文章目录
- 1. 特征值和特征向量
- 1.1 特征向量
- 1.2 向量分解
- 2. 矩阵相似
- 2.1 特征值求解法-相似
- 2.2 特殊特征值
- 2.3 反对称矩阵
- 3.对称矩阵
1. 特征值和特征向量
1.1 特征向量
假设有一个n行n列的方阵A，有 n 个不相同的特征值为 λ \lambda λ,特征向量为 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1,x2,⋯,xn.等式如下：
A x i = λ i x i , i = 1 , ⋯ , n → A 2 x = λ 2 x \begin{equation} Ax_i=\lambda_ix_i,i=1,\cdots,n\rightarrow A^2x=\lambda^2x \end{equation} Axi=λixi,i=1,⋯,n→A2x=λ2x
- 特征向量的好处在于，对于向量x来说， A x = λ x Ax=\lambda x Ax=λx，通过左乘矩阵A，还是不改变向量的方向，只是按照 λ \lambda λ倍进行缩放。
A k x = λ k x \begin{equation} A^kx=\lambda^kx \end{equation} Akx=λkx - 对于微分方程来说
d u d t = A u ， e A t = e λ t \begin{equation} \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=Au，\mathrm{e}^{At}=\mathrm{e}^{\lambda t} \end{equation} dtdu=Au，eAt=eλt - 通解表示如下：
u ( t ) = S e Λ t S − 1 u ( 0 ) = e A t u ( 0 ) \begin{equation} u(t)=Se^{\Lambda t} S^{-1} u(0)=e^{At}u(0) \end{equation} u(t)=SeΛtS−1u(0)=eAtu(0)
1.2 向量分解
假设矩阵A有n个线性无关的特征向量，那么对于任意矩阵v来说，可以分解为特征向量的线性组合
v = c 1 x 1 + c 2 x 2 + ⋯ + c n x n \begin{equation} v=c_1x_1+c_2x_2+\cdots+c_nx_n \end{equation} v=c1x1+c2x2+⋯+cnxn
- 两边同时乘以 A k , A k x = λ k x A^k,A^{k}x=\lambda^kx Ak,Akx=λkx:
A k v = c 1 λ 1 k x 1 + c 2 λ 2 k x 2 + ⋯ + c n λ n k x n \begin{equation} A^{k}v=c_1\lambda_1^{k}x_1+c_2\lambda_2^{k}x_2+\cdots+c_n\lambda_n^{k}x_n \end{equation} Akv=c1λ1kx1+c2λ2kx2+⋯+cnλnkxn - 特征向量在差分方程上的应用
u k + 1 = A u k → u k = A k u 0 = λ k x u 0 \begin{equation} u_{k+1}=Au_k\rightarrow u_k=A^ku_0=\lambda^kxu_0 \end{equation} uk+1=Auk→uk=Aku0=λkxu0
2. 矩阵相似
2.1 特征值求解法-相似
假设我们有两个矩阵A,B如果存在一个可逆矩阵M，满足如下关系，可推出A相似于B
B = M − 1 A M → B ∼ A → A 和 B 有相同的特征值 \begin{equation} B=M^{-1}AM\rightarrow B\sim A\rightarrow A和B有相同的特征值 \end{equation} B=M−1AM→B∼A→A和B有相同的特征值
- 假设矩阵A的特征值为 λ \lambda λ,特征向量为x,
∣ B − λ I ∣ = ∣ M − 1 A M − λ I ∣ = ∣ M − 1 A M − M − 1 λ M ∣ = ∣ M − 1 ∣ ∣ A − λ I ∣ ∣ M ∣ = ∣ A − λ I ∣ \begin{equation} |B-\lambda I|=|M^{-1}AM-\lambda I|=|M^{-1}AM-M^{-1}\lambda M|=|M^{-1}||A-\lambda I||M|=|A-\lambda I| \end{equation} ∣B−λI∣=∣M−1AM−λI∣=∣M−1AM−M−1λM∣=∣M−1∣∣A−λI∣∣M∣=∣A−λI∣ - 所以可得如下：
B ∼ A ⇒ λ A = λ B \begin{equation} B \sim A \Rightarrow \lambda_A=\lambda_B \end{equation} B∼A⇒λA=λB - Matlab中如何求解特征值
对于给定的矩阵A来说，我们用一个可逆矩阵 M 1 M_1 M1右乘矩阵A，左乘 M 1 − 1 M_1^{-1} M1−1，使得矩阵A逐渐变成上三角矩阵，通过不断地左右乘 M 1 , M 2 M1,M2 M1,M2,最后得到一个上三角矩阵B，这样我们就通过相似的形式得到主对角线上的特征值了。
