数据结构与算法笔记:基础篇 -递归树:如何借助树来求解递归算法的时间复杂度?

概述

我们都知道,递归代码的时间复杂度分析起来很麻烦。在《排序(下)》哪里讲过,如何用递推公式,求解归并排序、快速排序的时间复杂度,但是有些情况,比如快排的平均时间复杂度的分析,用递推公式的话,会设计非常复杂的数据推到。

除了用递推公式这种比较复杂的分析方法,有没有更简单的方法呢?本章就来学习另外一种方法,借助递归树来分析递归算法的时间复杂度。


递归树与时间复杂度分析

之前即讲过,递归的思想是,将大问题分为小问题来求解,然后再将小问题分解为小小问题。这样一层一层地分解,直到问题的数据规模被分解得足够小,不用继续递归分解为止。

如果我们把这一层一层的分解过程画成图,它其实就是一棵树。我们个这棵树起一个名字,叫做递归树。下面画了一颗斐波那契数列的递归树,你可以看看。节点里的数字表示数据的规模,一个节点的求解可以分解为左右子节点两个问题的求解。

在这里插入图片描述

通过这个例子,你对递归树的样子应该有一个感性的认识了,看起来并不复杂。现在,我们就来看,如何用递归树来求解时间复杂度。

归并排序算法你还记得把?它的递归实现代码非常简洁。现在我们就借助排序来看看,如何用递归树,来分析递归代码的时间复杂度。

归并排序算法的原理这里就不介绍了。归并排序每次会将数据规模一分为二。我们把归并排序画成递归树,就是下面的样子。

在这里插入图片描述

因为每次分解都是一分为二,所以代价很低,我们把时间上的消耗记作常量 1。归并算法中,比较耗时的操作是归并操作,也就是把两个子数组合并为大数组。从图中我们可以看出,每一层归并曹邹的耗时的时间综合都是一样的,跟要排序的数据规模有关。我们把每一层归并操作消耗的事件记作 n。

现在,只需要知道这棵树的高度 h,用高度 h 乘以每一层的时间消耗 n,就可以得到总的时间复杂度 O ( n ∗ h ) O(n*h) O(nh)

从归并排序的原理和递归树,可以看出来,归并排序递归树是一个满二叉树。前面两篇文章讲到,慢二叉树的高度是 l o g 2 n log_2 n log2n,所以,归并排序算法的高度就是 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)。这里的时间复杂度都是估算的,对树的高度的计算也没有那么精确,但是这并不影响复杂度的计算结果。

利用递归的时间复杂度分析方法并不难理解,关键还是在实战,所以,接下来会通过三个事件的递归算法,带你实战一下递归的复杂度分析。学完本章后,你应该就能真正掌握递归代码的复杂度分析。

实战一:分析快速排序的时间复杂度

在用递归树推到这钱,先来回忆一下用递归公式的分析方法。回想一下,当时,为什么说用递推公式求解平均时间复杂度非常复杂?

快速排序在最好情况下,每次分区都能一分为二,这个时候用递推公式 T ( n ) = 2 T ( n 2 ) + n T(n)=2T(\frac n 2) + n T(n)=2T(2n)+n 很容易就能推导出时间复杂度是 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)。但是,我们并不可能每次分区都这么幸运,正好一分为二。

假设平均情况下,每次分区之后,两个分区的大小比例为 1:k。当 k = 9 时,如果用递归公式的方法来求解时间复杂度的话,递推公式就写成 T ( n ) = T ( n 10 ) + T ( 9 n 10 ) + n T(n)=T(\frac n {10}) + T(\frac {9n} {10}) + n T(n)=T(10n)+T(109n)+n

这个公式可以推导出时间复杂度,但是肯定推到过程非常复杂。那我们来看看,用递归树来分析快速排序的平均情况时间复杂度,是不是比较简单呢?

