图论总结篇

从深搜广搜 到并查集，从最小生成树到拓扑排序， 最后是最短路算法系列。至此算上本篇，一共30篇文章，图论之旅就在此收官了。在0098.所有可达路径 ，我们接触了两种图的存储方式，邻接表和邻接矩阵，掌握两种图的存储方式很重要。图的存储方式也是大家习惯在核心代码模式下刷题 经常忽略的 知识点。因为在力扣上刷题不需要掌握图的存储方式。

深搜与广搜

在二叉树章节中，其实我们讲过了 深搜和广搜在二叉树上的搜索过程。在图论章节中，深搜与广搜就是在图这个数据结构上的搜索过程。深搜与广搜是图论里基本的搜索方法，大家需要掌握三点：搜索方式：深搜是可一个方向搜，不到黄河不回头。 广搜是围绕这起点一圈一圈的去搜。代码模板：需要熟练掌握深搜和广搜的基本写法。应用场景：图论题目基本上可以即用深搜也可用广搜，无疑是用哪个方便而已

注意事项

需要注意的是，同样是深搜模板题，会有两种写法。在0099.岛屿的数量深搜.md 和 0105.有向图的完全可达性，涉及到dfs的两种写法。我们对dfs函数的定义是 是处理当前节点 还是处理下一个节点 很重要，决定了两种dfs的写法。这也是为什么很多录友看到不同的dfs写法，结果发现提交都能过的原因。而深搜还有细节，有的深搜题目需要用到回溯的过程，有的就不用回溯的过程，一般是需要计算路径的问题 需要回溯，如果只是染色问题（岛屿问题系列） 就不需要回溯。例如： 0105.有向图的完全可达性 深搜就不需要回溯，而 0098.所有可达路径 中的递归就需要回溯，文章中都有详细讲解注意：以上说的是不需要回溯，不是没有回溯，只要有递归就会有回溯，只是我们是否需要用到回溯这个过程，这是需要考虑的。很多录友写出来的广搜可能超时了， 例如题目：0099.岛屿的数量广搜根本原因是只要 加入队列就代表 走过，就需要标记，而不是从队列拿出来的时候再去标记走过。具体原因，我在0099.岛屿的数量广搜 中详细讲了。在深搜与广搜的讲解中，为了防止惯性思维，我特别加入了题目 0106.岛屿的周长，提醒大家，看到类似的题目，也不要上来就想着深搜和广搜。还有一些图的问题，在题目描述中，是没有图的，需要我们自己构建一个图，例如 0110.字符串接龙，题目中连线都没有，需要我们自己去思考 什么样的两个字符串可以连成线。

并查集

并查集相对来说是比较复杂的数据结构，其实他的代码不长，但想彻底学透并查集，需要从多个维度入手，我在理论基础篇的时候 讲解如下重点：为什么要用并查集，怎么不用个二维数据，或者set、map之类的。
并查集能解决那些问题，哪些场景会用到并查集
并查集原理以及代码实现
并查集写法的常见误区
带大家去模拟一遍并查集的过程
路径压缩的过程
时间复杂度分析
上面这几个维度 大家都去思考了，并查集基本就学明白了。其实理论基础篇就算是给大家出了一道裸的并查集题目了，所以在后面的题目安排中，会稍稍的拔高一些，重点在于并查集的应用上。例如 并查集可以判断这个图是否是树，因为树的话，只有一个根，符合并查集判断集合的逻辑，题目：0108.冗余连接。在0109.冗余连接II 中 对有向树的判断难度更大一些，需要考虑的情况比较多。

