1.二叉树的概念和性质

一，概念
1.五种形态：

• 为空
• 不为空
  • 根节点
  • 根节点+左子树
  • 根节点+右子树
  • 根节点+左子树+右子树

2.二叉树不存在度>2的节点
3.二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

二，性质

1.规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第k层上最多有2^(k-1)个节点
2.规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大节点个数为2^h-1
3.对于任意一棵二叉树，n0（度为0的节点个数）=n2（度为2的节点个数）+1
4.规定根节点的层数是1，具有n个节点的满二叉树的深度，h=log(N+1).(ps:log是以2为底的对数）

2.二叉树的链式存储

typedef char BTDataType;typedef struct BinaryTreeNode
{BTDataType val;struct BinaryTreeNode* left;//左孩子struct BinaryTreeNode* right;//右孩子
}BTNode;

2.1二叉树的遍历

2.1.1前中后遍历

二叉树遍历是按照某种特定的规则，依次对二叉树的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次

1.前序遍历：根节点 ，左子树， 右子树
2.中序遍历：左子树 ，根节点 ，右子树
3.后序遍历：左子树 ，右子树， 根节点

前，中，后序代码都是差不多的，唯一区别在于打印的位置不一样

前序遍历：void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root);

//二叉树的前序遍历
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){//printf("#");return;}printf("%c", root->val);BinaryTreePrevOrder(root->left);BinaryTreePrevOrder(root->right);
}

中序遍历：void BinaryTreeInOrder(BTNode* root);

// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){//printf("#");return;}BinaryTreeInOrder(root->left);printf("%c", root->val);BinaryTreeInOrder(root->right);
}

后序遍历：void BinaryTreePostOrder(BTNode* root);

// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){//printf("#");return;}BinaryTreePostOrder(root->left);BinaryTreePostOrder(root->right);printf("%c", root->val);
}

2.1.2层次遍历

层次遍历是自上而下，自左至右逐层访问树的节点的过程
层次遍历需要借助队列来完成
思想：将根节点入队，然后再出队，出队时，将其根节点的左节点和右节点入队。后面操作与前面一样，直到队列为空表明层次遍历完成

// 层序遍历--需要建立一个队列
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)
{Queue q;QInint(&q);//初始化if (root)QPush(&q, root);//先将根节点入队while (!QEmpty(&q)){QDataType fornt = GetFront(&q);QPop(&q);printf("%c ", fornt->val);if (fornt->left)QPush(&q, fornt->left);if (fornt->right)QPush(&q, fornt->right);}Qdestroy(&q);//销毁队列
}

2.2求节点的个数

思路：
1.如果二叉树为空，返回0
2.二叉树不为空

分成三部分：根节点，左子树，右子树。返回左子树+右子树+1

// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{return root == NULL ? 0 : BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}

2.3求叶子节点的个数

思路：
二叉树为空，返回0
二叉树不为空

只有一个节点，返回1.
多于一个节点，分成左子树和右子树递归
ps：叶子节点是左子树和右子树都为空的节点

// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{if (root == NULL)return 0;if (root->left == NULL && root->right == NULL)return 1;return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}

2.4求第k层节点个数

思路：
二叉树为空，返回0
二叉树不为空

如果k==1，返回1
k>1,左子树的k-1层+右子树的k-1层

// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{if (root == NULL)return 0;if (k == 1)return 1;return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}

2.5二叉树的销毁

// 二叉树销毁--后序销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode* root)
{if (root == NULL)return;BinaryTreeDestory(root->left);BinaryTreeDestory(root->right);free(root);
}

2.6怎样通过前序遍历构建二叉树

//通过 前序 遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int* pi)//这里一定要是int*pi,或者全局变量
{if (a[*pi] == '#' || a[*pi] == '\0'){(*pi)++;return NULL;}BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));if (node == NULL)//判断开辟空间是否成功{perror("malloc fail");exit(-1);}node->val = a[*pi];(*pi)++;node->left = BinaryTreeCreate(a,pi);node->right = BinaryTreeCreate(a,pi);return node;
}

2.7判断是否是满二叉树

需要借助队列来实现
先将根节点入队，然后出队时，将根节点的左子树和右子树入队，然后重复上述操作。当出队遇到第一个NULL时判断队列中是否还有不是空的，如果没有就表明改二叉树是满二叉树

// 判断二叉树是否是完全二叉树
bool BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{Queue q;QInint(&q);//初始化if (root)QPush(&q, root);while (!QEmpty(&q)){QDataType fornt = GetFront(&q);QPop(&q);//遇到第一个空就可以开始判断了，如果队列不为空，就是非完全二叉树if (fornt == NULL){break;}QPush(&q, fornt->left);QPush(&q, fornt->right);}while (!QEmpty(&q)){QDataType fornt = GetFront(&q);QPop(&q);//进入下面的if中就不是完全二叉树if (fornt){Qdestroy(&q);return false;}}Qdestroy(&q);//销毁队列return true;
}