还是取 k 等于 9,也就是说,每次分区都很不平均,一个分区是另一个分区的 9 倍。如果我们把递归分析的过程画成递归树,就是下面的样子:

在这里插入图片描述

快速排序的过程中,每次分区都要遍历带分区区间的所有数据,所以,每一层分区操作所遍历的数据的个数之和就是 n。我们现在只要求出递归树的高度 h,这个快速排序过程遍历的数据个数就是 h * n,也就是说时间复杂度就是 O ( h ∗ n ) O(h*n) O(hn)

因为每次并不是均匀地一分为二,所以递归树不是满二叉树。这样一个递归树的高度是多少呢?

我们知道,快速排序结束的条件就是排序的小区近,大小为 1,也就是说叶子节点里的数据规模是 1.从根节点 n 到叶子节点 1 ,递归树中最短的一个路径每次都乘以 1 10 \frac 1 {10} 101,最长一个路径每次都乘以 9 10 \frac 9 {10} 109。通过计算,可以得到,从根节点到叶子节点的最短路径是 l o g 10 n log_{10}n log10n,最长路径是 l o g 10 9 n log_{\frac {10} 9}n log910n

在这里插入图片描述

所以,遍历数据的个数综合就介于 l o g 10 n log_{10}n log10n l o g 10 9 n log_{\frac {10} 9}n log910n 之间。根据复杂度的大 O 表示法,对数复杂的底数不管是多少,我们统一写成 l o g n logn logn,所以,当分区发小比例是 1:9 时,快速哦爱旭的时间复杂度仍然是 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)

刚刚假设的是 k=9,那如果 k=99,也就是说,每次分区极不平均,两个区间大小是 1:99 ,这个时候的时间复杂度是多少呢?

可以类比上面的 k=9 的分析过程。当 k=99 时,树的最短路径就是 l o g 100 n log_{100}n log100n,最长路径是 l o g 100 99 n log_{\frac {100} {99}}n log99100n,所以总遍历数据个数介于 l o g 100 n log_{100}n log100n l o g 100 99 n log_{\frac {100} {99}}n log99100n 之间。尽管底数变量,但是时间复杂度仍然是 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)

也就是说,对于 k 等于 9,99,甚至是 99,…, 只要 k 的值不随 n 变化,是一个实现确定的常量,那快排的时间复杂度就是 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)。所以,从概率论的角度来说,快排的平均时间复杂度就是 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)

实战二:分析斐波那契数列的时间复杂度

在递归那篇文章,我们举了一个跨台阶的例子,你还记得吗?那个例子实际上就是斐波那契数列。放了方便你回忆,我把它的代码实现贴在这里。

int f(int n) {if (n == 1) return 1;if (n == 2) return 2;return f(n - 1) + f(n - 2);
}

这样一段代码的时间复杂度是多少呢?

先把上面的递归代码画成递归树,就是下面这个样子。
在这里插入图片描述

这棵树的高度是多少呢?

f(n) 分解为 f(n-1)f(n-2),每次数据规模都是 -1-2,叶子节点的数据规模是 1 或者 2.所以,从根节点到叶子节点,每条路径的长短都是不一样的。如果每次都是 -1。最大路径长度就是 n;如果每层都是 -1,最短路径大约就是 n 2 \frac n 2 2n

每次分解之后的合并操作,只需要一次加法运算,我们把这次加法运算的时间消耗记作 1。所以,从上往下,第一层的总时间消耗是 1,第二层的总时间消耗是 2,第三层的总时间消耗是 2 2 2^2 22。以此类推,第 k 层的数据消耗是 2 k − 1 2^{k-1} 2k1,整个算法的总时间消耗就是每一层时间消耗之和。

如果路径长度为 n,那这个总和就是 2 n − 1 2^n-1 2n1
在这里插入图片描述

如果路径长度都是 n 2 \frac n 2 2n,那整个算法的总的时间消耗就是 2 n 2 − 1 2^{\frac n 2}-1 22n1

在这里插入图片描述

所以,这个算法的时间复杂度就介于 O ( 2 n ) O(2^n) O(2n) O ( 2 n 2 ) O(2^{\frac n 2}) O(22n)。虽然这样得到的结果还不够精确,只是一个范围,但是我们也基本上知道了上面的时间复杂度是指数级的,非常高。

