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逻辑回归概述
逻辑回归类似于线性回归，但预测的是某事物是否为真，而不是像大小这样的连续值。逻辑回归拟合的是“S”形的“逻辑函数”曲线，而不是一条直线。这个曲线从0到1，表示根据预测变量（例如体重），某个结果发生的概率（例如老鼠是否肥胖）。
逻辑回归的工作原理
- 重的老鼠：高概率肥胖。
- 中等体重的老鼠：50%概率肥胖。
- 轻的老鼠：低概率肥胖。
虽然逻辑回归给出了老鼠是否肥胖的概率，但它通常用于分类。例如，如果老鼠肥胖的概率大于50%，我们就将其分类为肥胖，否则分类为“不肥胖”。
逻辑回归中的预测变量
逻辑回归可以处理连续数据（如体重、年龄）和离散数据（如基因型、星座）。我们可以测试每个变量是否对预测肥胖有用。与普通回归不同，我们不能轻易地比较复杂模型和简单模型。相反，我们测试一个变量对预测的影响是否显著不同于0。如果不是，这意味着该变量对预测没有帮助。我们使用沃尔德检验来确定这一点。
例如，如果肥胖是由体重+基因型+年龄+星座预测的，而我们发现星座“完全无用”（统计术语表示“没有帮助”），我们可以从模型中排除它，以节省时间和资源。
逻辑回归能够提供概率并使用连续和离散测量值对新样本进行分类，使其成为一种流行的机器学习方法。
线性回归与逻辑回归的区别
线性回归和逻辑回归的一个主要区别是数据拟合的方法：
- 线性回归：使用“最小二乘法”拟合，最小化残差的平方和。该方法允许计算R²来比较模型。
- 逻辑回归：使用“最大似然法”。它没有残差，因此不能使用最小二乘法或计算R²。
在逻辑回归中，您：
- 选择一个概率，根据体重缩放，观察肥胖老鼠的概率。
- 使用此概率计算观察到的该体重的非肥胖老鼠的可能性。
- 然后计算观察到该老鼠的可能性。
- 对所有老鼠重复此过程并将所有这些可能性相乘。这是给定该曲线的数据的可能性。
然后，您：
- 移动曲线。
- 计算新曲线的数据可能性。
- 重复此过程，直到找到最大可能性的曲线。
总结
逻辑回归可以用于分类样本，并且可以使用不同类型的数据（例如体重、基因型）进行分类。它还帮助评估哪些变量对分类有用（例如在使用体重、基因型、年龄和星座预测肥胖时，星座可能“完全无用”）。
关键概念
逻辑函数
逻辑回归的核心是逻辑函数（也称为S型函数），它将任何实值数映射到[0, 1]范围内：
σ ( z ) = 1 1 + e − z \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}} σ(z)=1+e−z1
这里， z z z是输入特征的线性组合。对于二分类，逻辑函数输出给定输入点属于正类的概率。
决策边界
决策边界是我们分类输出的阈值。对于二分类，一个常见的阈值是0.5：
- 如果输出概率 ≥ 0.5 \geq 0.5 ≥0.5，则分类为类别1。
- 如果输出概率 < 0.5 < 0.5 <0.5，则分类为类别0。
模型表示
假设
在逻辑回归中，假设定义为：
h θ ( x ) = σ ( θ T x ) h_\theta(x) = \sigma(\theta^T x) hθ(x)=σ(θTx)
其中， θ \theta θ是权重向量， x x x是输入特征向量， σ \sigma σ是S型函数。
代价函数
逻辑回归的代价函数是对数损失（也称为二元交叉熵）：
J ( θ ) = − 1 m ∑ i = 1 m [ y ( i ) log ( h θ ( x ( i ) ) ) + ( 1 − y ( i ) ) log ( 1 − h θ ( x ( i ) ) ) ] J(\theta) = -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \left[ y^{(i)} \log(h_\theta(x^{(i)})) + (1 - y^{(i)}) \log(1 - h_\theta(x^{(i)})) \right] J(θ)=−m1i=1∑m[y(i)log(hθ(x(i)))+(1−y(i))log(1−hθ(x(i)))]
其中， m m m是训练样本的数量， y y y是实际标签， h θ ( x ) h_\theta(x) hθ(x)是预测概率。
优化
目标是找到使代价函数 J ( θ ) J(\theta) J(θ)最小化的参数 θ \theta θ。这通常使用梯度下降等优化算法来完成。
稀疏特征
在许多现实世界的应用中，特征空间是稀疏的，意味着大多数特征值为零。逻辑回归在这些场景中特别有效，因为：
- 它可以高效地处理高维数据。
- 模型复杂度与特征数量线性相关，使其在计算上可行。
使用稀疏数据进行逻辑回归时，我们通常使用稀疏矩阵表示（如压缩稀疏行（CSR）或压缩稀疏列（CSC）格式）来存储输入特征。
这些数据结构仅存储非零元素及其索引，与密集矩阵相比显著减少了内存使用。
逻辑回归涉及矩阵乘法和其他线性代数操作。当数据存储在稀疏矩阵中时，这些操作可以优化以忽略零元素，从而加快计算速度。
当使用正则化技术时，特别是L1正则化（也称为套索正则化），逻辑回归被认为是稀疏线性分类器。这种正则化技术可以迫使模型的一些系数正好为零，有效地忽略某些特征，从而导致稀疏模型。
该模型是线性的，因为它将对数几率建模为输入特征的线性组合。
log ( p 1 − p ) = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + … + β n x n \log \left( \frac{p}{1-p} \right) = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \ldots + \beta_n x_n log(1−pp)=β0+β1x1+β2x2+…+βnxn
