运筹说第116期 | 算法介绍之排队论

在这个快节奏的时代，无论是线上购物、线下服务，还是工业生产，我们都不可避免地与“排队”打交道。今天小编将带你一起探索利用Python和MATLAB这两种编程工具，来求解排队论中的常见模型和排队优化问题。我们将从排队论的基础模型开始，深入了解等待制排队模型、混合制模型以及有限源排队模型，接着对排队问题的优化问题进行探讨，最后用算法模拟现实生活中的车辆排队现象。由于篇幅有限，小编接下来只展示部分代码，小伙伴们可以关注“运筹说”公众号→后台回复“算法介绍之排队论”获取完整代码。话不多说，我们一起来看看吧！

本次算法介绍将聚焦于四种常见的排队模型：M/M/s等待制排队模型，它包括单服务台和多服务台两种情形；M/M/s混合制排队模型，进一步考虑了有限系统空间和顾客流失，包括单服务台的M/M/1/K和多服务台的M/M/S/K模型；以及有限源排队模型，它适用于顾客数量有限且可能重复服务的情况。

01 M/M/s等待制排队模型

⭐ 单服务台模型

（1）问题描述

单服务台等待模型M/M/1/∞是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ的负指数分布。服务台的个数为1，服务时间V服从参数为μ的负指数分布，系统空间无限，允许无限排队，这是一类简单的排队系统。

（2）例题介绍

例1 某修理店只有一个修理工，要求提供服务的顾客到达过程为泊松流，平均4人/小时；修理时间服从负指数分布，平均需要6分钟。试求：修理店空闲的概率；店内恰有3个顾客的概率；店内至少有1个顾客的概率；在店内的平均顾客数；每位顾客在店内的平均逗留时间；等待服务的平均顾客数；每位顾客平均等待服务时间；顾客在店内等待时间超过10分钟的概率。
（3）平台实现

我们以上述例题为例，借助MATLAB和Python介绍实现求解例1的相关代码。

①MATLAB代码展示

我们以上述例题为例，借助MATLAB介绍实现求解的相关代码。代码思路与排队理论中的M/M/1模型数学计算公式相同。

代码运行及最终结果展示如下。经过代码运行得出修理店空闲的概率为0.6；恰有3个顾客的概率为0.0384；店内至少有1个顾客的概率为0.4；平均顾客数为0.667；平均逗留时间为10分钟；等待服务的平均顾客数为0.267；平均等待服务时间为4分钟；逗留时间超过10分钟的概率为0.368。

②Python代码展示

我们以上述例题为例，借助Python介绍实现求解的相关代码。

求解思路与求解结果同上。

⭐ 多服务台模型

（1）问题描述

设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ的负指数分布，系统中共有s个服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为μ的负指数分布。当顾客到达时，若有空闲的服务台则可以马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待空间为无限。这就是多服务台模型M/M/S/∞。

（2）例题介绍

例2 某售票处有3个窗口，顾客的到达为泊松流，平均到达率为λ=0.9人/分钟；服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率μ=0.4人/分钟。现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票，试求整个售票处空闲的概率P0；平均队长Ls、平均排队长Lq、平均逗留时间Ws、平均等待时间Wq；顾客到达时必须排队等待的概率。

（3）平台实现

我们以上述例题为例，借助MATLAB和Python介绍实现求解例2的相关代码。

①MATLAB代码展示

我们以上述例题为例，借助MATLAB介绍实现求解的相关代码。

代码运行及最终结果展示如下，经过代码运行得出空闲的概率为0.075均排队长为1.703；平均队长为3.953；平均等待时间为1.893；平均逗留时间为4.393；排队等待的概率为0.568。

②Python代码展示

我们以上述例题为例，借助Python介绍实现求解的相关代码。

求解思路与求解结果同上。

02 M/M/s混合制排队模型

⭐ 单服务台M/M/1/K混合制模型

（1）问题描述

单服务台混合制模型M/M/1/K是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ的负指数分布（即顾客的到达过程为Poisson流），服务台个数为1，服务时间V服从参数为μ的负指数分布，系统的空间为K。