实战三:分析全排列的时间复杂度

前面两个复杂度分析哦度比较简单,再来看一个稍微复杂的。

在高中时都学过排列组合。“如何把 n 个数据的所有排列都找出来”,这就是全排列的问题。

比如,1,2,3 这样三个数据,有下面几种不同的排列:

1,2,3
1,3,2
2,1,3
2,3,1
3,1,2
3,2,1

如何编程打印一组数据的所有排列呢?这里就可以用递归来实现。

若我们确定了最后一位数据,那就变成了求解剩下 n-1 哥数据的排列问题。而最后一位数可以是 n 个数据中的任意一个,因此它的取值就有 n 种情况。所以,“n 个数据的排列” 问题,就可以分解成 n 个 “n-1 个数据排列” 的子问题。

如果写成递推公式,就是下面这个样子:

假设数组中存储的是 1,2,3,…,n。
f(1,2,…,n) = {最后一位是 1, f(n-1)} + {最后一位是 2, f(n-1)} + … + {最后一位是 n, f(n-1)}

如果把递推公式写成代码,就是下面这个样子:

// 调用方式
// int[] a = a={1, 2, 3, 4}; printPermutations(1,4,5);
// k 表示要处理的子数组的数据个数
public void printPermutations(int[] data, int n, int k) {if (k == 1) {for (int i = 0; i < n; i++) {System.out.print(data[i] + " ");}System.out.println();}for (int i=0; i < k; i++) {int tmp = data[i];data[i] = data[k-1];data[k-1] = tmp;printPermutations(data, n, k - 1);tmp = data[i];data[i] = data[k-1];data[k-1] = tmp;}
}

如果不用前面讲的递归树分析法,这个递归代码的时间复杂度会比较难分析。现在,我们来看下,如何借助递归树,轻松分析出这个代码的时间复杂度。

首先,还是画出递归树。不过,现在的递归树已经不是标准的二叉树了。

在这里插入图片描述

第一次分解有 n 次交换操作,第二层有 n 个节点,每个节点有 n - 1 次交换,所以,第二层总的交换次数是 n*(n-1)。第三层有 n*(n-1) 个节点,每个节点分解需要 n - 2 次交换,所以第三层的总交换次数是 n*(n-1)*(n-2)

以此类推,第 k 层总的交换次数为 n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1)。最后一次交换就是 n*(n-1)*(n-2)*...*2*1。每层交换之和就是总交换次数。

n + (n-1) + n*(n-1)*(n-2) + ...+ n*(n-1)*(n-2)*...*2*1

这个公式的求和比较复杂,我们看最后一个数, n*(n-1)*(n-2)*...*2*1 等于 n!。也就是说,全排列的递归算法的时间复杂大远大于 O ( n ! ) O(n!) O(n!) 小于 O ( n ∗ n ! ) O(n*n!) O(nn!),虽然没法知道非常精确的时间复杂度,但是这样一个范围已经让我们知道,全排列的时间复杂度是非常高的。

掌握分析的方法很重要,思路不是重点,不要纠结于精确的时间复杂度到底是多少。

小结

本章,用递归树分析了递归代码的时间复杂度。假设我们在排序那一章讲到的递推公式的时间复杂度分析法,我们已经学习了两种递归代码的时间复杂度分析方法了。

有些代码比较适合用递推公式来分析,比如归并排序的时间复杂度、快速排序的最好情况时间复杂度;有些适合采用递归树来分析,比如快速排序的平均时间复杂度。而有些可能两个都不怎么适合使用,比如二叉树的递归前中后序遍历。

时间复杂度分析的理论知识并不多,也不复杂,掌握起来也不难,但是,在我们平时的工作、学习中,面对的代码千差万别,能够灵活应用学到的复杂度分析法,来分析现有的代码的,并不是件简单的事情,所以,平时要多实战、多分析,只有这样,面对任何代码的时间复杂度分析,才能做到游刃有余、毫不畏惧。