B = ( M n ⋯ M 2 M 1 ) − 1 A ( M n ⋯ M 2 M 1 ) → B U p T r i a n g l e ∼ A → A 和 B 有相同的特征值 \begin{equation} B={(M_n\cdots M_2M_1)}^{-1}A{(M_n\cdots M_2M_1)}\rightarrow B_{UpTriangle}\sim A\rightarrow A和B有相同的特征值 \end{equation} B=(Mn⋯M2M1)−1A(Mn⋯M2M1)→BUpTriangle∼A→A和B有相同的特征值
2.2 特殊特征值
假设我们有两个矩阵A,B,令AB的特征值为 λ A B \lambda_{AB} λAB,特征向量为x,令BA的特征值为 λ B A \lambda_{BA} λBA,证明 λ A B = λ B A \lambda_{AB}=\lambda_{BA} λAB=λBA
- 根据定义可得：
A B x = λ A B x \begin{equation} ABx=\lambda_{AB}x \end{equation} ABx=λABx - 两边同时乘以B可得：
B A B x = λ A B B x → ( B A ) ( B x ) = λ A B ( B x ) → λ A B = λ B A \begin{equation} BABx=\lambda_{AB}Bx\rightarrow (BA)(Bx)=\lambda_{AB}(Bx)\rightarrow \lambda_{AB}=\lambda_{BA} \end{equation} BABx=λABBx→(BA)(Bx)=λAB(Bx)→λAB=λBA
2.3 反对称矩阵
假设我们有一个矩阵A表示如下：
A = [ 0 1 − 1 0 ] → A T = − A \begin{equation} A=\begin{bmatrix} 0&1\\\\ -1&0 \end{bmatrix}\rightarrow A^T=-A \end{equation} A= 0−110 →AT=−A
- 矩阵A实现的功能是将向量x顺时针旋转90°。
- 求矩阵A的特征值和特征向量如下：
λ 1 = i , v 1 = [ 1 i ] ; λ 2 = − i , v 1 = [ 1 − i ] ; S = [ 1 1 i − i ] ; Λ = [ i 0 0 − i ] ; \begin{equation} \lambda_1=i,v_1=\begin{bmatrix}1\\\\i\end{bmatrix};\lambda_2=-i,v_1=\begin{bmatrix}1\\\\-i\end{bmatrix};S=\begin{bmatrix}1&1\\\\i&-i\end{bmatrix};\Lambda=\begin{bmatrix}i&0\\\\0&-i\end{bmatrix}; \end{equation} λ1=i,v1= 1i ;λ2=−i,v1= 1−i ;S= 1i1−i ;Λ= i00−i ; - 分解A如下：
A = S Λ S − 1 ⇒ [ 0 1 − 1 0 ] = [ 1 1 i − i ] [ i 0 0 − i ] [ 1 1 i − i ] − 1 ; \begin{equation} A=S\Lambda S^{-1}\Rightarrow \begin{bmatrix}0&1\\\\-1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1\\\\i&-i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i&0\\\\0&-i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\\\i&-i\end{bmatrix}^{-1}; \end{equation} A=SΛS−1⇒ 0−110 = 1i1−i i00−i 1i1−i −1;
3.对称矩阵
对称矩阵具有实数特征值和正交的特征向量。我们定义矩阵A如下：
A = [ 0 1 1 0 ] → λ 1 = 1 , v 1 = [ 1 1 ] ; λ 2 = − 1 , v 2 = [ − 1 1 ] ; \begin{equation} A=\begin{bmatrix}0&1\\\\1&0\end{bmatrix}\rightarrow \lambda_1=1,v_1=\begin{bmatrix}1\\\\1\end{bmatrix};\lambda_2=-1,v_2=\begin{bmatrix}-1\\\\1\end{bmatrix}; \end{equation} A= 0110 →λ1=1,v1= 11 ;λ2=−1,v2= −11 ;
- 可得如下：
A = S Λ S − 1 → [ 0 1 1 0 ] = [ 1 1 1 − 1 ] [ 1 0 0 − 1 ] [ 1 1 1 − 1 ] − 1 \begin{equation} A=S\Lambda S^{-1}\rightarrow \begin{bmatrix}0&1\\\\1&0\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1&1\\\\1&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\\\0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\\\1&-1\end{bmatrix}^{-1} \end{equation} A=SΛS−1→ 0110 = 111−1 100−1 111−1 −1
