图论(五)-最短路

一、Bellman-Ford算法 

        算法思想:通过 n 次循环,每次循环都遍历每条边(共 m 条边),进而更新节点的距离,每次循环至少可以确定一个点的最短路,循环 n 次,求出 n 个点的最短路

        时间复杂度 : O(mn)  (n为节点个数,m为边总数)

        与前面所述的dijkstra算法不同,Bellman-Ford 算法可以处理含负权边的单源最短路问题,同时可以判断是否存在负权回路。

        算法描述:

        ①初始化:将除起始点 s 以外的 dis 数组设置为 无穷大, dis[ s ] = 0

        ②迭代:遍历图中的每条边,对边的两个顶点分别进行松弛操作,一共遍历 n 次 m条边,直到没有节点能够松弛

        ③判断负环:Bellman-Ford算法迭代后,再迭代一次,若最短路距离发生改变,则存在负环。

        核心代码:

for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
{int u=edge[i].u;int v=edge[i].v;int w=edge[i].w;if(dist[u]+v<dist[v])dist[v]=dist[u]+w; //松弛
}

应用

        Bellman-Ford算法,第 i 次循环 m 条边时,可以确定走 i 条路到达的点的最短距离。 当图为一条直线时,需要 n-1 次循环即可确定最短路。

求有边数限制的最短路

        通过上述 Bellman-Ford算法思路,若求 k 条边数限制的最短路,仅需要循环 k 次 m条边,以下图举例说明。

        

    k = 1 时,通过上述代码,遍历一次即可算出 节点2 3 的最短路,但是这是错误的。当边的顺序为 (2,3,3)  (1,2,2) 时,遍历一次仅可以求出 节点2 的最短路,说明上述仅遍历一次得出的 节点3 不一定是最短路。

    考虑原问题,若需要求 k 条边限制的最短路

     通过第一种情况边的顺序可以得出 dis[ 3 ] 为 5 ,可是显然仅走1条边时到达不了节点3

     而通过第二种情况边的顺序又可以得出正确结果。但是当节点数明显增多时,边的顺序无法自行更改,应该如何处理?

        进行备份,保存其上一[2] 应为第0条边时的值(正无穷),同时将备份数组不断更新。层的状态,对该状态进行松弛操作(即当考虑第k条边时,对其考虑第 k-1 条边的状态进行松弛操作),在上述图例中,当对 节点3 进行松弛操作的 dis

        此外,当存在负权边时,仍然会更新,可是更新后的大小为 正无穷+负权值,在最后判断是否到达该节点时仅需判断 

if ( dist [n] > 0x3f3f3f3f/2 ) return -1;

核心代码:

memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
dist[1]=0;
for(int i=1;i<=k;i++) 
{for(int j=1;j<=n;j++) bf[i]=dis[i];for(int j=1;j<=m;j++)   // 枚举所有边 {int a=edge[j].a,b=edge[j].b,w=edge[j].w;	dis[b]=min(dis[b],bf[a]+w); // 用备份更新 }
}
if(dist[n]>0x3f3f3f3f/2) return -1;
return dist[n];

二、SPFA算法

        SPFA算法是在上述 Bellman-Ford 基础上优化得来的,Bellman-Ford中,当某个点未被更新过,仍会用该点去更新其他节点,这是无意义的,使得效率降低,SPFA中将更新后的节点再去更新其他节点即可。

void spfa()
{// 将更新的节点加入队列中,队列中的元素即为已更新的节点memset(dis,0x3f,sizeof(dis));dist[1]=0;queue<int>q;q.push(1); //入队 st[1]=1; // 队列中含有该节点while(q.size()) // 队列不空{int u=q.front(); q.pop();st[u]=0; // 出队for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){int v=edge[i].v;int w=edge[i].w; if(dis[v]>dis[u]+w){dis[v]=dis[u]+w;if(!st[v])  //如果不在队列中,入队{q.push(v); st[v]=1;		    } 	    	}}	} 
}

SPFA应用:判断负环

        负环:当图中存在一个环,使得绕环遍历一圈的结果为负数,这样绕该环一直遍历,最短距离不断减小,不存在最短路

SPFA判断负环:用一个 cnt [x] 数组存储 起点到 x 点的最短路径经过的边数,因为SPFA为最短路算法,经过的边数一定<n ,若 cnt 数组的某个值 >=n , 则说明存在负环。

        此外,通过链式前向星构建的图不一定是连通的,可能存在自环的情况(负自环),因此需要首先将所有节点入队。

bool spfa()
{// 将更新的节点加入队列中,队列中的元素即为已更新的节点memset(dis,0x3f,sizeof(dis));dist[1]=0;queue<int>q;for(int i=1;i<=n;i++){q.push(i); //入队 st[i]=1; // 队列中含有该节点}while(q.size()) // 队列不空{int u=q.front(); q.pop();st[u]=0; // 出队for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){int v=edge[i].v;int w=edge[i].w; cnt[v]=cnt[u]+1;if(cnt[v]>=n) return true; // 经过边数>=n,存在负环if(dis[v]>dis[u]+w){dis[v]=dis[u]+w;if(!st[v])  //如果不在队列中,入队{q.push(v); st[v]=1;} 	    	}}	} 
}

三、Floyd 算法

        Floyd 算法可以实现多源最短路,思想基于动态规划,从 节点i 到 节点j 的路径有两种

        1.从 节点i 直接到 节点j  dis[i][j]=dis[i][j]

        2. 节点i 经过某些节点到达 节点k 再经过某些节点到达 节点j   dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j] 

        通过上面两种方式进行更新

        时间复杂度为 O(n^{3} )

void floyd()
{for(int k=1;k<=n;k++)for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);
}

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