在逻辑回归的上下文中，“计算上可行”意味着：
训练和预测的时间和内存需求随着数据规模（特征和样本数量）线性增长。
分布式训练
为什么要分布式训练？
随着数据量的增加，在单台机器上训练模型会变得缓慢且不切实际。分布式训练允许并行处理，使得能够高效地处理大数据集。因此，在数据量大的情况下，我们需要使用分布式训练：Spark中的逻辑回归或交替方向乘子法（ADMM）。
Apache Spark
Apache Spark是一个强大的分布式数据处理工具。它可以用于在集群上的多台机器上并行训练逻辑回归模型。
交替方向乘子法（ADMM）
ADMM是一种优化技术，它将问题分解为可以并行解决的较小子问题。这对于需要机器之间协调的分布式环境特别有用。
结论
逻辑回归是一种强大且高效的二分类方法，特别适用于稀疏特征和大数据集。通过利用如Apache Spark的分布式训练框架和ADMM等优化技术，逻辑回归可以扩展以应对现代数据科学应用的需求。
逻辑回归与对数几率
概率与几率
-
概率 §：事件发生的可能性。
-
几率：事件发生的概率与其不发生的概率之比。
几率 = P 1 − P \text{几率} = \frac{P}{1 - P} 几率=1−PP
对数几率（Logit）
-
对数几率是几率的自然对数。
对数几率 = log ( P 1 − P ) \text{对数几率} = \log \left( \frac{P}{1 - P} \right) 对数几率=log(1−PP)
逻辑回归模型
-
在逻辑回归中，事件发生概率的对数几率（例如点击的概率）被建模为输入特征的线性组合。
-
模型方程为：
log ( P 1 − P ) = θ 0 + θ 1 x 1 + θ 2 x 2 + … + θ n x n \log \left( \frac{P}{1 - P} \right) = \theta_0 + \theta_1 x_1 + \theta_2 x_2 + \ldots + \theta_n x_n log(1−PP)=θ0+θ1x1+θ2x2+…+θnxn
-
这里， θ 0 + θ 1 x 1 + θ 2 x 2 + … + θ n x n \theta_0 + \theta_1 x_1 + \theta_2 x_2 + \ldots + \theta_n x_n θ0+θ1x1+θ2x2+…+θnxn 是特征的线性组合，通常表示为 z z z。
连接 ( z ) 和对数几率
- 术语 z = θ 0 + θ 1 x 1 + θ 2 x 2 + … + θ n x n z = \theta_0 + \theta_1 x_1 + \theta_2 x_2 + \ldots + \theta_n x_n z=θ0+θ1x1+θ2x2+…+θnxn 代表逻辑回归模型中的对数几率。尽管 z z z 本身不包含对数，它是逻辑函数的参数，将其映射到概率。
逻辑回归中代价函数的梯度
逻辑回归中代价函数 J ( θ ) J(\theta) J(θ) 对参数 θ \theta θ 的梯度为：
∂ J ( θ ) ∂ θ = x ( i ) ( h θ ( x ( i ) ) − y ( i ) ) \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta} = x^{(i)} (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}) ∂θ∂J(θ)=x(i)(hθ(x(i))−y(i))
这个公式来自于为二分类问题的逻辑回归代价函数导出的梯度。
推导
让我们一步步推导这个公式。
1. 假设函数
在逻辑回归中，假设函数 h θ ( x ) h_\theta(x) hθ(x) 由应用于输入特征线性组合的S型函数给出：
h θ ( x ) = σ ( θ T x ) = 1 1 + e − θ T x h_\theta(x) = \sigma(\theta^T x) = \frac{1}{1 + e^{-\theta^T x}} hθ(x)=σ(θTx)=1+e−θTx1
2. 代价函数
逻辑回归的代价函数是训练数据的负对数似然，可以写为：
J ( θ ) = − 1 m ∑ i = 1 m [ y ( i ) log ( h θ ( x ( i ) ) ) + ( 1 − y ( i ) ) log ( 1 − h θ ( x ( i ) ) ) ] J(\theta) = -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \left[ y^{(i)} \log(h_\theta(x^{(i)})) + (1 - y^{(i)}) \log(1 - h_\theta(x^{(i)})) \right] J(θ)=−m1i=1∑m[y(i)log(hθ(x(i)))+(1−y(i))log(1−hθ(x(i)))]
3. 简化代价函数
为了简便起见，我们关注于单个训练样本 ( x ( i ) , y ( i ) ) (x^{(i)}, y^{(i)}) (x(i),y(i)) 的代价函数：
J ( θ ) = − [ y ( i ) log ( h θ ( x ( i ) ) ) + ( 1 − y ( i ) ) log ( 1 − h θ ( x ( i ) ) ) ] J(\theta) = -\left[ y^{(i)} \log(h_\theta(x^{(i)})) + (1 - y^{(i)}) \log(1 - h_\theta(x^{(i)})) \right] J(θ)=−[y(i)log(hθ(x(i)))+(1−y(i))log(1−hθ(x(i)))]
