数据结构：堆的保姆级教学指南

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所属专栏：数据结构与算法

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1.堆的概念

堆是一种特殊的树结构，通常用于高效地实现优先遍历。堆可以分为大根堆和小根堆。

堆的性质：
堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值；
堆总是一棵完全二叉树。

大根堆：任意节点的值大于其子节点的值

小根堆：任意节点的值小于其子节点的值

2.堆的实现 

堆通常用数组来实现，通过一些特定的操作可以高效地完成其相关功能的实现。

通过下标我们也能找到一个节点其对应的父节点和子节点。

父节点存在的情况下，parent = (child-1)/2;

子节点存在的情况下，leftchild = 2*parent+1；rightchild = 2*parent+2;

这里的parent和child指的都是下标。

3.堆的功能

堆的初始化

判断堆是否为空

堆的插入

堆的删除

获取堆顶元素

返回堆的大小

输出堆

建堆

销毁堆

4.堆的声明

堆通常是用数组来实现的。

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{HPDataType* a;int size;int capacity;}HP;

5.堆的功能实现

5.1堆的初始化

//初始化
void HPInit(HP* php)
{assert(php);php->a = NULL;php->size = 0;//数据个数php->capacity = 0;//容量大小
}

5.2判断堆是否为空

//检查是否为空
bool HPEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}

5.3堆的插入

我们这里以建小堆为例，若想建大堆只需更改判断a[child]与a[parent]的大小关系即可。

//交换位置
void SWap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{HPDataType tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;while (child>0){if (a[child] < a[parent]){SWap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}//入堆
void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{assert(php);if (php->size == php->capacity){int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a,newcapacity*sizeof(HPDataType));if (tmp == NULL){perror("realloc fail");return;}php->capacity = newcapacity;php->a = tmp;}php->a[php->size] = x;php->size++;AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

这是一个比较详细的调整过程，根据代码进行一步步比对操作可以更容易理解。 

 

5.4堆的删除

删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据跟最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。

//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{int child = 2 * parent + 1;while (child<n){//找到那个较小的孩子（左孩子/右孩子）if (child + 1 < n && a[child] > a[child + 1]){child++;}if(a[parent]>a[child]){SWap(&a[parent], &a[child]);parent = child;child = 2 * parent + 1;}else{break;}}
}//出堆
void HPPop(HP* php)
{assert(php);assert(!HPEmpty(php));SWap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);php->size--;AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

 向下调整是比较不好理解的，下面是详细的思路。

 

5.5获取堆顶元素

//取堆顶数据
HPDataType HPTop(HP* php)
{assert(php);assert(!HPEmpty(php));return php->a[0];
}

5.6返回堆的大小

//获取堆的元素个数
int HPSize(HP* php)
{assert(php);return php->size;
}

5.7输出堆

//打印堆
void HPDisplay(HP* php)
{for (int i = 0; i < php->size; ++i){printf("%d ", php->a[i]);}printf("\n");
}

5.8建堆

//向上调整建堆O(N*logN)
void HPCreatUp(HP* php,HPDataType* a,int n)
{assert(php && a);for (int i = 0; i < n; i++){AdjustUp(a, i);}
}//向下调整建堆1 O(N)
void HPCreatDown1(HP* php, HPDataType* a, int n)
{assert(php && a);for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)//n是数据个数，n-1是最后一个数据的下标，(n-1-1)/2是求双亲的下标{AdjustDown(a, n,i);}
}//向下调整建堆2 O(N*logN)
void HPCreatDown2(HP* php, HPDataType* a, int n)
{int end = n - 1;while (end > 0){SWap(&a[0], &a[end]);AdjustDown(a, end, 0);end--;}
}

补充：

向上调整建堆算法的时间复杂度分析

向下调整建堆算法的时间复杂度分析

 

5.9销毁堆

//销毁堆
void HPDestroy(HP* php)
{assert(php);free(php->a);php->a = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}

5.10完整代码

Heap.h:

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>
#include<assert.h>typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{HPDataType* a;int size;int capacity;}HP;
//初始化
void HPInit(HP* php);//检查是否为空
bool HPEmpty(HP* php);//交换位置
void SWap(HPDataType* p1, HPDataType* p2);//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child);//入堆
void HPPush(HP* php, HPDataType x);//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent);//出堆
void HPPop(HP* php);//取堆顶数据
HPDataType HPTop(HP* php);//获取堆的元素个数
int HPSize(HP* php);//向上调整建堆O(N*logN)
void HPCreatUp(HP* php, HPDataType* a, int n);//向下调整建堆1 O(N)
void HPCreatDown1(HP* php, HPDataType* a, int n);//向下调整建堆2 O(N*logN)
void HPCreatDown2(HP* php, HPDataType* a, int n);//打印堆
void HPDisplay(HP* php);//销毁堆
void HPDestroy(HP* php);

Heap.c:

#include"Heap.h"//初始化
void HPInit(HP* php)
{assert(php);php->a = NULL;php->size = 0;php->capacity = 0;
}//检查是否为空
bool HPEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}//交换位置
void SWap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{HPDataType tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;while (child>0){if (a[child] < a[parent]){SWap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}//入堆
void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{assert(php);if (php->size == php->capacity){int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a,newcapacity*sizeof(HPDataType));if (tmp == NULL){perror("realloc fail");return;}php->capacity = newcapacity;php->a = tmp;}php->a[php->size] = x;php->size++;AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{int child = 2 * parent + 1;while (child<n){//找到那个较小的孩子（左孩子/右孩子）if (child + 1 < n && a[child] > a[child + 1]){child++;}if(a[parent]>a[child]){SWap(&a[parent], &a[child]);parent = child;child = 2 * parent + 1;}else{break;}}
}//出堆
void HPPop(HP* php)
{assert(php);assert(!HPEmpty(php));SWap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);php->size--;AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}//取堆顶数据
HPDataType HPTop(HP* php)
{assert(php);assert(!HPEmpty(php));return php->a[0];
}//获取堆的元素个数
int HPSize(HP* php)
{assert(php);return php->size;
}//打印堆
void HPDisplay(HP* php)
{for (int i = 0; i < php->size; ++i){printf("%d ", php->a[i]);}printf("\n");
}//向上调整建堆O(N*logN)
void HPCreatUp(HP* php,HPDataType* a,int n)
{assert(php && a);for (int i = 0; i < n; i++){AdjustUp(a, i);}
}//向下调整建堆1 O(N)
void HPCreatDown1(HP* php, HPDataType* a, int n)
{assert(php && a);for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)//n是数据个数，n-1是最后一个数据的下标，(n-1-1)/2是求双亲的下标{AdjustDown(a, n,i);}
}//向下调整建堆2 O(N*logN)
void HPCreatDown2(HP* php, HPDataType* a, int n)
{int end = n - 1;while (end > 0){SWap(&a[0], &a[end]);AdjustDown(a, end, 0);end--;}
}//销毁堆
void HPDestroy(HP* php)
{assert(php);free(php->a);php->a = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}

6.堆的实际运用

6.1堆排序

堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：
1. 建堆
升序：建大堆
降序：建小堆
2. 利用堆删除思想来进行排序
建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。

//交换位置
void SWap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{HPDataType tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{int child = 2 * parent + 1;while (child<n){//找到那个较小的孩子（左孩子/右孩子）if (child + 1 < n && a[child] > a[child + 1]){child++;}if(a[parent]>a[child]){SWap(&a[parent], &a[child]);parent = child;child = 2 * parent + 1;}else{break;}}
}void HeapSort(int* a, int n)
{// 降序，建小堆// 升序，建大堆// 向上调整建堆 O(N*logN)/*for (int i = 1; i < n; i++){AdjustUp(a, i);}*/// 向下调整建堆 O(N)for (int i = (n-1-1)/2; i >= 0; i--){AdjustDown(a, n, i);}// O(N*logN)int end = n - 1;while (end > 0){SWap(&a[0], &a[end]);AdjustDown(a, end, 0);--end;}
}//打印堆
void HPDisplay(HP* php)
{for (int i = 0; i < php->size; ++i){printf("%d ", php->a[i]);}printf("\n");
}

6.2TopK问题

TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。
比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。


对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：
1. 用数据集合中前K个元素来建堆
前k个最大的元素，则建小堆
前k个最小的元素，则建大堆
2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素
将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>
#include<assert.h>
#include<time.h>//堆排序
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{HPDataType* a;int size;int capacity;}HP;//交换位置
void SWap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{HPDataType tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{int child = 2 * parent + 1;while (child < n){//找到那个较小的孩子（左孩子/右孩子）if (child + 1 < n && a[child] > a[child + 1]){child++;}if (a[parent] > a[child]){SWap(&a[parent], &a[child]);parent = child;child = 2 * parent + 1;}else{break;}}
}void HeapSort(int* a, int n)
{// 降序，建小堆// 升序，建大堆// 向上调整建堆 O(N*logN)/*for (int i = 1; i < n; i++){AdjustUp(a, i);}*/// 向下调整建堆 O(N)for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--){AdjustDown(a, n, i);}// O(N*logN)int end = n - 1;while (end > 0){SWap(&a[0], &a[end]);AdjustDown(a, end, 0);--end;}
}//打印堆
void HPDisplay(HP* php)
{for (int i = 0; i < php->size; ++i){printf("%d ", php->a[i]);}printf("\n");
}void CreatData()
{// 造数据int n = 100000;srand(time(0));const char* file = "data.txt";FILE* fin = fopen(file, "w");if (fin == NULL){perror("fopen error");return;}for (int i = 0; i < n; ++i){int x = (rand() + i) % 10000000;fprintf(fin, "%d\n", x);}fclose(fin);
}void TopK()
{int k;printf("请输入k>:");scanf("%d", &k);int* kminheap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);if (kminheap == NULL){perror("malloc fail");return;}const char* file = "data.txt";FILE* fout = fopen(file, "r");if (fout == NULL){perror("fopen error");return;}// 读取文件中前k个数for (int i = 0; i < k; i++){fscanf(fout, "%d", &kminheap[i]);}// 11:51继续// 建K个数的小堆for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--){AdjustDown(kminheap, k, i);}// 读取剩下的N-K个数int x = 0;while (fscanf(fout, "%d", &x) > 0){if (x > kminheap[0]){kminheap[0] = x;AdjustDown(kminheap, k, 0);}}printf("最大前%d个数：", k);for (int i = 0; i < k; i++){printf("%d ", kminheap[i]);}printf("\n");
}
//TopK问题
int main()
{//CreatData();TopK();return 0;
}

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