动态规划理论基础

动态规划，英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。

所以动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的，

动态规划做题步骤

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

动态规划做题debug

1. 找问题的最好方式就是把dp数组打印出来
2. 做动规的题目，写代码之前一定要把状态转移在dp数组的上具体情况模拟一遍，心中有数，确定最后推出的是想要的结果

斐波那契数

509. 斐波那契数 - 力扣（LeetCode）

本题为动态规划入门题，根据题目进行模拟即可

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]

2.确定递推公式

为什么这是一道非常简单的入门题目呢？

因为题目已经把递推公式直接给我们了：状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];

3.dp数组如何初始化

题目中把如何初始化也直接给我们了，如下：

arr[0]=0;

arr[1]=1;

4.确定遍历顺序

从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的

class Solution {public int fib(int n) {if (n <= 1) {return n;}int[] arr = new int[2];arr[0] = 0;arr[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {int sum = arr[0] + arr[1];arr[0] = arr[1];arr[1] = sum;}return arr[1];}
}

爬楼梯

70. 爬楼梯 - 力扣（LeetCode）

     1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

          到达第i 层有dp[i]种方法

      2.确定递推公式

           dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]

      3.dp数组如何初始化

           dp[1]=1;  

          dp[2]=1;

     4.确定遍历顺序

         从前向后遍历

代码：

class Solution {public int climbStairs(int n) {if(n<=2){return n;}int[] arr = new int[2];arr[0] = 1;arr[1] = 2;for (int i = 3; i <= n; i++) {int sum = arr[0] + arr[1];arr[0] = arr[1];arr[1] = sum;}return arr[1];}
}

使用最小花费爬楼梯 

746. 使用最小花费爬楼梯 - 力扣（LeetCode）

1.确定dp数组以及下标的含义

    dp[i]的定义：到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]。  

2.确定递推公式

      dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。

     dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。

    那么dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);

3.dp数组初始化

由题目可以知道你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。所以从0或1开始不需要花钱

dp[0]=0;dp[1]=0;

4.遍历顺序

从前向后

class Solution {public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {int[] dp = new int[cost.length + 1];dp[0] = 0;dp[1] = 0;for (int i = 2; i <= cost.length; i++) {dp[i] = Math.min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);}return dp[cost.length];}
}