4. 对 θ j \theta_j θj 的偏导数
为了找到梯度，我们需要计算 J ( θ ) J(\theta) J(θ) 对每个参数 θ j \theta_j θj 的偏导数。我们将 z = θ T x ( i ) z = \theta^T x^{(i)} z=θTx(i)，因此 h θ ( x ( i ) ) = σ ( z ) h_\theta(x^{(i)}) = \sigma(z) hθ(x(i))=σ(z)。
代价函数 J ( θ ) J(\theta) J(θ) 对 θ j \theta_j θj 的偏导数为：
∂ J ( θ ) ∂ θ j = − [ ∂ ∂ θ j y ( i ) log ( h θ ( x ( i ) ) ) + ∂ ∂ θ j ( 1 − y ( i ) ) log ( 1 − h θ ( x ( i ) ) ) ] \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j} = -\left[ \frac{\partial}{\partial \theta_j} y^{(i)} \log(h_\theta(x^{(i)})) + \frac{\partial}{\partial \theta_j} (1 - y^{(i)}) \log(1 - h_\theta(x^{(i)})) \right] ∂θj∂J(θ)=−[∂θj∂y(i)log(hθ(x(i)))+∂θj∂(1−y(i))log(1−hθ(x(i)))]
使用链式法则，我们有：
∂ ∂ θ j h θ ( x ( i ) ) = ∂ σ ( z ) ∂ z ⋅ ∂ z ∂ θ j = σ ( z ) ( 1 − σ ( z ) ) ∂ z ∂ θ j = h θ ( x ( i ) ) ( 1 − h θ ( x ( i ) ) ) x j ( i ) \frac{\partial}{\partial \theta_j} h_\theta(x^{(i)}) = \frac{\partial \sigma(z)}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial \theta_j} = \sigma(z) (1 - \sigma(z)) \frac{\partial z}{\partial \theta_j} = h_\theta(x^{(i)}) (1 - h_\theta(x^{(i)})) x_j^{(i)} ∂θj∂hθ(x(i))=∂z∂σ(z)⋅∂θj∂z=σ(z)(1−σ(z))∂θj∂z=hθ(x(i))(1−hθ(x(i)))xj(i)
5. 每项的导数
现在，计算代价函数中每项的偏导数：
∂ ∂ θ j y ( i ) log ( h θ ( x ( i ) ) ) = y ( i ) 1 h θ ( x ( i ) ) ∂ h θ ( x ( i ) ) ∂ θ j = y ( i ) 1 h θ ( x ( i ) ) h θ ( x ( i ) ) ( 1 − h θ ( x ( i ) ) ) x j ( i ) = y ( i ) ( 1 − h θ ( x ( i ) ) ) x j ( i ) \frac{\partial}{\partial \theta_j} y^{(i)} \log(h_\theta(x^{(i)})) = y^{(i)} \frac{1}{h_\theta(x^{(i)})} \frac{\partial h_\theta(x^{(i)})}{\partial \theta_j} = y^{(i)} \frac{1}{h_\theta(x^{(i)})} h_\theta(x^{(i)}) (1 - h_\theta(x^{(i)})) x_j^{(i)} = y^{(i)} (1 - h_\theta(x^{(i)})) x_j^{(i)} ∂θj∂y(i)log(hθ(x(i)))=y(i)hθ(x(i))1∂θj∂hθ(x(i))=y(i)hθ(x(i))1hθ(x(i))(1−hθ(x(i)))xj(i)=y(i)(1−hθ(x(i)))xj(i)
∂ ∂ θ j ( 1 − y ( i ) ) log ( 1 − h θ ( x ( i ) ) ) = ( 1 − y ( i ) ) 1 1 − h θ ( x ( i ) ) ∂ ( 1 − h θ ( x ( i ) ) ∂ θ j = ( 1 − y ( i ) ) 1 1 − h θ ( x ( i ) ) ( − h θ ( x ( i ) ) ) x j ( i ) = − ( 1 − y ( i ) ) h θ ( x ( i ) ) x j ( i ) \frac{\partial}{\partial \theta_j} (1 - y^{(i)}) \log(1 - h_\theta(x^{(i)})) = (1 - y^{(i)}) \frac{1}{1 - h_\theta(x^{(i)})} \frac{\partial (1 - h_\theta(x^{(i)})}{\partial \theta_j} = (1 - y^{(i)}) \frac{1}{1 - h_\theta(x^{(i)})} (-h_\theta(x^{(i)})) x_j^{(i)} = - (1 - y^{(i)}) h_\theta(x^{(i)}) x_j^{(i)} ∂θj∂(1−y(i))log(1−hθ(x(i)))=(1−y(i))1−hθ(x(i))1∂θj∂(1−hθ(x(i))=(1−y(i))1−hθ(x(i))1(−hθ(x(i)))xj(i)=−(1−y(i))hθ(x(i))xj(i)
