最优化方法Python计算:标准型线性规划的辅助问题

对标准型线性规划
{ minimize c ⊤ x s.t.     A x = b x ≥ o ( 1 ) \begin{cases} \text{minimize}\quad\quad\boldsymbol{c}^\top\boldsymbol{x}\\ \text{s.t.\ \ \ \ }\quad\quad\quad\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\boldsymbol{x}\geq\boldsymbol{o} \end{cases}\quad\quad(1) minimizecxs.t.    Ax=bxo(1)
其中 A ∈ R m × n \boldsymbol{A}\in\text{R}^{m\times n} ARm×n,且rank A = m ≤ n \boldsymbol{A}=m\leq n A=mn b ≥ o \boldsymbol{b}\geq\boldsymbol{o} bo。假定 A \boldsymbol{A} A中存在部分列向量 α I 1 , ⋯ , α I m 1 \boldsymbol{\alpha}_{I_1},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{I_{m_1}} αI1,,αIm1构成单位阵 I m \boldsymbol{I}_m Im的一部分。其中, m i ≤ m m_i\leq m mim。记 n 1 = m − m 1 n_1=m-m_1 n1=mm1 E \boldsymbol{E} E I m \boldsymbol{I}_m Im中去掉 α I 1 , ⋯ , α I m 1 \boldsymbol{\alpha}_{I_1},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{I_{m_1}} αI1,,αIm1剩下的部分,则 E ∈ R m × n 1 \boldsymbol{E}\in\text{R}^{m\times n_1} ERm×n1。引入人工变量 x a ∈ R n 1 = ( x a 1 ⋮ x a n 1 ) \boldsymbol{x}_a\in\text{R}^{n_1}=\begin{pmatrix}x_{a_1}\\\vdots\\x_{a_{n_1}}\end{pmatrix} xaRn1= xa1xan1 ,令 A ′ = ( A , E ) \boldsymbol{A}'=(\boldsymbol{A},\boldsymbol{E}) A=(A,E),构造线性规划
{ minimize e ⊤ x a s.t.     A ′ ( x x a ) = A x + E x a = b x , x a ≥ o ( 2 ) \begin{cases} \text{minimize}\quad\quad\boldsymbol{e}^\top\boldsymbol{x}_a\\ \text{s.t.\ \ \ \ }\quad\quad\quad\boldsymbol{A}'\begin{pmatrix}\boldsymbol{x}\\\boldsymbol{x}_a\end{pmatrix} =\boldsymbol{Ax}+\boldsymbol{Ex}_a =\boldsymbol{b}\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}_a\geq\boldsymbol{o} \end{cases}\quad\quad(2) minimizeexas.t.    A(xxa)=Ax+Exa=bx,xao(2)
其中, e ∈ R n \boldsymbol{e}\in\text{R}^n eRn,所有元素均为1。(2)称为线性规划(1)的辅助线性规划。辅助问题总有一个明显的初始基矩阵: A ′ = ( A , E ) \boldsymbol{A}'=(\boldsymbol{A},\boldsymbol{E}) A=(A,E)的最后 m m m列构成的单位阵 I m \boldsymbol{I}_m Im
例1 标准型线性规划
{ minimize − 2 x 1 + x 2 s.t.   x 1 + x 2 − x 3 = 2 x 1 − x 2 − x 4 = 1 x 1 + x 5 = 3 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0 . \begin{cases} \text{minimize}\quad\quad -2x_1+x_2\\ \text{s.t.\ \ }\quad\quad\quad\quad x_1+x_2-x_3=2\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad x_1-x_2-x_4=1\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad x_1+x_5=3\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\geq0 \end{cases}. minimize2x1+x2s.t.  x1+x2x3=2x1x2x4=1x1+x5=3x1,x2,x3,x4,x50.
其等式约束系数矩阵和常数向量
A = ( 1 1 − 1 0 0 1 − 1 0 − 1 0 1 0 0 0 1 ) , b = ( 2 1 3 ) . \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&1&-1&0&0\\1&-1&0&-1&0\\1&0&0&0&1\end{pmatrix},\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix} . A= 111110100010001 ,b= 213 .
其中, α 5 \boldsymbol{\alpha}_5 α5构成单位阵中一部分。添加人工变量 x 6 , x 7 x_6,x_7 x6,x7,构造其辅助线性规划
{ minimize x 6 + x 7 s.t.   x 1 + x 5 = 3 x 1 + x 2 − x 3 + x 6 = 2 x 1 − x 2 − x 4 + x 7 = 1 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 ≥ 0 . \begin{cases} \text{minimize}\quad\quad x_6+x_7\\ \text{s.t.\ \ }\quad\quad\quad\quad x_1+x_5=3\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad x_1+x_2-x_3+x_6=2\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad x_1-x_2-x_4+x_7=1\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7\geq0 \end{cases}. minimizex6+x7s.t.  x1+x5=3x1+x2x3+x6=2x1x2x4+x7=1x1,x2,x3,x4,x5,x6,x70.
其等式约束系数矩阵为
A ′ = ( A , E ) = ( 1 1 − 1 0 0 1 0 1 − 1 0 − 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 ) . \boldsymbol{A}'=(\boldsymbol{A},\boldsymbol{E})=\begin{pmatrix}1&1&-1&0&0&1&0\\1&-1&0&-1&0&0&1\\1&0&0&0&1&0&0\end{pmatrix}. A=(A,E)= 111110100010001100010 .
其中, E = ( α 6 , α 7 ) = ( 1 0 0 1 0 0 ) \boldsymbol{E}=(\boldsymbol{\alpha}_6,\boldsymbol{\alpha}_7)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix} E=(α6,α7)= 100010 。显然, ( α 6 , α 7 , α 5 ) = I 3 (\boldsymbol{\alpha}_6,\boldsymbol{\alpha}_7,\boldsymbol{\alpha}_5)=\boldsymbol{I}_3 (α6,α7,α5)=I3成为辅助线性规划的一个基矩阵。
下列代码定义构造标准型线性规划(1)的辅助问题(2)的Python函数。