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/web/28511.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

《天软股票特色因子定期报告》

最新《天软股票特色因子定期报告》&#xff08;2024-06&#xff09;&#xff0c;抢先发布 内容概要如下&#xff1a; 天软特色因子A08006&#xff08;近一月日度买卖压力2&#xff09;从行业角度分析&#xff0c;在电子设备、石油石化行业表现稳定&#xff0c;无论在有效性、区…

【名词解释】Unity中的3D物理系统:触发器

在Unity的3D物理系统中&#xff0c;触发器&#xff08;Trigger&#xff09;是一种特殊的碰撞体&#xff0c;用于检测物体进入或离开一个特定区域的事件&#xff0c;但它不会像普通碰撞体那样产生物理碰撞反应。触发器通常用于实现非物理交互&#xff0c;如检测玩家进入特定区域…

复星杏脉算法面经2024年5月16日面试

复星杏脉算法面经2024年5月 面试记录&#xff1a;3个部分1. 自己介绍 2. 问八股 3.代码题先自我介绍20分钟问问题1. 梯度爆炸怎么解决&#xff0c;三个解决方案&#xff1a;梯度裁剪&#xff08;Gradient Clipping&#xff09;正则化&#xff08;Regularization&#xff09;调整…

C11与C++11关于Atomic原子类型的异同

"The C11 atomics were almost copynpasted from C11. All the work was done for C, and C (sensibly) incorporated it wholesale." 上面这句话源自&#xff1a;C11 atomic variables and the kernel [LWN.net] 翻译过来就是&#xff1a; "C11 中的原子操作…

HTML 颜色名

HTML 颜色名 HTML 颜色名是一组预定义的颜色&#xff0c;可以在 HTML 和 CSS 中使用。这些颜色名易于记忆&#xff0c;方便开发者快速选择和使用。本文将详细介绍 HTML 颜色名&#xff0c;包括它们的用途、优点以及如何在网页设计中使用它们。 HTML 颜色名的用途 HTML 颜色名…

熱門開源項目推薦

熱門開源項目推薦&#xff1a;探索未來的技術前沿 開源軟件的興起為科技領域帶來了革命性的變化&#xff0c;不僅促進了技術的發展&#xff0c;還創造了一個開放和協作的環境&#xff0c;讓全球的開發者可以共同參與、創新和改進。近年來&#xff0c;開源大模型成為了技術社區…

时政|连续高温

危害 会对人的健康乃至生命安全产生严重影响&#xff0c;近年来&#xff0c;几乎每年都有因热致死的病例面对高温天气&#xff0c;不能仅仅止于调侃“天热”&#xff0c;止于变着花样表达自己的感受&#xff0c;还是要提高警惕&#xff0c;重视并防范高温导致的中暑、热痉挛、…

nginx+tomcat+nfs →web集群部署

nginxtomcatnfs →web集群部署 一.安装前介绍 NGINX是一个高性能的Web服务器和反向代理服务器。它能够处理静态内容&#xff0c;缓存请求结果&#xff0c;以及将请求转发给后端服务器。通过反向代理&#xff0c;NGINX能够实现请求的负载均衡、安全性增强、SSL加密等功能。此外…

Linux中文件查找相关命令比较

Linux中与文件定位的命令有find、locate、whereis、which&#xff0c;type。 一、find find命令最强&#xff0c;能搜索各种场景下的文件&#xff0c;需要配合相关参数&#xff0c;搜索速度慢。在文件系统中递归查找文件。 find /path/to/search -name "filename"…

第67集《摄大乘论》

《摄大乘论》&#xff0c;和尚尼慈悲、诸位法师、诸位居士&#xff0c;阿弥陀佛&#xff01;(阿弥陀佛&#xff01;)请大家打开《讲义》第二二六页&#xff0c;庚十、业。 这一大科是讲到法身的功德。我们从前面的学习&#xff0c;可以把法身的功德分两部分来作个总结&#xf…

