通俗范畴论3 从特指对象到对象

同一性问题

如前所述，特指对象有个名字，并用一个点表示（相当于另一个名字），它可以作为箭头的起点或终点，箭头的多少，以及箭头的起点和终点根据表达的需要而定，没有特别的约定。因此，我们可以画出的、最简单的有向图如下：

最简单的有向图

Figure 1. 最简单的有向图

对于上图的苹果1，如果咬它一口，还可以认为咬过的苹果是苹果1么？

小明认为是，因为咬一口只是苹果1缺了一小块，不算什么，苹果1还是苹果1；小丽的观点则相反，因为苹果1已经缺了一块，不再和原来的苹果1完全相同了，因此它应该用一个新的名字代之，比如 苹果2。如下图所示：

Table 1. 对相同的不同理解示意
小明	小丽

小明和小丽哪个对呢？我们让小明和小丽再次陈述观点：

小明：苹果1可以吃，咬一口以后还可以吃，就还是苹果1。

小丽：苹果1咬了一口，虽然还可以吃，但是已经不似以前那个完整的苹果1了，所以咬一口后的苹果，就不再是苹果1，而是苹果2了。

经过陈述，我们发现小明和小丽都有道理，小明的潜台词是只咬一口没关系（还能吃）；小丽的潜台词是咬一口破坏了苹果1的完整性，所以苹果1不再是苹果1了。他们的关注点不同，在小明的语境和小丽的语境下，他们各自画的有向图都对。

从特指对象的角度，特指对象是名字对应的某个东西，没有更多的规定。如果非要说，那就是我们就是知道什么时候是同一个（We just simply know the identity），具体如何判断取决于语境（具体情况）。特指对象有向图的箭头也一样，我们就是知道箭头是不是同一个，具体如何判断取决于语境。

但是上述这个例子，引出一个哲学性问题：同一性问题（Identity Problem）。即，我们在什么情况下认为事物是同一个东西，什么情况下认为事物不是同一个东西？

今天的苹果1和昨天的苹果1是同一个么？
人能两次踏进同一条河流么？
在家里的你和在单位的是同一人么？
…

您可以反复思索这个问题，思考这个问题本身也许不能得出什么结论，但是思考本身却可以加深您对已知事物的认识。

数学概念

数学上的特指对象，比如：点、直线、集合、未知数、三角形、正方形、加法、乘法等，什么时候算同一个，什么时候不算，则要严格得多。例如，古希腊数学家欧几里得在其《几何原本》中对点有如下描述（一个直接的非正式定义）：

点

点是没有部分的东西。（A point is that which has no part.）

在这个定义里，点在空间中某处是不言自明的。然后，按照定义，没有部分意味着点这个特指对象没有大小、形状，即不能通过大小和形状来区分一个点。从而我们仅仅只能通过位置来区分一个点是不是同一个点，即位置相同，就是同一个点。我们可以看到，数学上的同一性判断，比我们日常生活中的同一性判断要严格得多，即，明确限定了什么算同一个，什么不算同一个。

不过需要注意，这种严格并不是绝对意义上的严格。因为你也可以争辩说，空间中的同一个位置，可以放下无数个点，他们的位置相同。在数学上，同一性判断是一种规定，只要这种规定不带来逻辑矛盾，我们就认为是可行的。而为了严格，我们往往会从若干可行的规定方案中选择一种进行规定，从而使我们可以明确地完成同一性的判断。

对于数学上的特指对象，即数学概念，我们如何进行规定呢？

首先，我们可以通过性质来进行规定，比如点的性质是：在空间中某处，自身没有部分，该处的点是同一个点。

其次，我们也可以通过结构来进行规定，比如，用线段连接相异三点所得的图形是一个三角形，且仅是一个三角形。在这里三角形的构成是：三个相异顶点、连接三个相异顶点的线段。

通常，这些规定在数学上是以定义或公理的形式给出的，它们是数学逻辑的基础，公理和定义是数学推导的基础，即逻辑的起点，而公理和定义本身，大家都公认，不需要证明。

理想情况下，从公理和定义出发，之后的数学推导和计算就仅仅依赖于这些定义和公理，假设推导没有错误，这些推导出来的引理、定理就是正确的，那么整个数学大厦就是无懈可击的，不依赖于任何外部因素。从这个角度说，数学仅仅依赖公理和定义，因此，数学是一种追求最少依赖的思维方式。

欧几里得五大公理：

过相异两点，能作且只能作一直线。
线段（有限直线）可以任意地延长。
以任一点为圆心、任意长为半径，可作一圆。
凡是直角都相等。
如果一条直线与两条直线相交，且在同侧的内角和小于两个直角，则这两条直线在该侧必定相交于一点。（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。）

为了最小依赖，最后一条公理，也就是第五公理，即平行公理，历史上多位数学家先后进行了2000多年的研究，企图把它去掉，是否能去掉这个问题，直到 19 世纪才最终得到解决。

