3C+30=6$，$D_{\text{new}}=3D=72/11$。

【例5】在时刻 $t=-2,-1,0,1,2$ 时，$\mathbf{b}=(0,0,1,0,0)$，找到一条离这些点最近（最小二乘误差）的抛物线 $C+Dt+E{t}^2$。首先写出 $5$ 个方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$，它有三个未知数 $\mathbf{x}=(C,D,E)$，这些方程分别过这 $5$ 个点。但是它们没有解，因为并不存在这样的抛物线，我们要求解 $A^{T}A\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}$。
这里可以预测 $D=0$，最优的抛物线应该是关于 $t=0$ 对称。在 $A^{T}A\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}$ 中，方程 $2$ 中的 $D$ 与方程 $1$ 和 $3$ 是解耦的。
解： $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的 $5$ 个方程有一个矩形的范德蒙德（Vandermonde）矩阵 $A$：$$\begin{array}{c}C+D(-2)+E(-2{)}^2=0\\ C+D(-1)+E(-1{)}^2=0\\ C+D(0)+E(0{)}^2=1\\ C+D(1)+E(1{)}^2=0\\ C+D(2)+E(2{)}^2=0\end{array}A=\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 4\\ 1& -1& 1\\ 1& 0& 0\\ 1& 1& 1\\ 1& 2& 4\end{array}\right]A^{T}A=\left[\begin{array}{ccc}5& 0& 10\\ 0& 10& 0\\ 10& 0& 34\end{array}\right]$$$A^{T}A$ 中的零表示 $A$ 的列 $2$ 和它的列 $1$ 和列 $3$ 正交，在 $A$ 中可以直接看出来（时间 $-2,-1,0,1,2$ 是对称的）。抛物线 $C+Dt+E{t}^2$ 中最优的 $C,D,E$ 由 $A^{T}A\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}$ 解得，这里 $D$ 和 $C$ 与 $E$ 是解耦的：$$\left[\begin{array}{ccc}5& 0& 10\\ 0& 10& 0\\ 10& 0& 34\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}C\\ D\\ E\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]解得\begin{array}{l}C=\frac{17}{35}\\ D=0，与预测一致\\ E=-\frac{1}{7}\end{array}$$