Day03-二分系列之-二分答案

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⏰小屋将在每日上午发放打卡题目，包括：

• 一道该算法的模版题 (主要以力扣，牛客，acwing等其他OJ网站的题目作为模版)
• 一道该算法的应用题（主要以往期互联网大厂 笔试真题 的形式出现，评测在咱们的 笔试突围OJ）

小屋day03

咱们的二分系列用的都是 day02 的二分模版～

二分模版介绍：二分模版

有小伙伴可能会问了，既然系统有自带的二分库，为什么我们还要自己手写二分呢？清隆认为主要有以下两点：

• 在二分的其他应用中，手写二分更利于设置 check 条件和实现具体逻辑
• 加深对二分的理解和提高代码熟练度

今天给大家带来二分答案相关的题

前言

什么是二分答案？

说直白点其实就是先 猜 一个答案，然后通过check函数来检查这个答案 是否合法，继而跟新二分的左右端点。

能够二分答案的题需要题目满足具有一定的性质，如单调性、二段性等等。

🎀 模版题

2187. 完成旅途的最少时间

题目描述

给你一个数组 time ，其中 time[i] 表示第 i 辆公交车完成 一趟 旅途 所需要花费的时间。

每辆公交车可以 连续 完成多趟旅途，也就是说，一辆公交车当前旅途完成后，可以 立马开始 下一趟旅途。每辆公交车 独立 运行，也就是说可以同时有多辆公交车在运行且互不影响。

给你一个整数 totalTrips ，表示所有公交车 总共 需要完成的旅途数目。请你返回完成 至少 totalTrips 趟旅途需要花费的 最少 时间。

示例 1：

输入：time = [1,2,3], totalTrips = 5
输出：3
解释：
- 时刻 t = 1 ，每辆公交车完成的旅途数分别为 [1,0,0] 。已完成的总旅途数为 1 + 0 + 0 = 1 。
- 时刻 t = 2 ，每辆公交车完成的旅途数分别为 [2,1,0] 。已完成的总旅途数为 2 + 1 + 0 = 3 。
- 时刻 t = 3 ，每辆公交车完成的旅途数分别为 [3,1,1] 。已完成的总旅途数为 3 + 1 + 1 = 5 。
所以总共完成至少 5 趟旅途的最少时间为 3 。

示例 2：

输入：time = [2], totalTrips = 1
输出：2
解释：
只有一辆公交车，它将在时刻 t = 2 完成第一趟旅途。
所以完成 1 趟旅途的最少时间为 2 。

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解题思路

时间越多，可以完成的旅途也就越多，有 单调性，可以二分答案。

在二分之前需要设置区间左右端。

• 左端点：答案的最小可能值

• 右端点：答案的最大可能值

• 当然实际运用中，左端点可以设置的更小点也没事，右端点同理

现在我们尝试来进行 猜 答案，假设当前答案为 X:

那么可以完成的旅途数量为：${\sum }_{i=0}^{n-1}\lfloor \frac{x}{time[i]}\rfloor$

如果比 totalTrips 大了，说明 X 还能继续缩小，那么跟新（左移）右端点，否则跟新（右移）左端点。

此时我们发现在 check 函数判断之后 需要跟新的是右端点，所以使用 第一个二分模版

时间复杂度：O(nlog⁡U)，其中 n 为time 的长度，U 为 二分设置的区间长度

参考代码

• Python

  class Solution:def minimumTime(self, time: List[int], totalTrips: int) -> int:l, r = 0, int(1e18) + 10 #  设置左右端点def check(x: int) -> bool:sum = 0for t in time:sum += x // tif sum >= totalTrips:return Truereturn Falsewhile l < r:mid = (l + r) // 2if check(mid):r = midelse:l = mid + 1return l

• Java

  import java.util.List;class Solution {public long minimumTime(int[] time, int totalTrips) {long l = 0, r = (long)1e18 + 10; // 设置左右端点while (l < r) {long mid = l + (r - l) / 2;if (check(time, mid, totalTrips)) {r = mid;} else {l = mid + 1;}}return l;}private boolean check(int[] time, long x, int totalTrips) {long sum = 0;for (int t : time) {sum += x / t;if (sum >= totalTrips) {return true;}}return false;}
  }

• Cpp

  class Solution {
  public:long long minimumTime(vector<int>& time, int totalTrips) {long long l = 0, r = 1e18 + 10; // 设置左右端点auto check = [&](long long x) -> bool{long long sum = 0;for(int t : time){sum += x / t;if(sum >= totalTrips) return true;}return false;};while(l < r){long long mid = l + r >> 1; if(check(mid)) r = mid;elsel = mid + 1;}return l;}
  };
  

