大气热力学(6)——位温和假相当位温

本篇文章源自我在 2021 年暑假自学大气物理相关知识时手写的笔记,现转化为电子版本以作存档。相较于手写笔记,电子版的部分内容有补充和修改。笔记内容大部分为公式的推导过程。

文章目录

  • 6.1 位温
  • 6.2 斜 T-lnP 图(Skew T-lnP)
    • 6.2.1 等温线的绘制
    • 6.2.2 干绝热线的绘制
  • 6.3 假相当位温

6.1 位温

空气块在干绝热过程中,其温度是变化的,同一气块处于不同的气压(高度)时,其温度值常常是不同的,这就给处在不同高度上的两气块进行热状态的比较带来一定困难。

为此,假设把气块都按干绝热过程移到同一高度(或等压面上),就可以进行比较了。把各层中的气块循着干绝热的程序订正到一个标准高度:1000hPa 处,这时所具有的温度称为位温,以 θ \theta θ 表示。以下是位温表达式的推导。

先写出干绝热方程(泊松方程)得:

T T 0 = ( p p 0 ) 0.286 \frac{T}{T_0} = \bigg(\frac{p}{p_0} \bigg)^{0.286} T0T=(p0p)0.286

T = θ , p = 1000 T = \theta,p = 1000 T=θp=1000 代入,即可得到位温的表达式:

θ = T 0 ( 1000 p 0 ) 0.286 \theta = T_0 \bigg(\frac{1000}{p_0} \bigg)^{0.286} θ=T0(p01000)0.286

式中, T 0 T_0 T0 p 0 p_0 p0 是干绝热过程起始时刻的温度和气压。此式表明,气块沿干绝热线升降时,位温恒定不变(或者说位温守恒),因此干绝热线也称为等位温线

我们把上式整理成:

p 0 0.286 = ( 100 0 0.286 θ ) T 0 p_0^{0.286} = \bigg( \frac{1000^{0.286}} {\theta} \bigg) T_0 p00.286=(θ10000.286)T0

我们发现,对任一 θ \theta θ 常数值,上式符合一个正比例函数 y = k x y=kx y=kx

  • y y y 对应 p 0 0.286 p_0^{0.286} p00.286
  • k k k 对应 ( 100 0 0.286 θ ) ( \frac{1000^{0.286}} {\theta} ) (θ10000.286)
  • x x x 对应 T 0 T_0 T0

每个 θ \theta θ 值都可以用一条干绝热线表示,且一定通过点 p 0 = 0 , T 0 = 0 p_0=0,T_0=0 p0=0T0=0。若使用前文所述的 T-lnP 图,则不同 θ \theta θ 值对应的干绝热线如下图所示:

在这里插入图片描述

在这张图中,等温线是垂直的(即垂直于 x x x 轴),干绝热线相对于等温线成锐角。注意,此处使用的 T-lnP 图并不是常用的 T-lnP 图,因为其纵坐标的尺度是 − 0.286 ln ⁡ p -0.286 \ln p 0.286lnp

在国内气象台中,T-lnP 图是比较常用的。但在国外,他们却并不使用这种图,原因是大多数探空数据都集中于上图的灰色狭小区域,不便使用。于是人们对上图进行了改良,将等温线变成倾斜的直线,从而产生了斜 T-lnP(skew T-lnP)图

6.2 斜 T-lnP 图(Skew T-lnP)

6.2.1 等温线的绘制

在斜 T-lnP 图中,纵坐标依然为 y = − ln ⁡ p y = -\ln p y=lnp,横坐标为:

x = T + m y = T − m ln ⁡ p x = T + my = T - m\ln p x=T+my=Tmlnp

其中 m m m 是一个可人为设定的常数, T T T 是等温过程的温度。上式又可写成:

y = x − T m y = \frac{x - T}{m} y=mxT

即:

− ln ⁡ p = 1 m x − T m -\ln p = \frac{1}{m} x - \frac{T}{m} lnp=m1xmT

注意,这个 T T T 是等温过程的温度,是一个常数,所以上式可视为一个一次方程:

− ln ⁡ p = c 1 x + c 2 ( T ) -\ln p = c_1x + c_2(T) lnp=c1x+c2(T)

其中, c 1 c_1 c1 是人为设定的常数,无论什么等温过程都不会变化;而 c 2 ( T ) c_2(T) c2(T) 为对每个等温过程的不同常数,是关于 T T T 的常数。我们一般令 c 1 = 1 c_1=1 c1=1,因此,等温线在斜 T-lnP 图上是一条从左到右的倾斜 45° 的直线,如下图的黑色实线所示:

在这里插入图片描述

6.2.2 干绝热线的绘制

为了说明斜 T-lnP 图是怎样表示干绝热线的,我们先写出位温的表达式:

p 0.286 = ( 100 0 0.286 θ ) T p^{0.286} = \bigg( \frac{1000^{0.286}} {\theta} \bigg) T p0.286=(θ10000.286)T

如果对上式两边取对数:

0.286 ln ⁡ p = ( 0.286 ln ⁡ 1000 − ln ⁡ θ ) + ln ⁡ T 整理得: − ln ⁡ p = − 1 0.286 ln ⁡ T − 0.286 ln ⁡ 1000 − ln ⁡ θ 0.286 0.286 \ln p = (0.286 \ln 1000 - \ln \theta) + \ln T \\ 整理得:-\ln p = -\frac{1}{0.286} \ln T - \frac{0.286 \ln 1000 - \ln \theta}{0.286} 0.286lnp=(0.286ln1000lnθ)+lnT整理得:lnp=0.2861lnT0.2860.286ln1000lnθ

把上式视为一次函数,自变量为 ln ⁡ T \ln T lnT,因变量为 − ln ⁡ p -\ln p lnp,则变成:

− ln ⁡ p = c 1 ln ⁡ T − c 2 ( θ ) -\ln p = c_1 \ln T - c_2(\theta) lnp=c1lnTc2(θ)

其中, c 1 c_1 c1 是常数, c 2 ( θ ) c_2(\theta) c2(θ) 是关于 θ \theta θ 的常数。如果在一个以 ln ⁡ T \ln T lnT 为横坐标、以 − ln ⁡ p -\ln p lnp 为纵坐标的图上绘制这条曲线,则干绝热线就是直线。

但是,在斜 T-lnP 图中,纵坐标依然为 − ln ⁡ p -\ln p lnp,但横坐标不是 ln ⁡ T \ln T lnT,而是 T T T。所以在斜 T-lnP 图上,干绝热线起始于图的右下方,终止于图的左上方,是稍有向下弯曲的一组线,在下图中淡淡的虚线即为一组干绝热线(可能很难看得清):

在这里插入图片描述

干空气团的上升过程,在图中可以表现为:沿着某条干绝热线从底部一直往上,随着高度的上升而降温,直到其相对湿度变为 100%(即空气变得饱和)后不再适用该线,而是使用湿绝热线。比如,若某团干空气的位温为 θ = 273 K \theta = 273 \mathrm{K} θ=273K,则该气团的上升相当于沿着位温为 273 K 273 \mathrm{K} 273K 的干绝热线向上画。

6.3 假相当位温

在气块的假绝热过程中,当气块中含有的水汽全部凝结降落时,所释放的潜热,就使原气块的位温提高到了极值(提升的大小即为 L q s C p , m \frac{L q_s}{C_{p,m}} Cp,mLqs),这个数值称为假相当位温,用 θ s e \theta_{se} θse 表示,定义如下:

θ s e = θ + L q s C p , m = T 0 ( 1000 p 0 ) 0.286 + L q s C p , m \begin{aligned} \theta_{se} &= \theta + \frac{L q_s}{C_{p,m}} \\ &= T_0 \bigg(\frac{1000}{p_0} \bigg)^{0.286} + \frac{L q_s}{C_{p,m}} \end{aligned} θse=θ+Cp,mLqs=T0(p01000)0.286+Cp,mLqs

式中, q s q_s qs 是气块在 1000hPa 处,1g 湿空气所含水汽量。由上式可以看出 θ s e \theta_{se} θse 是气压、温度和湿度的函数。

我们可以从 T-lnP 图中求得某气块的假相当位温。如下图所示,设有一气块,其温、压、湿分别为 ( p , T , q ) (p, T, q) (p,T,q)

在这里插入图片描述

  • 在图上温度、压力始于 A 点,这时气块是未饱和的,令其沿干绝热线上升到达凝结高度 B 点,这时气块达到饱和;
  • 当气块再继续上升时,就不断地有水汽凝结,这时它将沿湿绝热线上升降温,到达 C 点(这个 C 点如何确定?后面文章将会详细提及);
  • 在 C 点处,气块内水汽已全部凝结降落,再令其沿干绝热线下沉到 1000hPa(D 点),此时气块的温度(需沿着等温线读数)就是假相当位温 θ s e \theta_{se} θse

假相当位温不仅考虑了气压对温度的影响,而且也考虑了水汽对温度的影响,实际上是关于温度、压力、湿度的综合特征量,对于干绝热、假绝热和湿绝热过程都具有保守性

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