图
- 图的基本知识
- 基本概念
- 图的类型
- 相关术语
- 图的存储
- LeetCode 相关题目
- 岛屿问题
- 岛屿的最大面积
- 岛屿的周长
图的基本知识
基本概念
图的类型
- 无向图
- 有向图
- 加权图
相关术语
- 顶点
- 边
- 路径
- 路径长度
- 环
- 负权环
- 连通性
- 顶点的度
- 入度
- 出度
图的存储
- 邻接矩阵存储:是用一个二维数据数组(矩阵)存储图中顶点间的邻接关系。假设图
G=(V, E)
有n
个顶点,那么邻接矩阵就是n*n
的方阵。
以有权图为例:
- 邻接表:对于每个图的顶点v,将所有邻接于顶点
v
的顶点链成一个单链表(边表)。
以有权图为例:
LeetCode 相关题目
岛屿问题
我们所熟悉的 DFS(深度优先搜索)问题通常是在树或者图结构上进行的。而今天讨论的 DFS 问题,是在一种「网格」结构中进行的。岛屿问题是这类网格 DFS 问题的典型代表。
网格类问题的 DFS 遍历方法:
- 网格问题是由
m * n
个小方格组成一个网格,每个小方格与其上下左右四个方格认为是相邻的,要在这样的网格上进行某种搜索。 - 岛屿问题每个格子中的数字可能是 0 或者 1。0 看成海洋,1 看成陆地,这样相邻的陆地就连接成一个岛屿。在这样一个设定下,就出现了各种岛屿问题的变种,包括岛屿的数量、面积、周长等。
二叉树 DFS 遍历一般是这样的:
void dfs(TreeNode* root) {// base caseif (root == nullptr) return;// visit adjacent nodedfs(root->left);dfs(root->right);
}
其中最关键的是处理好base case 的判断,以及访问相邻节点。在网格问题中,相邻节点就是上下左右四个格子,base case 就是数组下标越界的情况。
于是可以写出网格问题 dfs 遍历的代码:
void dfs(vector<vector<int>>& grid, int r, int c) {// base caseif (!inArea(grid, r, c) return;// visit adjacentdfs(grid, r - 1, c);dfs(grid, r + 1, c);dfs(grid, r, c - 1);dfs(grid, r, c + 1);
}bool inArea(vector<vector<int>>& grid, int r, int c) {return r >= 0 && r < grid.size() && c >= 0 && c < grid[0].size();
}
网格结构的 DFS 与二叉树的 DFS 最大的不同之处在于,遍历中可能遇到遍历过的结点。如何避免这样的重复遍历呢?答案是标记已经遍历过的格子。以岛屿问题为例,我们需要在所有值为 1 的陆地格子上做 DFS 遍历。每走过一个陆地格子,就把格子的值改为 2,这样当我们遇到 2 的时候,就知道这是遍历过的格子了。
void dfs(vector<vector<int>>& grid, int r, int c) {// base caseif (!inArea(grid, r, c) return;if (grid[r][c] != 1) return;grid[r][c] = 2;// visit adjacentdfs(grid, r - 1, c);dfs(grid, r + 1, c);dfs(grid, r, c - 1);dfs(grid, r, c + 1);
}bool inArea(vector<vector<int>>& grid, int r, int c) {return r >= 0 && r < grid.size() && c >= 0 && c < grid[0].size();
}
岛屿的最大面积
LeetCode-695 岛屿的最大面积
class Solution {
public:int maxAreaOfIsland(vector<vector<int>>& grid) {if (grid.size() == 0) return 0;int r = grid.size(), c = grid[0].size();for (int row = 0; row < r; row++) {for (int col = 0; col < c; col++) {int area = dfs(grid, row, col);max_area = max(max_area, area);}}return max_area;}
private:int max_area = 0;bool inArea(vector<vector<int>>& grid, int r, int c) {return r >= 0 && r < grid.size() && c >= 0 && c < grid[0].size();}int dfs(vector<vector<int>>& grid, int r, int c) {if (!inArea(grid, r, c) || grid[r][c] != 1) return 0;grid[r][c] = 2;return 1+ dfs(grid, r-1, c)+ dfs(grid, r+1, c)+ dfs(grid, r, c-1)+ dfs(grid, r, c+1);}
};
岛屿的周长
LeetCode-200 岛屿的周长
岛屿的周长是计算岛屿全部的「边缘」,而这些边缘就是我们在 DFS 遍历中,dfs 函数返回的位置。观察题目示例,我们可以将岛屿的周长中的边分为两类,如下图所示。黄色的边是与网格边界相邻的周长,而蓝色的边是与海洋格子相邻的周长。
- 当 dfs 函数因为「坐标 (r, c) 超出网格范围」返回的时候,就经过了一条黄色的边;
- 当函数因为「当前格子是海洋格子」返回的时候,就经过了一条蓝色的边。这样就把岛屿的周长跟 DFS 遍历联系起来了。
class Solution {
public:int islandPerimeter(vector<vector<int>>& grid) {if (grid.size() == 0) return 0;int r = grid.size(), c = grid[0].size();for (int row = 0; row < r; row++) {for (int col = 0; col < c; col++) {if (grid[row][col] == 1) {return dfs(grid, row, col);}}}return 0;}
private:bool inArea(vector<vector<int>>& grid, int r, int c) {return r >= 0 && r < grid.size() && c >= 0 && c < grid[0].size();}int dfs(vector<vector<int>>& grid, int r, int c) {// base caseif (!inArea(grid, r, c)) return 1;if (grid[r][c] == 0) return 1;if (grid[r][c] != 1) return 0;grid[r][c] = 2;// visit adjacentreturn dfs(grid, r - 1, c) + dfs(grid, r + 1, c) + dfs(grid, r, c - 1) + dfs(grid, r, c + 1);}
};