线性近似

我们已经看到，在切点附近，曲线与其切线非常接近。事实上，通过放大可微函数图上的某一点，我们注意到图形看起来越来越像它的切线（见图）。这一观察是找到函数近似值的方法的基础。

这个想法是，计算函数 $f(a)$ 的值可能很容易，但计算 $f$ 的附近值却很困难（甚至不可能）。因此，我们使用易于计算的线性函数 $L$，其图像是 $f$ 在 $(a,f(a))$ 处的切线（见图）。

换句话说，我们使用 $(a,f(a))$ 处的切线来近似曲线 $y=f(x)$ 当 $x$ 接近 $a$ 时。这个切线的方程是：

$$y=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$$

这个近似

$$f(x)\approx f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$$

称为 $f$ 在 $a$ 处的线性近似或切线近似。其图像是这条切线的线性函数，即

$$L(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$$

称为 $f$ 在 $a$ 处的线性化。

示例1：找到在 $a=1$ 处函数 $f(x)=\sqrt{x+3}$ 的线性函数，并使用它来近似数值 $\sqrt{3.98}$ 和 $\sqrt{4.05}$。这些近似是高估还是低估了真实值？

解答

1. 函数 (f(x) = \sqrt{x + 3}) 的导数：

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}(x+3{)}^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x+3}}$$

2. 在 $a=1$ 处的函数值和导数值：$f(1)=2$, $f^{\prime }(1)=\frac{1}{4}$

3. 线性化公式：

$$L(x)=f(1)+f^{\prime }(1)(x-1)=2+\frac{1}{4}(x-1)=\frac{7}{4}+\frac{x}{4}$$

4. 对应的线性近似：

$$\sqrt{x+3}\approx \frac{7}{4}+\frac{x}{4}\text{(当 x 接近 1 时)}$$

5. 特别地，对于 (\sqrt{3.98}) 和 (\sqrt{4.05}) 的近似：

$$\sqrt{3.98}\approx \frac{7}{4}+\frac{0.98}{4}=1.995$$

$$\sqrt{4.05}\approx \frac{7}{4}+\frac{1.05}{4}=2.0125$$

6. 如图所示
   
   

示例2：对于哪些 $x$ 值，线性近似 $\sqrt{x+3}\approx \frac{7}{4}+\frac{x}{4}$ 在$0.5$的精度范围内是准确的？在$0.1$的精度范围内呢？

解答

在$0.5$的精度范围内准确意味着函数的差异应小于$0.5$：

$$\left|\sqrt{x+3}-\left(\frac{7}{4}+\frac{x}{4}\right)\right|<0.5$$

等价地，我们可以写成：

$$\sqrt{x+3}-0.5<\frac{7}{4}+\frac{x}{4}<\sqrt{x+3}+0.5$$

这意味着线性近似应该位于通过将曲线 $y=\sqrt{x+3}$ 上下移动$0.5$单位得到的曲线之间。图中显示了切线 $y=\frac{7+x}{4}$ 与上曲线 $y=\sqrt{x+3}+0.5$ 在点 $P$ 和 $Q$ 的交点。通过放大和使用光标，我们估计 $P$ 的 $x$ 坐标约为 -2.66，$Q$ 的 $x$ 坐标约为 $8.66$。因此，我们从图中可以看到，当 $-2.66<x<8.6$ 时，近似

$$\sqrt{x+3}\approx \frac{7}{4}+\frac{x}{4}$$

在0.5的精度范围内是准确的。（为了安全起见，我们将-2.66向上取整，将8.66向下取整。）

类似地，从图中我们可以看到，当 $-1.1<x<3.9$ 时，近似在0.1的精度范围内是准确的。

微分

线性近似背后的思想有时用微分的术语和符号来表述。如果 $y=f(x)$，其中 $f$ 是一个可微函数，那么微分 $dx$ 是一个独立变量；即 $dx$ 可以赋予任意实数值。微分 $dy$ 通过下面的公式定义为

$$dy=f^{\prime }(x)dx$$

所以 $dy$ 是一个依赖变量；它取决于 $x$ 和 $dx$ 的值。如果 $dx$ 被赋予一个特定的值，并且 $x$ 被取为函数 $f$ 定义域内的某个特定数，那么 $dy$ 的数值就被确定了。

微分的几何意义如图所示。令 $P(x,f(x))$ 和 $Q(x+\Delta x,f(x+\Delta x))$ 为函数 $f$ 图上的点，并令 $dx=\Delta x$。相应的 $y$ 的变化是

$$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$$

切线 $PR$ 的斜率是导数 $f^{\prime }(x)$。因此，从 $S$ 到 $R$ 的有向距离是 $f^{\prime }(x)dx=dy$。因此，当 $x$ 变化 $dx$ 时，$dy$ 表示切线升高或降低的量（线性化中的变化量），而 $\Delta y$ 表示当 $x$ 变化 $dx=\Delta x$ 时，曲线 $y=f(x)$ 升高或降低的量。

示例3：比较 $\Delta y$ 和 $dy$ 的值，如果 $y=f(x)=x^3+x^2-2x+1$ 且 $x$ 从 2 变为 2.05 和 (b) 从 2 变为 2.01。

解答

(a) 我们有

$$\begin{array}{rl}f(2)& =2^3+2^2-2(2)+1=9\\ f(2.05)& =(2.05{)}^3+(2.05{)}^2-2(2.05)+1=9.717625\\ \Delta y& =f(2.05)-f(2)=0.717625\end{array}$$