import numpy as np									#导入numpy
def prepro(A):def find_e(A, ei):								#查找A中单位向量位置n = A.shape[1]j = 0while j < n:if(abs(A.T[j] - ei) < 1e-10).all():return jj += 1return -1m, n = A.shapepos = np.array([-1] * m)						#单位向量位置下标序列E = np.array([[]for i in range(m)])				#人工变量系数矩阵e = np.eye(m)									#单位阵i = 0k = 0while i < m:									#对每一个单位向量j = find_e(A, e[i])							#查找在A中位置if j >= 0:									#若在A中出现pos[i] = j								#记录位置下标else:										#未在A中E = np.hstack((E, e[i].reshape(m, 1)))	#追加到Epos[i] = n + k							#记录位置k += 1i += 1return E, pos

程序的第2~26行定义的prepro函数实现构造标准型线性规划辅助问题的过程。其唯一的参数A表示标准型问题的系数矩阵 A \boldsymbol{A} A。函数体内第12、13行分别将表示人工变量系数矩阵的E和单位向量在 ( A , E ) (\boldsymbol{A},\boldsymbol{E}) (A,E)中位置下标的序列的pos初始化为空集和 m m m − 1 -1 1的数组。第14行定义单位阵e,其中的每一个行向量e[i]构成一个单位向量。第17~25行的while循环确定每个单位向量e[i]在 ( A , E ) (\boldsymbol{A},\boldsymbol{E}) (A,E)中位置(或在A中,或追加于E),记录于pos。其中,第18行调用的find_e函数在矩阵A中查找与单位向量e[i]。该函数是定义于第3~10行内部函数。若e[i]为A中的第j列,返回j,否则返回 − 1 -1 1。本函数最终返回E和pos。
例2 用prepro构造
{ minimize − 2 x 1 + x 2 s.t.   x 1 + x 2 − x 3 = 2 x 1 − x 2 − x 4 = 1 x 1 + x 5 = 3 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0 . \begin{cases} \text{minimize}\quad\quad -2x_1+x_2\\ \text{s.t.\ \ }\quad\quad\quad\quad x_1+x_2-x_3=2\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad x_1-x_2-x_4=1\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad x_1+x_5=3\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\geq0 \end{cases}. minimize2x1+x2s.t.  x1+x2x3=2x1x2x4=1x1+x5=3x1,x2,x3,x4,x50.
的辅助问题的等式约束系数矩阵。
解: 根据例1的数据,下列程序完成计算