最小生成树

最小生成树是所有节点的最小连通子图， 即：以最小的成本（边的权值）将图中所有节点链接到一起。最小生成树算法，有prim 和 kruskal。prim 算法是维护节点的集合，而 Kruskal 是维护边的集合。在 稀疏图中，用Kruskal更优。 在稠密图中，用prim算法更优。边数量较少为稀疏图，接近或等于完全图（所有节点皆相连）为稠密图Prim 算法 时间复杂度为 O(n^2)，其中 n 为节点数量，它的运行效率和图中边树无关，适用稠密图。Kruskal算法 时间复杂度 为 O(nlogn)，其中n 为边的数量，适用稀疏图。关于 prim算法，我自创了三部曲，来帮助大家理解：第一步，选距离生成树最近节点第二步，最近节点加入生成树第三步，更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组）大家只要理解这三部曲， prim算法 至少是可以写出一个框架出来，然后在慢慢补充细节，这样不至于 自己在写prim的时候 两眼一抹黑 完全凭感觉去写。minDist数组 是prim算法的灵魂，它帮助 prim算法完成最重要的一步，就是如何找到 距离最小生成树最近的点。kruscal的主要思路：边的权值排序，因为要优先选最小的边加入到生成树里
遍历排序后的边
如果边首尾的两个节点在同一个集合，说明如果连上这条边图中会出现环
如果边首尾的两个节点不在同一个集合，加入到最小生成树，并把两个节点加入同一个集合
而判断节点是否在一个集合 以及将两个节点放入同一个集合，正是并查集的擅长所在。所以 Kruskal 是需要用到并查集的。这也是我在代码随想录图论编排上 为什么要先 讲解 并查集 在讲解 最小生成树。

拓扑排序

拓扑排序 是在图上的一种排序。概括来说，给出一个 有向图，把这个有向图转成线性的排序 就叫拓扑排序。同样，拓扑排序也可以检测这个有向图 是否有环，即存在循环依赖的情况。拓扑排序的一些应用场景，例如：大学排课，文件下载依赖 等等。只要记住如下两步拓扑排序的过程，代码就容易写了：找到入度为0 的节点，加入结果集将该节点从图中移除## 最短路算法```py
至此已经讲解了四大最短路算法，分别是Dijkstra、Bellman_ford、SPFA 和 Floyd。针对这四大最短路算法，我用了七篇长文才彻底讲清楚，分别是：dijkstra朴素版dijkstra堆优化版Bellman_fordBellman_ford 队列优化算法（又名SPFA）bellman_ford 算法判断负权回路bellman_ford之单源有限最短路Floyd 算法精讲启发式搜索：A * 算法最短路算法比较复杂，而且各自有各自的应用场景，我来用一张表把讲过的最短路算法的使用场景都展现出来：（因为A * 属于启发式搜索，和上面最短路算法并不是一类，不适合一起对比，所以没有放在一起）可能有同学感觉：这个表太复杂了，我记也记不住。其实记不住的原因还是对 这几个最短路算法没有深刻的理解。这里我给大家一个大体使用场景的分析：如果遇到单源且边为正数，直接Dijkstra。至于 使用朴素版还是 堆优化版 还是取决于图的稠密度， 多少节点多少边算是稠密图，多少算是稀疏图，这个没有量化，如果想量化只能写出两个版本然后做实验去测试，不同的判题机得出的结果还不太一样。一般情况下，可以直接用堆优化版本。如果遇到单源边可为负数，直接 Bellman-Ford，同样 SPFA 还是 Bellman-Ford 取决于图的稠密度。一般情况下，直接用 SPFA。如果有负权回路，优先 Bellman-Ford， 如果是有限节点最短路 也优先 Bellman-Ford，理由是写代码比较方便。如果是遇到多源点求最短路，直接 Floyd。除非 源点特别少，且边都是正数，那可以 多次 Dijkstra 求出最短路径，但这种情况很少，一般出现多个源点了，就是想让你用 Floyd 了。对于A * ，由于其高效性，所以在实际工程应用中使用最为广泛 ，由于其 结果的不唯一性，也就是可能是次短路的特性，一般不适合作为算法题。游戏开发、地图导航、数据包路由等都广泛使用 A * 算法。

最短路算法是图论中，比较复杂的算法，而且不同的最短路算法都有不同的应用场景。

我在 最短路算法总结篇 里已经做了一个高度的概括。

大家要时常温故而知新，才能透彻理解各个最短路算法。

## 总结
```py
到最后，图论终于剧终了，相信这是市面上大家能看到最全最细致的图论讲解教程。图论也是我 《代码随想录》所有章节里 所费精力最大的一个章节。只为了不负录友们的期待。 大家加油