一般来说，$dy=f^{\prime }(x)dx=(3x^2+2x-2)dx$

当 $x=2$ 且 $dx=\Delta x=0.05$ 时，变为

$$dy=[3(2{)}^2+2(2)-2]0.05=0.7$$

(b)
$$\begin{array}{rl}f(2.01)& =(2.01{)}^3+(2.01{)}^2-2(2.01)+1=9.140701\\ \Delta y& =f(2.01)-f(2)=0.140701\end{array}$$

当 $dx=\Delta x=0.01$ 时，

$$dy=[3(2{)}^2+2(2)-2]0.01=0.14$$

注意到在示例3中，随着 $\Delta x$ 变小，近似 $\Delta y\approx dy$ 变得更好。还要注意到计算 $dy$ 比计算 $\Delta y$ 更容易。对于更复杂的函数，可能无法精确计算 $\Delta y$。在这种情况下，通过微分进行近似特别有用。

在微分的符号中，线性近似可以写成

$$f(a+dx)\approx f(a)+dy$$

例如，对于示例1中的函数 $f(x)=\sqrt{x+3}$，我们有

$$dy=f^{\prime }(x)dx=\frac{dx}{2\sqrt{x+3}}$$

如果 $a=1$ 并且 $dx=\Delta x=0.05$，那么

$$dy=\frac{0.05}{2\sqrt{1+3}}=0.0125$$

并且

$$\sqrt{4.05}=f(1.05)\approx f(1)+dy=2.0125$$

正如我们在示例1中找到的那样。

我们最后一个示例说明了在估计因近似测量而产生的误差时使用微分的方法。

示例4：测量得一个球的半径为21厘米，测量误差最多为0.05厘米。使用这个半径值计算球体积时，最大误差是多少？

解答

如果球的半径是 $r$，则其体积为 $V=\frac{4}{3}\pi r^3$。如果测量值 $r$ 的误差记为 $dr=\Delta r$，则计算值 $V$ 的相应误差 $\Delta V$ 可以用微分来近似表示：

$$dV=4\pi r^{2}dr$$

当 $r=21$ 且 $dr=0.05$ 时，

$$dV=4\pi (21{)}^2\cdot 0.05\approx 277$$

计算的体积的最大误差约为 277 立方厘米。

注意

虽然示例4中的可能误差看起来相当大，但更好的误差描述是相对误差，它是通过将误差除以总体积计算的：

$$\frac{\Delta V}{V}\approx \frac{dV}{V}=\frac{4\pi r^{2}dr}{\frac{4}{3}\pi r^3}=3\frac{dr}{r}$$

因此，体积的相对误差大约是半径相对误差的三倍。在示例4中，半径的相对误差大约是 $dr/r=0.05/21\approx 0.0024$，并且它在体积中产生大约 0.007 的相对误差。误差也可以表示为百分比误差，半径的百分比误差为 0.24%，体积的百分比误差为 0.7%。

练习

1.使用线性近似进行估算。
(a) $\tan 2^{\circ }$
(b) $\cos 29^{\circ }$

2.测量得一个球的周长为84厘米，测量误差可能为0.5厘米。

(a) 使用微分估算计算的表面积的最大误差。相对误差是多少？

(b) 使用微分估算计算的体积的最大误差。相对误差是多少？

3.使用微分估算需要涂多少油漆才能给一个直径为50米的半球形圆顶涂上一层0.05厘米厚的油漆。

4.已知一个直角三角形的一条边长为20厘米，对应的角度测量为30°，测量误差可能为±1°。

(a) 使用微分估算计算斜边长度的误差。

(b) 误差的百分比是多少？

实验

切线近似 $L(x)$ 是 $f(x)$ 在 $x=a$ 附近的最佳一阶（线性）近似，因为 $f(x)$ 和 $L(x)$ 在 (a) 处具有相同的变化率（导数）。为了获得比线性更好的近似，让我们尝试二阶（抛物线）近似 $P(x)$。换句话说，我们用抛物线而不是直线来近似曲线。为了确保近似是好的，我们规定以下条件：

(i) $P(a)=f(a)$ （$P$ 和 $f$ 在 $a$ 处应该具有相同的值。）

(ii) $P^{\prime }(a)=f^{\prime }(a)$ （$P$ 和 $f$ 在 $a$ 处应该具有相同的变化率。）

(iii) $P^{\prime \prime }(a)=f^{\prime \prime }(a)$ （$P$ 和 $f$ 在 $a$ 处的斜率应该以相同的速率变化。）

1. 找到满足条件(i)、(ii)和(iii)且 $a=0$ 的函数 $f(x)=\cos x$ 的二阶近似 $P(x)=A+Bx+C{x}^2$。在同一屏幕上绘制 $P$、$f$ 和线性近似 $L(x)=1$ 的图像。评论 $P$ 和 $L$ 对 $f$ 的近似程度如何。

2. 确定 $x$ 的值，使得问题1中的二阶近似 $f(x)\approx P(x)$ 在0.1的精度内。[提示：绘制 $y=P(x)$, $y=\cos x-0.1$ 和 $y=\cos x+0.1$ 在同一屏幕上。]

3. 为了在接近某个数 $a$ 的地方用二阶函数 $P$ 来近似函数 $f$，最好将 $P$ 写成以下形式
   $$P(x)=A+B(x-a)+C(x-a{)}^2$$
   证明满足条件(i)、(ii)和(iii)的二阶函数是
   $$P(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(a)(x-a{)}^2$$

4. 找到接近 $a=1$ 处的函数 $f(x)=\sqrt{x+3}$ 的二阶近似。将 $f$、二阶近似以及示例中的线性近似绘制在同一屏幕上。你的结论是什么？

5. 让我们不满足于线性或二阶近似，而是尝试用高阶多项式来找到更好的近似。我们寻找 $n$ 阶多项式
   $$T_n(x)=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a{)}^2+c_3(x-a{)}^3+\cdots +c_n(x-a{)}^n$$