6. 合并项
合并这些结果：
∂ J ( θ ) ∂ θ j = − [ y ( i ) ( 1 − h θ ( x ( i ) ) ) x j ( i ) + ( 1 − y ( i ) ) ( − h θ ( x ( i ) ) ) x j ( i ) ] \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j} = - \left[ y^{(i)} (1 - h_\theta(x^{(i)})) x_j^{(i)} + (1 - y^{(i)}) (- h_\theta(x^{(i)})) x_j^{(i)} \right] ∂θj∂J(θ)=−[y(i)(1−hθ(x(i)))xj(i)+(1−y(i))(−hθ(x(i)))xj(i)]
∂ J ( θ ) ∂ θ j = − [ y ( i ) x j ( i ) − y ( i ) h θ ( x ( i ) ) ) x j ( i ) − ( 1 − y ( i ) ) h θ ( x ( i ) ) ) x j ( i ) ] \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j} = - \left[ y^{(i)} x_j^{(i)} - y^{(i)} h_\theta(x^{(i)})) x_j^{(i)} - (1 - y^{(i)}) h_\theta(x^{(i)})) x_j^{(i)} \right] ∂θj∂J(θ)=−[y(i)xj(i)−y(i)hθ(x(i)))xj(i)−(1−y(i))hθ(x(i)))xj(i)]
∂ J ( θ ) ∂ θ j = − [ y ( i ) x j ( i ) − h θ ( x ( i ) ) ) x j ( i ) ] \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j} = - \left[ y^{(i)} x_j^{(i)} - h_\theta(x^{(i)})) x_j^{(i)} \right] ∂θj∂J(θ)=−[y(i)xj(i)−hθ(x(i)))xj(i)]
∂ J ( θ ) ∂ θ j = x j ( i ) ( h θ ( x ( i ) ) − y ( i ) ) \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j} = x_j^{(i)} (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}) ∂θj∂J(θ)=xj(i)(hθ(x(i))−y(i))
向量形式
用向量形式表达所有参数：
∇ θ J ( θ ) = x ( i ) ( h θ ( x ( i ) ) − y ( i ) ) \nabla_\theta J(\theta) = x^{(i)} (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}) ∇θJ(θ)=x(i)(hθ(x(i))−y(i))
其中：
- x ( i ) x^{(i)} x(i) 是第i个样本的特征向量。
- h θ ( x ( i ) ) h_\theta(x^{(i)}) hθ(x(i)) 是第i个样本的预测概率。
- y ( i ) y^{(i)} y(i) 是第i个样本的实际标签。
总结
逻辑回归中代价函数的梯度为：
∂ J ( θ ) ∂ θ = x ( i ) ( h θ ( x ( i ) ) − y ( i ) ) \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta} = x^{(i)} (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}) ∂θ∂J(θ)=x(i)(hθ(x(i))−y(i))
这个梯度告诉我们如何调整模型参数 θ \theta θ 来最小化代价函数，这是梯度下降优化中训练逻辑回归模型的关键组成部分。
代码实现
def dJ(theta, X, y, i):return np.array(X[i]) * (-y[i] + sigmoid(np.matmul(np.array(X[i]), theta)))def train(theta, X, y, num_epoch, learning_rate):for num_epoch in range(int(num_epoch)):for i in range(len(X)):theta -= float(learning_rate) * dJ(theta, X, y,i )return thetadef predict(update_theta, X):y_pred = []for i in range(len(X)):if sigmoid(np.matmul(X[i], update_theta)) >= 0.5:y_pred.append(1)else:y_pred.append(0)return y_pred
参考资料：
- 在YouTube上观看视频
- Alex Xu的《机器学习系统设计》
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