5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性

控制系统的基本结构是由受控对象反馈控制器两部分构成的闭环系统。经典理论中采用输出反馈,而现代控制理论中采用状态反馈

1、状态反馈

状态反馈是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数,然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律,作为受控对象的控制输入。

受控系统的状态空间表达式为:
x ˙ = A x + B u y = C x + D u (1) \begin{aligned} &\dot{\pmb x}=\pmb A \pmb x + \pmb B \pmb u\\[1ex] &\pmb y = \pmb C \pmb x + \pmb D\pmb u \end{aligned}\tag{1} x˙=Ax+Buy=Cx+Du(1)

D = 0 \pmb D=\pmb 0 D=0,则受控系统:
x ˙ = A x + B u y = C x (2) \begin{aligned} &\dot{\pmb x}=\pmb A \pmb x + \pmb B \pmb u\\[1ex] &\pmb y = \pmb C \pmb x \end{aligned}\tag{2} x˙=Ax+Buy=Cx(2)

简记为 ∑ 0 = ( A , B , C ) \sum_0=(\pmb {A,B,C}) 0=(A,B,C)

状态线性反馈控制率 u \pmb u u 为:
u = K x + v (3) \pmb u=\pmb{Kx}+\pmb v\tag{3} u=Kx+v(3)

式中, v \pmb v v 为参考输入; K \pmb K K 为状态反馈系数矩阵或状态反馈增益矩阵

把式(3)代入式(1)整理可得状态反馈闭环系统的状态空间表达式:
x ˙ = ( A + B K ) x + B v y = ( C + D K ) x + D v (4) \begin{aligned} &\dot{\pmb x}=(\pmb A +\pmb{BK}) \pmb x + \pmb B \pmb v\\[1ex] &\pmb y = (\pmb C+\pmb {DK}) \pmb x + \pmb {Dv} \end{aligned}\tag{4} x˙=(A+BK)x+Bvy=(C+DK)x+Dv(4)

D = 0 \pmb D=\pmb 0 D=0,则
x ˙ = ( A + B K ) x + B v y = C x (5) \begin{aligned} &\dot{\pmb x}=(\pmb A +\pmb{BK}) \pmb x + \pmb B \pmb v\\[1ex] &\pmb y = \pmb C \pmb x \end{aligned}\tag{5} x˙=(A+BK)x+Bvy=Cx(5)

比较开环系统 ∑ 0 = ( A , B , C ) \sum_0=(\pmb {A,B,C}) 0=(A,B,C) 与闭环系统 ∑ K = ( ( A + B K ) , B , C ) \sum_K=((\pmb{A+BK})\pmb {,B,C}) K=((A+BK),B,C) 可见,状态反馈矩阵 K \pmb K K 的引入,并不会增加系统的维数,但可通过 K \pmb K K 的选择自由地改变闭环系统的特征值,从而使系统获得所要求的性能。

2、输出反馈

输出反馈是采用输出矢量 y \pmb y y 构成线性反馈律。

输出线性反馈控制律为:
u = H y + v (6) \pmb u = \pmb{Hy} + \pmb v\tag{6} u=Hy+v(6)

其中 H \pmb H H输出反馈增益矩阵


u = H ( C x + D u ) + v = H C x + H D u + v = ( I − H D ) − 1 ( H C x + v ) (7) \begin{aligned} \pmb u&=\pmb H(\pmb{Cx}+\pmb{Du})+\pmb v=\pmb{HCx}+\pmb{HDu} +\pmb v\\[1ex] &= (\pmb I-\pmb{HD})^{-1}(\pmb{HCx}+\pmb v) \end{aligned}\tag{7} u=H(Cx+Du)+v=HCx+HDu+v=(IHD)1(HCx+v)(7)

把式(7)代入式(1)整理可得输出反馈闭环系统的状态空间表达式:
x ˙ = [ A + B ( I − H D ) − 1 H C ] x + B ( I − H D ) − 1 v y = [ C + D ( I − H D ) − 1 H C ] x + D ( I − H D ) − 1 v (8) \begin{aligned} &\dot{\pmb x}=[\pmb A + \pmb{B}(\pmb I-\pmb{HD})^{-1}\pmb{HC}]\pmb x+\pmb B(\pmb I-\pmb{HD})^{-1}\pmb v\\[1ex] &\pmb y =[\pmb C+\pmb D(\pmb I-\pmb{HD})^{-1}\pmb{HC}]\pmb x+\pmb D(\pmb I-\pmb{HD})^{-1}\pmb v \end{aligned}\tag{8} x˙=[A+B(IHD)1HC]x+B(IHD)1vy=[C+D(IHD)1HC]x+D(IHD)1v(8)