import numpy as np#导入numpy
from fractions import Fraction as F
np.set_printoptions(formatter={'all':lambda x:#设置输出格式str(F(x).limit_denominator())})
A = np.array([[1, 1, -1, 0, 0],	#原问题系数矩阵[1, -1, 0, -1, 0],[1, 0, 0, 0, 1]])
E, pos = prepro(A)				#引入人工变量
print(E, pos)
A1 = np.hstack((A,E))
print(A1)

程序的第2~4行设置数据输出格式。第5~7行设置原问题等式约束系数矩阵A。第8行调用prepro函数,传递A计算辅助系统中人工变量的系数矩阵E和辅助问题的初始基矩阵列向量下标集pos。第10行构造辅助问题等式约束系数矩阵。运行程序,输出

[[1 0][0 1][0 0]] [5 6 4]
[[1 1 -1 0 0 1 0][1 -1 0 -1 0 0 1][1 0 0 0 1 0 0]]

意为辅助问题中人工变量的系数矩阵 E = ( 1 0 0 1 0 0 ) \boldsymbol{E}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix} E= 100010 ,初始基矩阵列向量为 ( α 6 , α 7 , α 5 ) (\boldsymbol{\alpha}_6,\boldsymbol{\alpha}_7,\boldsymbol{\alpha}_5) (α6,α7,α5)。辅助问题等式约束矩阵 A ′ = ( A , E ) = ( 1 1 − 1 0 0 1 0 1 − 1 0 − 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 ) \boldsymbol{A}'=(\boldsymbol{A},\boldsymbol{E})=\begin{pmatrix}1&1&-1&0&0&1&0\\1&-1&0&-1&0&0&1\\1&0&0&0&1&0&0\end{pmatrix} A=(A,E)= 111110100010001100010 。与例1的计算结果一致。
辅助问题(2)由于其目标函数 e ⊤ x a ≥ 0 \boldsymbol{e}^\top\boldsymbol{x}_a\geq0 exa0有下界,故必有最优解。辅助问题(2)与原问题(1)有如下的关系
定理1 标准型线性规划(1)有可行解,当且仅当其辅助线性规划(2)的最优解为 x a ∗ = o \boldsymbol{x}_a^{*}=\boldsymbol{o} xa=o
对问题(1)运用单纯形算法可算得其辅助问题(2)最优解 x ∗ = ( x x a ) \boldsymbol{x}^{*}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{x}\\\boldsymbol{x}_a\end{pmatrix} x=(xxa),求解过程称为第一阶段。按定理1,若 x a = o \boldsymbol{x}_a=\boldsymbol{o} xa=o则原问题(1)可行。并且,若 x ∗ \boldsymbol{x}^{*} x中的原问题决策变量部分 x \boldsymbol{x} x恰巧是是(1)的基本可行解,即第一阶段计算所得的辅助问题的基矩阵 B ∗ \boldsymbol{B}^{*} B恰包含在原问题(1)的系数矩阵 A \boldsymbol{A} A中,则以此为起点,可运用单纯形算法求解问题(1),这一过程称为第二阶段
例3 标准型线性规划
{ minimize − 2 x 1 + x 2 s.t.   x 1 + x 2 − x 3 = 2 x 1 − x 2 − x 4 = 1 x 1 + x 5 = 3 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0 . \begin{cases} \text{minimize}\quad\quad -2x_1+x_2\\ \text{s.t.\ \ }\quad\quad\quad\quad x_1+x_2-x_3=2\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad x_1-x_2-x_4=1\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad x_1+x_5=3\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\geq0 \end{cases}. minimize2x1+x2s.t.  x1+x2x3=2x1x2x4=1x1+x5=3x1,x2,x3,x4,x50.
其目标函数系数向量 c = ( − 2 1 0 0 0 ) \boldsymbol{c}=\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix} c= 21000 ,等式约束系数矩阵和常数向量
A = ( 1 1 − 1 0 0 1 − 1 0 − 1 0 1 0 0 0 1 ) , b = ( 2 1 3 ) . \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&1&-1&0&0\\1&-1&0&-1&0\\1&0&0&0&1\end{pmatrix},\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix} . A= 111110100010001 ,b= 213 .
下列代码求解该问题。

