论文题目

免验证的对于复制鲁棒性的基于量的数据估值

1. 本文具体贡献

• 通过数据的体积形式化了数据多样性的度量，并在理论上和实证上证明了体积对数据估值的适用性；
• 形式化了复制鲁棒性的概念，并设计了一种基于稳健体积（RV）度量的数据估值方法，并在理论上保证了复制鲁棒性
• 与基线方法进行了广泛的实证比较，以证明我们的方法在无需验证的情况下具有一致的估值结果，具有复制鲁棒性，并且可以灵活地适应处理诸如各种神经网络等复杂的机器学习模型

2. 问题设置和符号（想要看懂的话认真看）

考虑两个带估值的数据子矩阵$X_S$和$X_{S^{\prime }}$,分别包含了$s$和$s^{\prime }$行的d维输入特征向量。
设$P_S:=[X_S^{T}0{]}^T\in {\mathbb{R}}^{n\times d}$是$X_S\in {\mathbb{R}}^{n\times d}$的零填充版本。
我们沿着行将数据子矩阵连接起来形成完整的数据矩阵$X_S\in {\mathbb{R}}^{n\times d},i.e.,X:=[X_S^T{X}_{S^{\prime }}^T{]}^T$并且$n=s+s^{\prime }$(别担心，这里的T是转置矩阵，用两个T是为了验证行进行拼接)
我们将对应的标签表示为：$y:=[y_S^T{y}_{S^{\prime }}^T]\in {\mathbb{R}}^{n\times 1}$
OLS的最小二乘解为：
$w:=X^{+}y=argmi{n}_{\beta }||y-X\beta |{|}^2$
$X^{+}:=(X^{T}X{)}^{-1}{X}^T$是$X$的伪逆
相似的，我们用$X_S^{+}$作为$X_S$的伪逆,$w_S:=X_S^{+}{y}_S$
同时为了简化公式：令$V:=Vol(X)$和$V_S:=Vol(X_S)$
Vol()的定义如下，$|A|代表A的行列式$，X的左Gram矩阵为$G:=X^{T}X\in {\mathbb{R}}^{d\times d}$,所以对于数据子矩阵$X_S$，$G_S:=X_S^T{X}_S\in {\mathbb{R}}^{d\times d}$

Definition 1 (Volume). 对于一个满秩的矩阵 $X\in {\mathbb{R}}^{n\times d}$，其中 $n\ge d$，定义其体积为 $Vol(X):=\sqrt{|(X>X)|}=\sqrt{|G|}$。我们采用上述对体积的定义有以下几个原因：
(a) 通常，数据的输入特征空间是由数据收集过程中预先确定和固定的。但是，新的数据可以不断涌入，因此 $n$ 可以无限增长，而 $d$ 保持不变。
(b) 通过利用体积与学习性能之间的形式联系（第3节），我们可以设计一个无需验证的基于体积的数据估值方法，将更大的价值分配给导致更好学习性能的数据。
© 这为体积和多样性之间提供了直观的解释：向数据集添加一个数据点可以增加多样性/体积，具体取决于数据集中已有的数据点（引理1）。

在实践中，我们进行预处理，比如主成分分析，以减少输入特征空间的维度，以确保这一假设得到满足。这一假设是为了确保没有冗余特征，即可以使用其他特征进行精确重构的特征。例如，如果数据集已经包含了月薪，那么年薪将是冗余的。

概念性讲解

OLS（Ordinary Least Squares，普通最小二乘）

OLS是一种常用的线性回归方法，用于拟合线性模型到数据中。在OLS中，我们试图找到一组系数，使得模型的预测值与实际观测值之间的残差平方和最小化。
对于给定的数据集，假设有一个包含n个样本的数据矩阵X，其中每行表示一个样本，每列表示一个特征。同时，有一个长度为n的目标向量y，表示每个样本的观测值。
OLS的目标是找到一个系数向量w，使得模型的预测值$X_w$与观测值y之间的残差的平方和最小化。数学上，这可以表示为以下最小化问题：
$$w_{OLS}=ar{g}_{w}min||y-Xw|{|}_2^2$$

向量的二范数

向量的二范数，也称为欧几里得范数（Euclidean Norm），是指向量中各个元素的平方和再开方得到的结果。对于一个n维向量v，其二范数表示为：
$$||v|{|}_2=\sqrt{v_1^2+v_2^2+...+v_n^2}$$

伪逆

伪逆（Pseudoinverse）是一种广义逆的概念，在线性代数和矩阵计算中经常用到。伪逆是针对非方阵或奇异矩阵的情况而提出的，因为对于这些矩阵来说，它们没有逆矩阵。
广义逆有几种不同的定义，其中最常见的是 Moore-Penrose 广义逆。给定一个矩阵 $A$，它的 Moore-Penrose 广义逆通常表示为 $A^{+}$。广义逆满足以下四个性质：
$$[\begin{array}{rl}A{A}^{+}A& =A\\ A^{+}A{A}^{+}& =A^{+}\\ (A{A}^{+}{)}^T& =A{A}^{+}\\ (A^{+}A{)}^T& =A^{+}A\end{array}]$$

