切线

要求与曲线$C$相切于$P(a,f(a))$点的切线，我们可以在曲线上找到与之相近的一点$Q(x,f(x))$，然后求出割线$PQ$的斜率：
$$m_{PQ}=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$
当$Q$沿着曲线向$P$逐渐靠近，$m_{PQ}$会越来越接近切线的斜率$m$。

定义 1：与曲线$f(x)$切于点$P(a,f(a))$的切线是一条穿过$P$的直线，其斜率为：
$$m=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

例一
求抛物线$y=x^2$在点$P(1,1)$的切线公式。
解：
已知$a=1$和$f(x)=x^2$，因此切线的斜率为：
$$\begin{array}{rl}m& =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\\ & =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}\\ & =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}\\ & =\underset{x\to 1}{\lim }(x+1)\\ & =1+1=2\end{array}$$
再使用切点式，有
$$\begin{array}{rl}y-1& =2(x-1)\\ y& =2x-1\end{array}$$

除定义中给出的求切线斜率的表达式之外，还有用下面的表达式 2求切线斜率：
$$m=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

例二
求双曲线$y=3/x$在点$(3,1)$的切线方程。
根据表达式2有
$$\begin{array}{rl}m& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(3+h)-f(3)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\left(\frac{\frac{3}{3+h}-1}{h}\right)\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\left(\frac{\frac{3-(3+h)}{3+h}}{h}\right)\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\left(\frac{-h}{h(3+h)}\right)\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\left(\frac{-1}{3+h}\right)\\ & =-\frac{1}{3}\end{array}$$

速度

已知路程和时间的关系式$f(x)$，可以通过下面的表达式求位置$P$和$Q$之间移动的平均速度：
$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
现在假设我们计算越来越短的时间间隔 ([a, a+h]) 上的平均速度。换句话说，我们让 (h) 趋近于 0。就像在下落的球的例子中一样，我们定义在时间 (t=a) 时的速度（或瞬时速度）(v(a)) 为这些平均速度的极限：
$$v(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

例三
假设一个球从CN塔上层观景台（距地面450米）掉下。

(a) 球在5秒钟后的速度是多少？

(b) 球撞到地面时的速度是多少？
提示：自由落体运动的公式为$s(t)=\frac{1}{2}g{t}^2$。

导数

导数定义：一个函数$f$在某个数$a$处的导数，记作$f’(a)$，定义为：
$$f\prime (a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
这个极限，如果存在，就被称为函数$f$在点$a$处的导数，它表示函数$f$在$a$处的瞬时变化率或斜率。也可以用下面的方程表示：
$$f\prime (a)=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

例四
找到函数$f(x)=x^2+8x+19$在数$a$处的导数。

根据切线和导数的定义，我们可以得出一个结论：切线在点$(a,f(a))$的斜率等于导数$f\prime (a)$。

如果我们使用直线的点斜式方程，我们可以写出曲线$y=f(x)$在点$(a,f(a))$处的切线方程：$$y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$$

例五
找到抛物线$y=x^2+8x+19$在点$(3,-6)$处的切线方程。

变化率

假设$y$是$x$的函数，我们写作$y=f(x)$。如果$x$从$x_1$变化到$x_2$，那么$x$的变化量（也称为$x$的增量）是
$$\Delta x=x_2-x_1$$
相应地$y$的变化量是
$$\Delta y=f(x_2)-f(x_1)$$
商
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$$
被称为$y$相对于$x$在区间$[x_1,x_2]$上的平均变化率，可以解释为图中割线$PQ$的斜率。

通过与速度类比，我们通过让$x_2$趋近$x_1$，从而让$\Delta x$趋近0，来考虑在越来越小的区间上的平均变化率。这些平均变化率的极限称为$y$相对于$x$在$x=x_1$处的瞬时变化率，它（与速度的情况一样）被解释为曲线$y=f(x)$在点$P(x_1,f(x_1))$处的切线的斜率：
$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{x_2\to x_1}{\lim }\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$$
前面我们已经知道，导数$f^{\prime }(a)$是曲线$y=f(x)$在$x=a$处的切线的斜率。现在我们知道切线的斜率就是瞬时变化率，因此可以说：导数$f^{\prime }(a)$是$y=f(x)$在$x=a$处的瞬时变化率。

如果我们绘制曲线$y=f(x)$，那么瞬时变化率就是该曲线在$x=a$处的切线的斜率。这意味着，当导数很大时（因此曲线很陡，如图中的点P），$y$值变化很快。当导数很小时，曲线相对平缓（如点Q），$y$值变化缓慢。

例六
制造商生产固定宽度的织物卷，生产 $x$ 码织物的成本是 $C(x)$ 美元。

(a) 导数 $f’(x)$ 的含义是什么？它的单位是什么？

(b) 在实际中，说 $f’(1000)=9$ 是什么意思？

(c) 你认为哪个大，$f’(50)$ 还是 $f’(500)$或$f’(5000)$ 呢？

例七
让$D(t)$表示时间$t$时的美国国债。表格提供了从1985年到2010年每年底的估算值，单位为十亿美元。解释并估算$D\prime (2000)$的值。

解：
导数 $D’(2000)$ 表示国债 $D$ 相对于时间 $t$ 在 $t=2000$ 时的变化率，即2000年国债的增长率。根据变化率方程有
$$D\prime (2000)=\underset{t\to 2000}{\lim }\frac{D(t)-D(2000)}{t-2000}$$
因此，我们计算并列出差商（平均变化率）的数值如下。

从这张表格中我们可以看出，$D\prime (2000)$大约在每年$134.7$亿到$501.64$亿美元之间。【在这里，我们做出一个合理的假设，即债务在1995年到2005年之间没有剧烈波动。】我们估计美国国债在2000年的增长率大约是这两个数字的平均值，即$$D^{\prime }(2000)\approx 318亿美元每年$$