import numpy as np													#导入numpy
from fractions import Fraction as F									#设置输出格式
np.set_printoptions(formatter={'all':lambda x:str(F(x).limit_denominator())})
A = np.array([[1, 1, -1, 0, 0],										#原问题数据设置[1, -1, 0, -1, 0],[1, 0, 0, 0, 1]])
b = np.array([2, 1, 3])
c = np.array([-1, 2, 0, 0, 0])
E, pos = prepro(A)													#构造辅助问题系数矩阵
A1 = np.hstack((A, E))
Bind = pos															#构造辅助问题初始基矩阵
Nind = np.setdiff1d(np.arange(5+E.shape[1]),Bind)
c1 = np.concatenate((np.zeros(5), np.ones(E.shape[1])), axis = 0)	#辅助问题目标函数系数
Bindst = simplex(A1, b, c1, Bind, Nind)								#求解辅助问题最优解
Nindst = np.setdiff1d(np.arange(5), Bindst)
Bst = A1[:, Bindst]													#辅助问题最优解基矩阵
Bst1 = np.linalg.inv(B)												#逆阵
xBst = np.matmul(Bst1,b.reshape(3, 1)).flatten()					#对应基矩阵最优解部分
x = np.zeros(5 + E.shape[1])
x[Bindst] = xBst													#辅助问题最优解
print('辅助问题最优解x=%s'%x)
print('辅助问题最优解对应的基矩阵向量下标:%s'%Bindst)					#辅助问题最优解基矩阵包含于原问题系数矩阵
Bind = simplex(A, b, c, Bindst, Nindst)								#求解原问题最优解
B = A[:, Bind]														#当前基矩阵
B1 = np.linalg.inv(B)												#逆阵
xB = np.matmul(B1,b.reshape(3, 1)).flatten()						#对应基矩阵最优解部分
x = np.zeros(5)
x[Bind] = xB														#原问题最优解
print('原问题最优解x=%s'%x)

程序的前14行与例2中的代码一样调用prepro构造原问题辅助问题。第15行调用博文《最优化方法Python计算:标准型线性规划的单纯形算法》定义的simplex函数求解辅助问题,完成第一阶段计算。第17~22行计算并输出辅助问题最优解。根据第15所得辅助问题最优解对应的基矩阵(第23行输出)包含于原问题的系数矩阵中(见下列输出),第18行调用simplex求解原问题,完成第二阶段计算。运行程序,输出

辅助问题最优解x=[3/2 1/2 0 0 3/2 0 0]
辅助问题最优解对应的基矩阵向量下标:[1 0 4]
原问题最优解x=[3 0 1 2 0]

注意辅助问题最优解中,人工变量 x 6 = x 7 = 0 x_6=x_7=0 x6=x7=0,故原问题可行。辅助问题最优解对应基矩阵列向量下标为2,1,5均含于原问题系数矩阵中,故可利用它直接求解原问题。
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