自动控制：基于预设性能控制（PPC）的控制系统设计

在控制系统设计中，瞬态性能与稳态性能同等重要。对于某些特殊的动态系统而言，瞬态性能甚至比稳态性能更为重要。预设性能控制（Preset Performance Control, PPC）已被证明是一个强大的工具，它保证了控制系统的输出/误差具有所需的瞬态性能以及稳态性能。

本文将简单介绍预设性能控制的概念，包括性能函数的定义以及基于PPC的控制器设计方法。

性能函数

性能函数用于描述控制系统的预期性能指标，包括瞬态性能和稳态性能。常用的性能函数包括：

超调量（Overshoot）：输出超过设定值的最大百分比。
上升时间（Rise Time）：输出从10%达到90%设定值所需的时间。
调节时间（Settling Time）：输出进入并保持在设定值的±2%范围内所需的时间。
稳态误差（Steady-State Error）：系统达到稳态时的误差。

为了满足这些性能指标，PPC通过设计适当的性能函数来控制系统的瞬态响应和稳态性能。常见的性能函数形式如下：

$\Phi(t) = \Phi_0 e^{-\alpha t} + \Phi_\infty$

其中：

$\Phi(t)$ 为性能函数，描述系统的预期性能。
$\Phi_0$ 为初始值，通常与初始误差相关。
$\alpha$ 为衰减率，控制瞬态性能。
$\Phi_\infty$ 为稳态值，通常与稳态误差相关。

性能函数的设计需要根据具体系统的性能要求进行调整，以满足不同的瞬态和稳态性能指标。

基于PPC的控制器设计

基于PPC的控制器设计通过引入性能函数，将系统的误差动态转化为预设性能轨迹，从而实现对系统的控制。具体步骤如下：

步骤1：定义误差和性能函数

定义系统的误差 $e (t)$ ，并设计相应的性能函数 $\Phi(t)$ 。假设系统的参考输入为 $r (t)$ ，输出为 $y (t)$ ，则误差 $e (t)$ 定义为：

$e (t) = r (t) - y (t)$

设计性能函数 $\Phi(t)$ ，并将其定义为误差 $e (t)$ 的预设动态轨迹：

$\Phi(t) = \Phi_0 e^{-\alpha t} + \Phi_\infty$

步骤2：误差变换

将误差 $e (t)$ 转换为标准误差 $\xi(t)$ ，使其遵循性能函数的动态轨迹。定义标准误差 $\xi(t)$ 为：

$\xi(t) = \frac{e(t)}{\Phi(t)}$

步骤3：设计误差动态方程

通过设计误差动态方程，使得标准误差 $\xi(t)$ 满足预设性能要求。一般采用比例-积分-微分（PID）控制器的形式：

$K_p \xi(t) + K_i \int_0^t \xi(\tau) d\tau + K_d \frac{d\xi(t)}{dt}$

其中， $K_p$ 、 $K_i$ 和 $K_d$ 为PID控制器的比例、积分和微分增益，需要根据系统性能要求进行调节。

步骤4：控制器实现

将设计好的控制器应用于实际系统中，实时调整控制输入 $u (t)$ ，使系统输出 $y (t)$ 具有预设的瞬态性能和稳态性能。

示例代码

下面是一个基于PPC的简单控制器设计的Python代码示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 定义系统的传递函数
def system(y, u):dydt = -y + ureturn dydt# 定义性能函数
def performance_function(t, phi0, alpha, phi_inf):return phi0 * np.exp(-alpha * t) + phi_inf# 定义误差动态方程
def error_dynamics(e, phi, Kp, Ki, Kd, integral_e, prev_e, dt):xi = e / phiintegral_e += xi * dtderivative_e = (e - prev_e) / dtcontrol = Kp * xi + Ki * integral_e + Kd * derivative_ereturn control, integral_e# 初始条件和参数
y0 = 0
r = 1
phi0 = 1
alpha = 2
phi_inf = 0
Kp = 1
Ki = 0.5
Kd = 0.1
t = np.linspace(0, 10, 100)
dt = t[1] - t[0]# 计算性能函数
phi = performance_function(t, phi0, alpha, phi_inf)# 仿真系统
y = np.zeros_like(t)
y[0] = y0
u = np.zeros_like(t)
integral_e = 0
prev_e = 0for i in range(1, len(t)):e = r - y[i-1]u[i], integral_e = error_dynamics(e, phi[i-1], Kp, Ki, Kd, integral_e, prev_e, dt)prev_e = ey[i] = y[i-1] + system(y[i-1], u[i]) * dt# 绘制结果
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(t, y, label='Output y(t)')
plt.plot(t, phi, label='Performance function $\Phi$(t)')
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Output')
plt.title('Preset Performance Control (PPC)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()