（2）例题介绍

例3 某修理站只有一个修理工，且站内最多只能停放4台待修的机器。设待修机器按Poisson流到达修理站，平均每分钟到达1台；修理时间服从负指数分布，平均每1.25分钟可修理1台，该题是一个典型的但服务台混合制模型，试求该系统的有关指标。

（3）平台实现

我们以上述例题为例，借助MATLAB和Python介绍实现求解例3的相关代码。

①MATLAB代码展示

我们以上述例题为例，借助MATLAB介绍实现求解的相关代码。

代码运行及最终结果展示如下，经过代码运行得出空闲的概率为0.122；顾客损失率为0.297；有效到达率为0.703；平均队长为2.437；平均排队长为1.558；平均逗留时间为3.4689；平均等待时间为2.219。

②Python代码展示

我们以上述例题为例，借助Python介绍实现求解的相关代码。

求解思路与求解结果同上。

⭐ 多服务台M/M/S/K混合制模型

（1）问题描述

多服务台混合制模型M/M/S/K是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ的负指数分布，服务台个数为s（当s=1时为单服务台混合制模型），服务时间V服从参数为μ的负指数分布，系统的空间为K。
（2）例题介绍

例4 某汽车加油站设有两个加油机，汽车按泊松流到达，平均每分钟到达2辆；汽车加油时间服从负指数分布，平均加油时间为2分钟。又知加油站最多只能停放3辆等待的汽车，汽车到达时，若已满员，则必须开到别的加油站取，该题是一个典型的多服务台混合制模型，试对该系统进行分析。

（3）平台实现

我们以上述例题为例，借助MATLAB和Python介绍实现求解例4的相关代码。

①MATLAB代码展示

我们以上述例题为例，借助MATLAB介绍实现求解的相关代码。

代码运行及最终结果展示如下，经过代码运行得出空闲的概率为0.008；顾客损失率为0.529；平均排队长为2.248；平均队长为4.132；平均逗留时间为4.386；平均等待时间为2.386；占用加油机的平均数为1.884。

②Python代码展示

我们以上述例题为例，借助Python介绍实现求解的相关代码。

求解思路与求解结果同上。

03 有限源排队模型

（1）问题描述

有限源排队模型的主要特征是顾客总数是有限的，如果有m个顾客。每个顾客来到系统中接受服务后易回到原来的总体，还有可能再来。关于顾客的平均到达率，在有限源的情形下，按每一顾客来考虑。设每个顾客的到达率都是相同的，均为λ (这里的含义是指单位时间内该顾客来到系统请求服务的次数)，且每一顾客在系统外的时间均服从参数为μ的负指数分布。

（2）例题介绍

例5 设有一工人看管5台机器，每台机器正常运转的时间服从负指数分布，平均为15分钟。当发生故障后，每次修理时间服从负指数分布，平均为12分钟，试求该系统的有关运行指标。

（3）平台实现

我们以上述例题为例，借助MATLAB和Python介绍实现求解例5的相关代码。

①MATLAB代码展示

我们以上述例题为例，借助MATLAB介绍实现求解的相关代码。

该题目需要计算一个具有5个相同机器和一个修理工的系统的可靠性参数。首先定义参数包括故障率、修理率、机器总数和修理工人数。通过计算系统的空闲概率、故障机器平均数、等待修理机器平均数、故障的平均停工时间、每台机器的平均待修时间以及系统绝对通过能力等关键指标，来评估系统的性能和效率。

代码运行及最终结果展示如下，经过代码运行得出空闲的概率为0.0073；5台机器都出故障的概率为0.2870；出故障机器平均数为3.7591；等待修理机器平均数为2.7664；一次故障的平均停工时间为45.4412；每台机器平均待修时间为33.4412；系统绝对通过能力为0.08273。

②Python代码展示

我们以上述例题为例，借助Python介绍实现求解的相关代码。

求解思路与求解结果同上。

二、排队系统模型的优化

排队系统的优化问题分为两类：系统的最优设计和最优控制，前者称为静态最优问题，目的在于使系统达到最大效益，或者说在一定指标下使系统最为经济；后者称为动态最优问题，是指对一给定的系统，如何运营可使给定的目标函数达到最优。由于对后一类问题的阐述需要较多的数学知识，所以小编带领大家着重了解静态最优问题中的确定最优服务率μ*和确定最佳服务台数量s*的问题。