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🍰 笔试真题

• 该题来自今年 华为春招 的笔试题，出现在笔试第一题。

K小姐的购物系统调度

评测链接🔗

问题描述

K小姐负责维护一个购物系统，该系统面临着来自多个客户端的请求。为了应对系统的性能瓶颈，需要实现一个降级策略，以防止系统超负荷。

系统需要确定一个请求调用量的最大阈值 $value$。如果所有客户端的请求总量未超过系统的最大承载量 $cnt$，则所有请求均可正常处理，此时返回 $-1$。否则，超过 $value$ 的客户端调用量需要被限制在 $value$，而未超过 $value$ 的客户端可以正常请求。要求计算可以接受的最大 $value$，以便尽可能地满足更多的请求。

输入格式

第一行包含 $n$ 个空格分隔的正整数 $R_1,R_2,...,R_n$，表示每个客户端在一定时间内发送的交易请求数量。

第二行包含一个正整数 $cnt$，表示购物系统的最大调用量。

输出格式

输出一个整数，表示系统能够接受的最大请求调用量的阈值 $value$。

样例输入

1 4 2 5 5 1 6
13

样例输出

2

解释说明

若将 $value$ 设置成 $6$， $1+4+2+5+5+1+6>13$ 不符合。

将 $value$ 设置为 $2$ ， $1+2+2+2+2+1+2=12<13$ 符合。

可以证明 $value$ 最大为 $2$。

评测数据与规模

• $0<n\le 10^5$
• $0\le R_i\le 10^5$
• $0\le cnt\le 10^9$

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题解

我们先来判断 题目答案是否有 单调性

1. 当阈值 $value$ 变小时，请求量会被限制会变多，总的请求量就会减小
2. 当阈值 $value$ 变大时，请求量会被限制会变少，总的请求量就会变大.

所以 $value$ 最大，答案最大，因此答案具有 单调性

因此我们可以尝试 猜 一个答案 $x$

• 设置 $x$ 的左右边界， 左边界可以设置为 $0$ ，右边界最大为 $max(R_i)$，其中 $0<i<n$。
• 每次通过 $x$ ，对当前的请求量求和，并和 $cnt$ 做比较。
• 判断当前$x$ 是否满足条件，如果满足，则尝试猜更大的 $x$，即跟新（右移）左端点
• 因为是右移左端点，所以这里采用二分的 第二个模版

时间复杂度: $O(n\log (n))$

AC代码

• Java

import java.util.*;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);List<Integer> list = new ArrayList<>();// 读取所有输入的整数while (sc.hasNextInt()) {int x = sc.nextInt();list.add(x);}int[] nums = new int[list.size()];// 将List转为数组for (int i = 0; i < list.size(); i++) {nums[i] = list.get(i);}int left = 0;int maxv = Arrays.stream(nums).max().getAsInt(); // 找到数组中的最大值int right = maxv;// 二分查找最大值while (left < right) {int mid = (left + right + 1) / 2;if (check(nums, mid)) {left = mid;} else {right = mid - 1;}}// 输出结果if (right == maxv) {System.out.println(-1);} else {System.out.println(left);}}// 检查是否满足条件private static boolean check(int[] nums, int value) {long sum = 0;for (int i = 0; i < nums.length - 1; i++) {sum += Math.min(nums[i], value);}return sum <= nums[nums.length - 1];}
}

• Cpp

  #include <iostream>
  #include <vector>
  #include <algorithm>
  using namespace std;bool check(vector<int>& nums, int value) {long long sum = 0;for (int i = 0; i < nums.size() - 1; ++i) {sum += min(nums[i], value);}return sum <= nums.back(); // nums.back() 返回最后一个元素
  }int main() {vector<int> nums;int x;// 读取所有输入的整数while (cin >> x) {nums.push_back(x);}int left = 0;int maxv = *max_element(nums.begin(), nums.end()); // 找到数组中的最大值int right = maxv;// 二分查找最大值while (left < right) {int mid = (left + right + 1) / 2;if (check(nums, mid)) {left = mid;} else {right = mid - 1;}}// 输出结果if (right == maxv) {cout << -1 << endl;} else {cout << left << endl;}return 0;
  }

• Python

  def check(nums, value):total = 0for num in nums[:-1]:  # 排除最后一个元素total += min(num, value)return total <= nums[-1]  # 检查条件是否满足def main():import sysinput = sys.stdin.readnums = list(map(int, input().split()))  # 读取所有输入的整数left = 0maxv = max(nums)  # 找到数组中的最大值right = maxv# 二分查找最大值while left < right:mid = (left + right + 1) // 2if check(nums, mid):left = midelse:right = mid - 1# 输出结果if right == maxv:print(-1)else:print(left)if __name__ == "__main__":main()