D = 0 \pmb D=\pmb 0 D=0,则
x ˙ = ( A + B H C ) x + B v y = C x (9) \begin{aligned} &\dot{\pmb x}=(\pmb A + \pmb{B}\pmb{HC})\pmb x+\pmb B\pmb v\\[1ex] &\pmb y =\pmb {Cx} \end{aligned}\tag{9} x˙=(A+BHC)x+Bvy=Cx(9)

由上式可见,通过选择输出反馈增益矩阵 H \pmb H H 也可以改变闭环系统的特征值,从而改变系统的控制特性。

通过比较可以看出,输出反馈中的 H C \pmb{HC} HC 与状态反馈中的 K \pmb K K 相当,但 H \pmb H H 可供选择的自由度远比 K \pmb K K 小,因而输出反馈智能相当于一种部分状态反馈。

3、从输出到状态矢量导数 x ˙ \dot{\pmb x} x˙ 反馈

从系统输出到状态矢量导数 x ˙ \dot{\pmb x} x˙ 的线性反馈形式在状态观测器中获得应用。

设受控系统 ∑ 0 = ( A , B , C , D ) \sum_0=(\pmb {A,B,C,D}) 0=(A,B,C,D)
x ˙ = A x + B u y = C x + D u (10) \begin{aligned} &\dot{\pmb x}=\pmb A \pmb x + \pmb B \pmb u\\[1ex] &\pmb y = \pmb C \pmb x + \pmb D\pmb u \end{aligned}\tag{10} x˙=Ax+Buy=Cx+Du(10)

加入从输出 y \pmb y y 到状态矢量导数 x ˙ \dot{\pmb x} x˙ 的反馈增益矩阵 G \pmb G G,可得闭环系统:
x ˙ = A x + G y + B u y = C x + D u (11) \begin{aligned} &\dot{\pmb x}=\pmb A \pmb x +\pmb{Gy}+ \pmb B \pmb u\\[1ex] &\pmb y = \pmb C \pmb x + \pmb D\pmb u \end{aligned}\tag{11} x˙=Ax+Gy+Buy=Cx+Du(11)

整理可得
x ˙ = ( A + G C ) x + ( B + G D ) u y = C x + D u (12) \begin{aligned} &\dot{\pmb x}=(\pmb A+\pmb{GC}) \pmb x+ (\pmb B+\pmb{GD}) \pmb u\\[1ex] &\pmb y = \pmb C \pmb x + \pmb D\pmb u \end{aligned}\tag{12} x˙=(A+GC)x+(B+GD)uy=Cx+Du(12)

D = 0 \pmb D=\pmb 0 D=0,则
x ˙ = ( A + G C ) x + B u y = C x (13) \begin{aligned} &\dot{\pmb x}=(\pmb A+\pmb{GC}) \pmb x+ \pmb B \pmb u\\[1ex] &\pmb y = \pmb C \pmb x \end{aligned}\tag{13} x˙=(A+GC)x+Buy=Cx(13)

可以看出,通过选择矩阵 G \pmb G G 也能改变闭环系统的特征值,从而影响系统的特性。

4、动态补偿器

上述三种反馈基本结构的共同点是,不增加新的状态变量,系统开环与闭环同维。其次,反馈增益矩阵都是常矩阵,反馈为线性反馈

在更复杂的情况下,常常要通过引入一个动态子系统来改善系统性能,这种动态子系统,称为动态补偿器

这类系统的典型例子是使用状态观测器的状态反馈系统。这类系统的维数等于受控系统与动态补偿器二者维数之和。

5、闭环系统的能控性与能观性

定理1:状态反馈不改变受控系统 ∑ 0 = ( A , B , C ) \sum_0=(\pmb {A,B,C}) 0=(A,B,C) 的能控性。但不保证系统的能观性不变。

定理2:输出反馈不改变受控系统 ∑ 0 = ( A , B , C ) \sum_0=(\pmb {A,B,C}) 0=(A,B,C) 的能控性和能观性。

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