1. 高斯过程的定义

高斯过程可以看作是对函数的分布，它假定任何有限数量的函数值的集合服从一个多元高斯分布。给定输入数据点集合 { x 1 , x 2 , … , x n } \left\{x_1, x_2, \ldots, x_n\right\} {x1​,x2​,…,xn​} ，其对应的函数值 { f ( x 1 ) , f ( x 2 ) , … , f ( x n ) } \left\{f\left(x_1\right), f\left(x_2\right), \ldots, f\left(x_n\right)\right\} {f(x1​),f(x2​),…,f(xn​)} 服从一个多元高斯分布:
$$\mathbf{f}={\left[f\left(x_1\right),f\left(x_2\right),\dots ,f\left(x_n\right)\right]}^T\sim \mathcal{N}(\mathbf{m},\mathbf{K})$$

其中， $\mathbf{m}$ 是均值向量， $\mathbf{K}$ 是协方差矩阵。

2. 协方差矩阵的构建

协方差矩阵 $\mathbf{K}$ 的元素由协方差函数 $k\left(x_i,x_j\right)$ 确定，即
$${\mathbf{K}}_{ij}=k\left(x_i,x_j\right)$$

协方差函数 $k\left(x_i,x_j\right)$ 描述了输入数据点 $x_i$ 和 $x_j$ 之间的相似性。常用的协方差函数包括:

1. 径向基函数（RBF核），又称高斯核:
   $$k\left(x_i,x_j\right)={\sigma }_f^2\exp \left(-\frac{{\Vert x_i-x_j\Vert }^2}{2{\ell }^2}\right)$$其中， ${\sigma }_f^2$ 是信号方差， $\ell$ 是长度尺度。

2. 线性核:
   $$k\left(x_i,x_j\right)={\sigma }_b^2+{\sigma }_f^2\left(x_i^T{x}_j\right)$$其中， ${\sigma }_b^2$ 是偏置项， ${\sigma }_f^2$ 是信号方差。

3. 马氏距离核:
   $$k\left(x_i,x_j\right)={\sigma }_f^2\exp \left(-\frac{{\left(x_i-x_j\right)}^T\mathbf{A}\left(x_i-x_j\right)}{2}\right)$$其中， $\mathbf{A}$ 是对称正定矩阵。

3. 协方差矩阵的性质

1. 正定性: 协方差矩阵 $\mathbf{K}$ 必须是正定的，这是因为正定矩阵确保了协方差矩阵是可逆的，并且使得该高斯分布的概率密度函数（PDF）是有效的。正定性要求对任意非零向量 $\mathbf{z}$ ，有 ${\mathbf{z}}^T\mathbf{Kz}>0$ 。
2. 对称性: 协方差矩阵 $\mathbf{K}$ 是对称的，即 ${\mathbf{K}}_{ij}={\mathbf{K}}_{ji}$ 。

3.1. 计算挑战

计算高斯过程的协方差矩阵的逆和行列式通常是高斯过程建模中的主要计算瓶颈。对于 $n$ 个数据点，协方差矩阵是一个 $n\times n$ 的矩阵，计算其逆和行列式的复杂度是 $O\left(n^3\right)$ 。这使得高斯过程难以扩展到大规模数据集（通常称为“大 $\mathrm{n}$ 问题”）。

3.2. 解决方法

1. 稀疏高斯过程: 通过选择一部分诱导点来近似协方差矩阵，从而降低计算复杂度。常见的方法包括稀疏伪输入高斯过程 (Sparse Pseudo-input Gaussian Process, SPGP)。
2. 低秩近似: 使用低秩矩阵来近似协方差矩阵，从而加速计算。例如，Nyström方法是一种常用的低秩近似方法。
3. 分布式计算: 将数据和计算任务分布到多个计算节点上，以提高计算效率。
4. 变分推断: 通过变分推断方法，将原问题转化为更易处理的优化问题，从而降低计算成本。