为叙述方便，我们给所有数学上的特指对象取个名字，叫做数学概念，这算一个非必要的约定。

范畴中的对象

现在我们提升特指对象为范畴对象，即将特指对象提升为一个数学概念。

在范畴论中，有个数学概念叫 对象 （Object）。它和特指对象非常类似，也有一个名字，然后，它还有个恒等箭头（Identity）。例如，对于苹果1对象我们有：

Figure 2. 最简单的范畴示例

如上图所示：

每个对象都有一个不同的名字，除非特别说明
每个对象都有一个恒等箭头且只有一个，在上图中就是 Identity苹果1，简称 Id苹果1，它从一个对象对应到该对象自身，没有任何其他操作

苹果1是对象，Id苹果1是恒等箭头，因为对于任何对象，恒等箭头存在且唯一，因此我们能画出的最简单的范畴有向图，就如上图所示（空范畴除外）。

恒等箭头的内部观点

这里特别要说明的是恒等箭头。我们从Id苹果1箭头的起点，也就是苹果1（源对象）出发，箭头就是求这个起点的对应对象（目标对象），这个起点的对应对象在箭头的终点，终点对象的名字叫苹果1，所以，源对象和目标对象同一，即源对象和目标对象是同一个对象。

然后我们再往深一层考虑，就说这个源对象，比如苹果1，它有组成部分，即结构；也有性质，比如可以吃等等。那么，你说苹果1经过恒等箭头，映射到苹果1，到底是个什么意思呢？这个操作怎么具体完成呢？在日常生活中，我们不去深究，但是在数学上，就必须明确定义。

从苹果1的内部看，我们可以列个表，把源对象和目标对象的结构和性质都列出来：

Table 2. 苹果1恒等箭头的内部观点
源：苹果1	目标：苹果1
苹果皮的每一个细部	同样的该细部
苹果把的每一个细部	同样的该细部
苹果核的每一个细部	同样的该细部
除上述任何剩余的结构细部	同样的该细部
任何苹果1具备的结构	同样的该结构
很甜	同样的很甜
可以吃	同样的可以吃
任何苹果1具备的性质	同样的该性质

请原谅我不厌其烦地列了上述清单，简单说，就是将源苹果1的任何结构和性质，不差一丝一毫地、毫无遗漏地对应到该结构和该性质，这就是恒等箭头。

看起来这个要求太高了，但是世界上最难的事情，居然是最简单的事情，从操作上来说，就是什么也不做，苹果1就是苹果1自己。

恒等箭头的外部观点

在恒等箭头的内部观点中，我们是从苹果1的内部结构和性质，来把握苹果1是什么。当我们问苹果1到底是什么时，即当我们问一个范畴论中的对象到底是什么时，我们往往是在问，这个对象由什么构成，各部分之间什么关系，总体上具有什么性质，等等，这是一种从对象内部来把握对象的内部观点。

而范畴论的观点则完全不同。

Figure 3. 恒等箭头外部观点

如上图所示：

从别的对象进入苹果1的箭头：小明和小丽逛街时，小丽发现了一个又大又圆的苹果，即苹果1，小丽非常喜欢这个苹果；于是小明就购买了苹果1
从苹果1进入别的对象的箭头：苹果1可以称重；苹果1也可以做成苹果酱
从苹果1进入苹果1的箭头：不改变苹果1的恒等箭头 Id苹果1；咬一口箭头，苹果1可以咬一口，为了严格起见，咬一口被定义为这样一种效果，每次咬，苹果1都会少些，但是如果咬3次后，再咬则苹果就不会再减少了，这样保证每次咬都还是苹果1

在上图中，我们可以再添加一些别的箭头，例如移动苹果1的位置等等。

在范畴论看来，一个对象到底是什么，或者一个对象是不是同一个对象，我们就看它和别的对象的关系就行，换一句话说，就是看从苹果1发出和进入苹果1的箭头就行。我们按这个思路试试：

按照上图，苹果1是一个小丽喜欢的苹果、苹果1是小明买的苹果、苹果1必须可以称重、苹果1必须可以做苹果酱、苹果1必须可以咬1口，这就是苹果1。也许您会举出一些反例，您可以试着给上图添加或者删除一些箭头，直到上图与你对于苹果1的理解匹配。

我们做个思维实验：

首先，忘掉苹果1具体是什么，现在，它就是一个范畴论里面的对象，我们把除了Id苹果1箭头之外的箭头全部擦掉。

然后我们连上箭头“喜欢”，嗯，这是个小丽喜欢的东西；

接着再连上箭头“购买”，这是个小丽喜欢的、小明购买的东西；

接着再连上箭头“称重”，这是个小丽喜欢的、小明购买的，可以称出重量的东西；

接着再连上箭头“做酱”，这是个小丽喜欢的、小明购买的，可以称出重量，能做苹果酱的东西；

接着再连上箭头“咬一口”，这是个小丽喜欢的、小明购买的，可以称出重量，能做苹果酱的、能咬一口的东西

... ...

