1.数值数据的表示

为什么采用二进制？

• 二进制只有两种基本状态，两个物理器件就可以表示0和1
• 二进制的编码、技术、运算规则都很简单
• 0和1与逻辑命题的真假对应，方便通过逻辑门电路实现算术运算

数值数据表示的三要素

• 进位记数制（十进制、二进制、十六进制）
• 定浮点表示（解决小数点问题，定点小数：小数点固定居于最高位。定点数的原码、补码等还解决了正负号的问题）
• 如何用二进制编码

原码与补码

首先我们先看原码

显而易见，负数的表示就是最高位取1，但是这样存在以下问题

• 0 的表示不唯一
• 加、减运算方式不统一
• 需额外对符号位进行处理
• 特别当 a<b时，实现 a-b比较困难

所以我们又引入补码的概念（机器数就是补码）

补码=模+该数本身（mod模），该数最高位必须是0

我们就可以得到：123的补码=0111 1011；-123的补码=1000 0101，再多举几个例子，我们发现：

• 正数的补码就是其本身
• 负数的补码等于对应正数补码的“各位取反、末位加1
• 正数补码最高位是0，负数补码最高位是1

以及一些结论：

对于某一确定的模，某数减去小于模的另一数，总可以用该数加上另一数负数的补码来代替;

让我们来举一个例子：

最后结果1 0011 1111，再将其mod2^8（运算器只有有限位，假设为n位，则运算结果只能保留低n位，因此，其模为2^n）,得到最终结果0011 1111

接下来是特殊数的补码

整数

整数分为无符号整数和有符号整数，例如8位无符号整数最大值1111 1111为255，有符号整数最大值0111 11111为127

c语言规定：若运算中同时有无符号和带符号整数，则按无符号整数运算

浮点数

规格化数

小数点前只有一位非零数

在计算机中，浮点数按如下格式存储

s位是符号位，正数是0负数是1

注意：规格化尾数的小数点总是1，不写进尾数M中

现在让我们举个例子，计算-12.75

首先12.75=1100.11；转化为科学计数法1.10011*2^3；阶数=3+127=130=1000 0010

尾数=100 1100 0000 0000 0000 0000；符号位为1

现在我们再来做一个题，反推

首先是负数；0111 1101是125，125-127=-2，指数为-2；根据尾数得1.11*2^-2；1.11又是1+0.5+0.25=1.75；所以最终的结果是1.75/4=0.4375

非规格化数

浮点数范围比定点数大，但数的个数没变多，故数之间更稀疏，且不均匀

说明浮点数不是能表示范围内的任意数！

当输入数据是一个不可表示数时，机器将其转换为最邻近的可表示数

在浮点数中所能表示的最小正数1*2^-126,尾数不能全为0

为什么是-126？这样可以使得出现比规格化数还小的数时程序也能继续下去

此时阶数-126，而尾数的隐藏数变为0

无穷数

在浮点数中阶数全为1并且尾数全为0则为无穷，如果尾数非零则是NaN

接下来，我们再来看计算机对于除数是0是怎么处理的：

计算机中除数为0的结果是 +/- ∞, 不是溢出异常.

这样可以将X/0>Y可作为有效比较

然而Sqrt (- 4.0) 以及0/0为NaN

零

阶数、尾数全为0，-0，+0表示不同

2.数据的存储

数据的基本宽度

存储器按字节编址，字节是最小可寻址单位 ，一般采用MSB（最高有效字节）

字与字长

字长：指数据通路的宽度

字：度量数据类型的宽度，16位（x86）

容量换算单位是1024，速度则是1000

大端：高地址存低字节

小端：高地址存高字节

譬如0x12345在小端机存储的方式

3.数据的运算

按位运算，逻辑运算与移位运算

按位运算

按位与：& 有零则零，两个都是1才是1，1与任何数字与都是那个数本身

按位或：|，有1就是1，两个都是0才是0

按位取反：~，1变0，0变1

按位异或：^,相同则为1，不同则为0

逻辑运算

&&，||，！，不做过多解释

移位运算

左移：<<,扩大两倍（可能会发生溢出）

右移：>>,缩小二分之一（可能有效数据丢失）

C语言中不区分是逻辑还是算术移位，编译器根据x的类型确定

扩展：短转长        无符号数：0扩展，前面补0；带符号整数：符号扩展，前面补符

截断：长转短       强行将高位丢弃，故可能发生“溢出”（没有规定编译器必须报错）

算术运算

• ALUop:用来决定ALU所执行的处理功能。ALUop的位数k决定了操作的种类
• OF:溢出标志，若A.B同号，但与Sum不同号，则1
• SF:符号标志
• ZF：零标志，sum为0，则为1
• CF：进位/错位标志。当加法时，CF=1,表示加法有进位；减法时，CF=1,表示减法不够减
• Sub：为1时做减法，为0时做加法
• MUX：二路选择器

ZF,SF,CF,OF被称为条件标志，在运算电路中产生，被记录到专门的的寄存器中

重要认识

• 计算机中所有算术运算都基于加法器实现！
• 加法器不知道所运算的是带符号数还是无符号数。
• 加法器不判定对错，总是取低n位作为结果，并生成标志信息

整数加法

无符号加溢出条件：CF=1

带符号加溢出条件：OF=1

整数减法

Unsigned: CF=0时，大于

Signed：OF=SF时，大于

整数乘法

高级语言中两个n位整数相乘得到的结果通常也是一个n位整数

无符号：若Puh=0，则不溢出

带符号：若Psh每位都等于Ps的最高位，则不溢出

编译器在处理变量与常数相乘时，往往以移位、加法和减法的组合运算来代替乘法运算

例如：对于表达式x*20，编译器可以利用20=16+4=24+22，将x*20转换为(x<<4)+(x<<2)

①无乘法指令>② 用ALU实现乘法指令>③用乘法器实现乘法指令

整数除法

对于带符号整数来说，n位整数除以n位整数，除-2^(n-1)/-1= 2^(n-1)会发生溢出外，其余情况（除数为0外）都不会发生溢出

正数商取比自身小的最接近整数，负数商取比自身大的最接近整数

编译器在处理一个变量与一个2的幂次形式的整数相除时，常采用右移运算来实现

注意：带符号负整数（天板）：加偏移量(2^k-1)，然后再右移k 位 ，低位截断

浮点数加减

首先要对阶，小阶向大阶对齐，还要考虑舍入

若运算结果尾数是0，则需要将阶码也置0

附加位

IEEE754规定: 中间结果须在右边加2个附加位

Guard (保护位)：在significand右边的位  

Round (舍入位)：在保护位右边的位；若没有舍入位，采用就近舍入到偶数

舍入方式：

01：舍；11：入 ；10：(强迫结果为偶数)

因此

• int->float,不会发生溢出，但可能有数据被舍入
• int,float->double,能保留精确值
• double->float,int,可能发生溢出，此外，由于有效位数变少，故可能被舍入
• float,double->int,因为int没有小数部分，所以数据可能会向0方向被截断