目录

一、引言

二、红黑树的基本概念

三、红黑树的性质

四、红黑树的实现

结构

插入

五、红黑树的应用

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一、引言

红黑树（Red-Black Tree）是一种自平衡的二叉搜索树，它可以在插入、删除和查找操作中保持相对高效的性能。由于其独特的性质，红黑树在计算机科学中得到了广泛的应用，特别是在需要动态维护有序数据集合的场景中。本文将详细介绍红黑树的基本概念、性质、实现以及应用。

二、红黑树的基本概念

红黑树是一种特殊的二叉搜索树，它在每个节点上附加了一个颜色属性（红色或黑色），并通过以下五个性质来维持树的平衡：

1. 每个节点要么是红色，要么是黑色。
2. 根节点是黑色。
3. 每个叶子节点（NIL节点，空节点）是黑色。
4. 如果一个节点是红色的，则它的两个子节点都是黑色的。
5. 对于每个节点，从该节点到其所有后代叶子节点的简单路径上，均包含相同数目的黑色节点。

三、红黑树的性质

红黑树的性质保证了它在插入、删除和查找操作中的高效性。以下是一些关键性质：

1. 高度平衡：由于性质5的保证，红黑树的高度大致为O(log n)，其中n为树中节点的数量。因此，在红黑树中查找、插入和删除操作的时间复杂度均为O(log n)。
2. 动态维护：红黑树在插入和删除节点时，通过一系列旋转和颜色调整操作来保持树的平衡。这些操作保证了红黑树在动态变化时仍能保持较高的性能。

四、红黑树的实现

红黑树的实现涉及到节点定义、插入操作、删除操作以及旋转和颜色调整等辅助操作。以下是一个简化的C++红黑树实现框架：

• 结构

enum Colour
{RED,BLACK
};template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{RBTreeNode<K, V>* _left;RBTreeNode<K, V>* _right;RBTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;Colour _col;RBTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _col(RED){}
};template<class K, class V>
class RBTree
{typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const pair<K, V>& kv)；void RotateR(Node* parent)；void RotateL(Node* parent)；
private:Node* _root = nullptr;
};

• 插入

  	bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);cur->_col = RED; if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;while (parent && parent->_col == RED){Node* grandfather = parent->_parent;if (parent == grandfather->_left){Node* uncle = grandfather->_right;// 叔叔存在且为红if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;// 继续往上处理cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else // 叔叔不存在，或者存在且为黑{if (cur == parent->_left){//     g  //   p   u// c RotateR(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{//      g  //   p     u//      c RotateL(parent);RotateR(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}else{Node* uncle = grandfather->_left;// 叔叔存在且为红if (uncle && uncle->_col == RED){parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;// 继续往上处理cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else // 叔叔不存在，或者存在且为黑{// 叔叔不存在或者存在且为黑// 旋转+变色//      g//   u     p//            cif (cur == parent->_right){RotateL(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{//		g//   u     p//      cRotateR(parent);RotateL(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}}_root->_col = BLACK;return true;}void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;Node* ppNode = parent->_parent;parent->_parent = subL;if (parent == _root){_root = subL;_root->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_left == parent){ppNode->_left = subL;}else{ppNode->_right = subL;}subL->_parent = ppNode;}}void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;Node* ppNode = parent->_parent;parent->_parent = subR;if (parent == _root){_root = subR;_root->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_right == parent){ppNode->_right = subR;}else{ppNode->_left = subR;}subR->_parent = ppNode;}}

五、红黑树的应用

红黑树在许多领域都有广泛的应用，包括但不限于：

1. 关联容器：C++标准库中的std::map和std::set就是基于红黑树实现的关联容器。它们支持高效的插入、删除和查找操作，并且能够动态地维护有序数据集合。
2. 路由表：在计算机网络中，路由表通常使用红黑树来存储路由信息。由于路由表需要频繁地插入、删除和查找路由条目，红黑树的高效性使得路由表能够快速地响应网络变化。
3. 数据库索引：在数据库中，索引是提高查询性能的关键。红黑树作为一种高效的动态数据结构，可以用于实现各种索引结构，如B+树等。