因此，苹果1是：小丽喜欢的、小明购买的，可以称出重量，能做苹果酱的、能咬一口的，…东西

这就是范畴论的观点，一个从外部理解对象的观点。

自指箭头的等价展开图

注意，从一个对象出发，回到该对象的箭头，和普通箭头一样，也是一种对应，或映射。因此，我们可以得到下面这个等价的图：

恒等箭头外部观点等价图

Figure 4. 恒等箭头外部观点等价图

在上图中，两个 苹果1 节点是一样的，是同一个对象。如果你从左侧的苹果1沿着箭头走到了右侧的苹果1，因为箭头有方向，你似乎走不回去了，但是因为上图的苹果1是同一个实体（对象），因此你可以直接跳回右侧的苹果1，继续走 Id苹果1 或走 咬一口。

如果单就上图的这个苹果1而言，世界上凡是符合上图约束的苹果都可以看成是苹果1。具体就是：“小丽喜欢的、小明购买的，可以称出重量，能做苹果酱的、能咬一口的东西”，这就是苹果1 到底是什么。

需要特别说明的是，作为上图的 苹果1 对象，即使世界上没有符合要求的苹果存在，苹果1作为一个范畴论对象实体，仍然存在，即，苹果1是：小丽喜欢的、小明购买的，可以称出重量，能做苹果酱的、能咬一口的东西，这个结构仍然存在，即上面的图的含义仍然存在。

下面我们再看恒等箭头 Id苹果1 和 咬一口 箭头：

对于恒等箭头，它什么也不做，从左侧的苹果1不经任何变化，就到了右侧的苹果1，这个没问题。而对于 咬一口 这个箭头，它让苹果1少了一点点，也到了右侧的苹果1，那苹果1到底是变了还是没变？

这是学习范畴论最令人困惑的地方。范畴论的对象，作为一个实体，仅仅依赖于范畴的结构，对于苹果1，仅仅依赖于上面的图所表示的结构，也就是苹果1对象和和它发生连接的箭头。所以，上述的整个过程，苹果1还是苹果1，没有变。事实上，范畴论对象可以理解为一个静态的东西，对于苹果1，只要上图不变，苹果1对象就不变。

那么，咬一口这个箭头到底改变了什么呢？

咬一口这个箭头，不会改变这个结构，因此它不会改变苹果1这个范畴论对象。

但是，当你在上面的图中沿着箭头游走的时候，我们可以让它带上一个符合结构约束的具体的苹果1，即带上一个特定的“小丽喜欢的、小明购买的，可以称出重量，能做苹果酱的、能咬一口的东西”。

于是我们做一个真实的实验：

拿一个具体的苹果，我们设它符合：小丽喜欢的、小明购买的，可以称出重量，能做苹果酱的、能咬一口的要求，于是，对应到上图，它就是苹果1。

下面实验开始，您可以真的拿一个苹果实验。我们从上图的苹果1对象开始，在图上沿着箭头的方向游走，每走一步，都必须做箭头规定的操作，不能做箭头规定之外的操作。

你可以对手里拿着的这个苹果，走恒等箭头，什么也不做，手里的苹果没变化；
你咬一口，它还是苹果1，你可以接着咬（超过三口后不再咬），或者再走一次恒等箭头；
你可以称重，得到了苹果1的重量，这下你被卡住了，因为从重量对象没有回苹果1对象的箭头了，好在你手里的苹果还在，那么这个苹果符合上图结构的要求么？嗯，我刚才只是称了下重量，这个苹果还是“小丽喜欢的、小明购买的，可以称出重量，能做苹果酱的、能咬一口的”，因此它还是苹果1对象，那么你可以回到苹果1对象，再次开始游走
你也可以做苹果酱，这下手里的苹果变成苹果酱了，而且你被卡住了，苹果酱是““小丽喜欢的、小明购买的，可以称出重量，能做苹果酱的、能咬一口的”么？不是，苹果酱没有做苹果酱的操作，因此这个真实的实验结束了

实验结束，苹果1还是苹果1，但是你手里的苹果已经变成苹果酱了。

对于很多数学概念来说，它们就相当于你手里的苹果，而范畴论对象就相当于 苹果1 对象。苹果1对象依赖于和它发生连接的箭头，箭头不变，苹果1就不变，而手里的苹果，按照苹果1的要求发生行为，则可能改变。而苹果1，也就是范畴论对象，正好在更一般性的层面揭示了这种“改变”的结构，也就是对象间的连接关系，所以，从这个角度，范畴论是数学中的数学。

最后我们看一下恒等箭头Id苹果1，无论我们经过多少次Id苹果1，我们手里的苹果都不会发生任何变化，因此，从手里的苹果的角度，恒等箭头是一个完美的箭头，它可以保证在手里的苹果经过恒等箭头的时候不变。即，恒等箭头保证在任何情况下，都不会改变范畴对象携带的信息，因此叫做恒等箭头。作为对比，您可以将它和上图的 咬一口 箭头进行比较。