位运算算法:编程世界中的魔法符号

✨✨✨学习的道路很枯燥&#xff0c;希望我们能并肩走下来! 文章目录 目录 文章目录 前言 一. 常见位运算总结 二、常见位运算题目 2.1 位1的个数 2.2 比特数记位&#xff08;典型dp&#xff09; 2.3 汉明距离 2.4 只出现一次的数字&#xff08;1&#xff09; 2.5 只出…

【JVM】CMS 收集器的垃圾收集过程

CMS&#xff08;Concurrent Mark-Sweep&#xff09;收集器是Java虚拟机&#xff08;JVM&#xff09;中的一种垃圾收集器&#xff0c;它主要面向老年代&#xff08;Old Generation&#xff09;的垃圾回收。CMS收集器的目标是最小化垃圾收集的停顿时间&#xff0c;从而提高应用程…

OpenGL系列(六)变换

在三角形和纹理贴图示例中&#xff0c;顶点使用的是归一化设备坐标&#xff0c;在该坐标系下&#xff0c;顶点的每个轴的取值为-1到1&#xff0c;超出范围的顶点不可见。 基于归一化设备坐标的物体的形状随着设备的大小变换而变化&#xff0c;这里产生的第一个问题是&#xff0…

三极管的理解

三极管的放大使用 基极集电极之间可理解为电子扩展 电化学效应&#xff1b;产生载流子多少&#xff0c;从而射集间而流动大小 电化学效应&#xff0c;电子漂移现象&#xff0c;基极与集电极的电流的作用在于产生载流子 电流的流动&#xff0c;需要载流子&#xff0c;从而基极…

【教程】服务器数据一键备份脚本 backup.sh(新增支持COS/阿里云盘)

1、一键备份脚本 backup.sh 功能特点 支持 MySQL/MariaDB/Percona 的数据库全量备份或选择备份;支持指定目录或文件的备份;支持加密备份文件(需安装 openssl 命令,可选);支持上传至 Google Drive(需先安装 rclone 并配置,可选);支持上传至 腾讯云COS(需先安装 coscm…

Linux初识地址空间

前言 上一期我们对进程优先级、命令行参数以及环境和变量做了介绍&#xff01;以前我们就提到过一个问题有了运行队列为什么还要有优先级&#xff1f;本期将带你揭晓&#xff01; 本期内容介绍 虚拟地址空间的引入 虚拟地址空间的介绍 如何理解地址空间 为什么要有地址空间 如…

Elasticsearch:智能 RAG,获取周围分块(一)

作者&#xff1a;来自 Elastic Sunile Manjee 在检索增强生成 (RAG) 领域&#xff0c;一个持续存在的挑战是找到输入大型语言模型 (LLM) 的最佳数据量。数据太少会导致响应不足或不准确&#xff0c;而数据太多会导致答案模糊。这种微妙的平衡启发我开发了一个专注于智能分块和利…

Flink面试必问题:时间和窗口处理面试题及参考答案(3万字长文)

目录 Flink中的事件时间(Event Time)和处理时间(Processing Time)有什么区别? Flink的容错机制是如何实现的? Flink中的窗口(Window)是什么? Flink支持哪些类型的窗口? 如何定义一个滚动窗口(Tumbling Window)? 如何定义一个滑动窗口(Sliding Window)? …

花钱就能过?PMP到底有没有用

在项目管理领域&#xff0c;PMP&#xff08;Project Management Professional&#xff09;认证常被看作是专业能力的金牌标准。 然而&#xff0c;伴随着这一认证的普及&#xff0c;也出现了一些质疑声&#xff0c;比如“PMP认证是否只是金钱和时间的投入就能获得的证书&#xf…

Mybatis工作流程和插件开发

在了解插件开发之前&#xff0c;我们先总体的来梳理一下Mybatis的大致执行流程&#xff1a; 1.new SqlSessionFactoryBuilder().build(inputStream):先根据配置文件&#xff08;包含了全局配置文件和映射配置文件&#xff09;初始化一个对象Configuration&#xff08;这里对象里…