题目描述

格格有一个长度为 $n$ 的排列 $p$，但她不记得 $p$ 具体的样子，她只记得数组 $a$。

其中：$a_i=gcd(p_1,p_2,...,p_i)$，也就是说，$a_i$​ 表示排列 $p$ 中前 $i$ 个数字的最大公约数。

现在，她希望小苯将排列 $p$ 复原出来，请你帮帮他吧。

（但有可能无解，这意味着格格给出的 $a$ 数组可能是不正确的，此时输出 $-1$ 即可。）

输入格式

输入包含两行。

第一行一个正整数 $n(1\le n\le 2\times 10^5)$，表示数组 $a$ 的长度。

第二行 $n$ 个正整数 $a_i(1\le a_i\le n)$，表示数组 $a$ 的元素。

输出格式

输出包含一行 $n$ 个正整数，表示符合条件的排列 $p$。

如果有多个解，输出任意方案即可。

如果无解，请输出一个数字：$-1$。

样例输入1

4
4 2 1 1

样例输出1

4 2 1 3

提交链接

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/82957/D

提示

排列：长度为 $n$ 的排列是一个数组，满足其中 $1$ 到 $n$ 的每个正整数恰好出现一次。

样例解释：

首先输出是一个排列，且满足格格的要求：

$a_1=gcd(p_1)=4$

$a_2=gcd(p_1,p_2)=2$

$a_3=gcd(p_1,p_2,p_3)=1$

$a_4=gcd(p_1,p_2,p_3,p_4)=1$

解析

根据 $a[i]=gcd(p[1],...,p[i])$、 $a[i-1]=gcd(p[1],...,p[i-1])$，即 $a[i]=gcd(a[i-1],p[i])$。

可以得到 $a[i-1]\%a[i]=0$

即，$a$ 数组递减的，且满足 $a[i-1]\%a[i]=0$ 或 $a[i-1]=a[i]$

确定 $ans$ 数组，分为两种情况。

1. $a[i-1]>a[i]$
   $ans$ 数组的第 $i$ 个位置填 $a[i]$。

   证明：
   $a[i-1]=gcd(ans[1],...,ans[i-1])>a[i]=gcd(ans[1],...,ans[i])$ $=>$
   $min(ans[1],..,ans[i-1])>min(ans[1],...,ans[1])$ $=>$
   $ans[1]\sim ans[i-1]$ 与 $ans[i]$ 不相等，$a[i]$ 未使用。又要保证 $ans[1]\sim ans[i]$ 的最大公约数为 $a[i]$，则 $ans[i]=a[i]$

2. $a[i-1]=a[i]$
   $ans[i]$ 数组的第 $i$ 个位置填 $a[i]$ 未使用的倍数。

$a[i]=gcd(ans[1],..,ans[i])$，可以得到 $ans[i]$ 为 $a[i]$ 的倍数，$ans[i-1]$ 为 $a[i]$ 的倍数。

我们可以这样构造：$a[i]$ 的倍数从小到大使用。即当填 $ans$ 数组的第 $i$ 个位置时，小于等于 $ans[i-1]$ 的 $a[i]$ 的倍数都已经被使用。
我们可以从 $ans[i-1]+a[i]$ 开始找 $a[i]$ 的倍数，大大减少时间复杂度。

参考代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 2e5 + 9;
int n, a[maxn], ans[maxn];
bool vis[maxn];
int main()
{cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i];bool book = false;for (int i = 1; i <= n; i++){if (i >= 2 && a[i - 1] % a[i] != 0)  //a数组必须满足 a[i-1] % a[i] = 0{book = true;break;}}if (!book){for (int i = 1; i <= n; i++){if (a[i - 1] != a[i])ans[i] = a[i];else{for (int k = ans[i - 1] + a[i]; k <= n; k += a[i]) // 找a[i]的倍数{if (!vis[k]){ans[i] = k;break;}}}if (!ans[i]){book = true;break;}vis[ans[i]] = true;}}if (book)cout << -1;else{for (int i = 1; i <= n; i++)cout << ans[i] << " ";}return 0;
}