3 更大的数据量意味着更好的学习性能

通过普通最小二乘（OLS）框架来正式化这一说法。具体来说，我们将研究两个学习性能的度量指标
(a)由偏差表示的伪逆质量 $bia{s}_S:=||P_S^{+}-X^{+}||$,因为准确估计 $X^{+}$ 对于达到较小的均方误差（MSE）是重要的,其中$P_S^{+}:=(X_S^T{X}_S{)}^{-1}{P}_S^T$
(b)作为MSE表示的均方误差:$L(w_S):=||y-X{w}_S|{|}^2$

3.1 更大量的数据意味着更小的偏差

命题1(数据量VS偏差对于d=1)。对于$x\in {\mathbb{R}}^{n\times 1}$的非零$X_S,X_{S^{\prime }}$,有$V_S\ge V_{S^{\prime }}⟺bia{s}_S-bia{s}_{S^{\prime }}\le 0$

命题2（一般情况下的体积 vs. 偏差）。对于 $X\in {\mathbb{R}}^{n\times d}$ 的满秩的 $X_S$、$X_{S^{\prime }}$，有
$$\begin{array}{rl}& bia{s}_S^2-bia{s}_{S^{\prime }}^2\\ & =\frac{1}{V_S^4}{\Vert Q_S{X}_S^T\Vert }^2-\frac{1}{V_{S^{\prime }}^4}{\Vert Q_S^{\prime }{X}_{S^{\prime }}^T\Vert }^2\\ & +2⟨\frac{1}{V^2}Q{X}^T,\frac{1}{V_{S^{\prime }}^2}{Q}_{S^{\prime }}{P}_{S^{\prime }}^T-\frac{1}{V_S^2}{Q}_S{P}_S^T⟩\end{array}$$
其中
Q : = ∑ l = 1 k ( λ l σ l ) − 1 ∏ j = 1 , j ≠ l k ( G − λ j I ) , { λ l } l = 1 k 表示矩阵  X 的左 Gram 矩阵  G 的  k 个唯一特征值 , Q S , Q S ′ 相应地定义于  G S , G S ′ , P S 和  P S ′ 分别是  X S 和  X S ′ 的零填充版本 , σ l : = ∑ g = 1 k ( − 1 ) g + 1 λ k − g l [ ∑ H ⊂ { 1 , . . . , k } ∖ { l } , ∣ H ∣ = g − 1 ( ∏ h ∈ { 1 , . . . , k } ∖ H λ h − 1 ) ] . \begin{align*} Q &:= \sum_{l=1}^{k}(\lambda_l\sigma_l)^{-1} \prod_{j=1,j \neq l}^{k}(G - \lambda_j I), \\ \{\lambda_l\}_{l=1}^{k} &\text{ 表示矩阵 } X \text{ 的左 Gram 矩阵 } G \text{ 的 } k \text{ 个唯一特征值}, \\ Q_S, Q_S' &\text{ 相应地定义于 } G_S, G_S', \\ P_S \text{ 和 } P_S' &\text{ 分别是 } X_S \text{ 和 } X_S' \text{ 的零填充版本}, \\ \sigma_l &:= \sum_{g=1}^{k}(-1)^{g+1}\lambda_{k-g}^{l} \left[ \sum_{H \subset \{1,...,k\}\setminus \{l\},|H|=g-1} \left( \prod_{h \in \{1,...,k\}\setminus H} \lambda_h^{-1} \right) \right]. \end{align*} Q{λl​}l=1k​QS​,QS′​PS​ 和 PS′​σl​​:=l=1∑k​(λl​σl​)−1j=1,j=l∏k​(G−λj​I), 表示矩阵 X 的左 Gram 矩阵 G 的 k 个唯一特征值, 相应地定义于 GS​,GS′​, 分别是 XS​ 和 XS′​ 的零填充版本,:=g=1∑k​(−1)g+1λk−gl​ ​H⊂{1,...,k}∖{l},∣H∣=g−1∑​ ​h∈{1,...,k}∖H∏​λh−1​ ​ ​.​

本文通过经验验证结论第3节的方法，检验第3.1节最后一段描述的附加假设是否成立，即通过检查$V_S\ge V_{S^{\prime }}⟺bia{s}_S-bia{s}_{S^{\prime }}\le 0$成立的百分比次数。
实验设置如下：
在500次独立试验中随机且相同地抽样相同大小的XS、XS’，并计算更大的体积导致更好的学习性能的百分比（纵轴）与XS、XS’大小（横轴）的关系。

3.2 更大量的数据意味着均方误差越小

命题3（d = 1 时的体积 vs. 均方误差）。对于 $X\in {\mathbb{R}}^{n\times 1}$ 的非零 $X_S$、$X_{S^{\prime }}$，有 $V_S\ge V_{S^{\prime }}\iff L(w_S)-L(w_{S^{\prime }})\le 0$。
不幸的是，以上结果不适用于d > 1的情况。