01 最优服务率μ

（1）例题介绍

例6 对某M/M/1/3系统的服务台进行实测，得到如下数据：

系统中得顾客数( ): 0 1 2 3

记录到的次数( ):161 97 53 34

平均服务时间为10 min，服务一个顾客的收益为2元，服务机构运行单位时间成本为1元，问服务率为多少时可使单位时间平均总收益最大？

（2）平台实现

我们以上述例题为例，借助MATLAB和Python介绍实现求解例6的相关代码。

①MATLAB代码展示

我们以上述例题为例，借助MATLAB介绍实现求解的相关代码。基于系统中得顾客数( )和记录到的次数( )，首先需要估计系统的利用率和平均到达率，然后建立优化模型来求解最大化单位时间平均总收益的最优服务率。通过求解该模型，得到最优服务率，并计算使用此服务率时系统的总收益。

代码运行及最终结果展示如下，系统利用率为0.60，平均到达率为3.6 (人/h)，最优服务率3 (人/h)，当服务率为6人/h时,单位时间平均总收益为0.459元，当服务率为3人/h时,单位时间平均总收益为1.87元，单位时间内平均收益可增加1.414元。

结果显示，与初始假设的服务率相比，使用最优服务率可以显著提高单位时间内的平均总收益。

②Python代码展示
我们以上述例题为例，借助Python介绍实现求解的相关代码。

求解思路与求解结果同上。

02 最优的服务台数s

（1）例题介绍

例7 某检验中心为各个工厂服务，要求作检验的工厂（顾客）的到来为泊松流，平均到达率为λ=48次/天，每次检验时，因停工损失6元，服务时间服从负指数分布，平均服务率为μ=25次/天。每设置一个检验员的服务成本4元/天，其他条件与M/M/s/∞排队系统相同。问：应设多少检验员，使得检验总费用的平均值最少？

（2）平台实现

我们以上述例题为例，借助MATLAB和Python介绍实现求解例7的相关代码。

①MATLAB代码展示

我们以上述例题为例，借助MATLAB介绍实现求解的相关代码。

为了最小化检验的总费用，我们需要确定检验员的最优数量，总费用包括检验员的服务成本和因停工导致的损失成本。通过定义一个函数来计算在给定检验员数量s时，系统的空闲概率、系统中平均顾客数和总成本，接着遍历可能的检验员数量找到使总成本最小的检验员数量，最终得到最优的检验员数量和对应的总成本。

代码运行及最终结果展示如下，经过代码运行得出当检验员数量为3时，检验总费用的平均值最少，为27.8673元。

②Python代码展示

我们以上述例题为例，借助Python介绍实现求解的相关代码

求解思路与求解结果同上。

三、排队论现实应用场景

排队论在现实生活中的应用非常广泛，它通过数学模型来分析和优化服务流程，提高效率。例如，在银行和金融机构中，排队系统帮助管理顾客等待时间，减少拥堵；在医疗系统中，它用于优化病人的就诊流程，确保紧急情况得到快速响应；交通系统中，排队论用于设计更合理的交通信号灯控制策略，减少车辆排队和拥堵；在电信领域，它帮助设计电话网络，确保通话质量并减少掉线率。

车辆通过路口的情况可以类比为M/M/1 排队模型。下面的示例模拟了车辆通过路口的情境，即基于负指数分布到达和负指数分布服务时间的排队系统。通过模拟，我们可以了解在不同车辆到达速率（由λ表示）和服务速率（由μ表示）下，系统的表现如何，包括队列中车辆的平均等待时间和队列长度的变化，代码如下。

当λ <= μ时，则ρ <= 1，队伍的长度L会逐渐增长并收敛至L = λ / (μ - λ)，平均等待时间会收敛至Wq = 1 / (μ -λ)。反之若λ > μ，ρ > 1，此时系统过载，L和Wq会随着到达的顾客数的增加而增加，不会收敛。