不同的二叉搜索树(II)题解

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🥛前言

动态规划是常见的算法思路，动态规划在计算过程中保存了部分计算结果到内存中，以便于在进行下一次计算时可以直接从内存中获取到而不用再进行计算，可以降低时间复杂度。

动态规划也一直都是一个比较难以形成思路的算法思想。这篇文章虽然是一个简单题，但是记录了动态规划算法的解题思路，方便形成一个固定的解题思路。

📖题目

给你一个整数 n ，请你生成并返回所有由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的不同 二叉搜索树 。可以按 任意顺序 返回答案。

示例：

输入： n = 3

输出：[[1,null,2,null,3],[1,null,3,2],[2,1,3],[3,1,null,null,2],[3,2,null,1]]

📖二叉搜索树

二叉搜索树满足两个条件：

1、对于根节点而言，左子节点的值<根节点<右子节点的值。

2、对于任意节点而言，都满足条件1。

📖解题

🤔思考过程

既然题目以二叉树为背景，那么考察的算法大概率是回溯。所谓回溯，是指是一种通过穷举来解决问题的方法，它的核心思想是从一个初始状态出发，暴力搜索所有可能的解决方案，当遇到正确的解则将其记录，直到找到解或者尝试了所有可能的选择都无法找到解为止。回溯算法通常采用“深度优先搜索”来遍历解空间。

对于此题而言，我们需要列举每一个根节点的情况，假设输入n=3时，需要考虑根节点分别为1,2,3的情况。即在[1,n]中枚举。并且在枚举的过程中，结合二叉搜索树的性质，对回溯的递归函数做一些边界条件的限制。

前面介绍了，二叉搜索树的性质是ndoe.lef.val < node.val < node.right.val。那么就可以在[1,i-1]中枚举左节点，在[i+1,n]枚举右节点。而这样的问题又可以进一步转化成在[1,i-1]中构造二叉搜索树的子问题。便可以采用递归的方法解决此问题，在每一次递归中都采用回溯法枚举不同的情况。

🤏思路转化代码

分析过程清楚了，但是如何将分析思路转化成代码呢。

首先要清楚递归函数怎么写。在分析过程中我们表述了如何去枚举一个二叉搜索树，那么这个递归函数就是用于枚举不同情况的搜索树。定义递归函数为dfs(start,end)，这个函数用于返回不同根节点的二叉树。同时这个函数能够将问题转化成子问题，也就是左子树和右子树。那么就可以进一步转化成dfs(letf,i-1)和dfs(i+1,right)。然后我们需要将树的结构用数组保存下来，在左子树和右子树中选择一棵树拼接到根节点即可。

转化成代码如下

def dfs(start,end):ans = []for i in range(start,end):# 枚举左子树left = dfs(start,i-1)# 枚举右子树right = dfs(i+1,right)for x in left:for y in right:root = TreeNode(i)root.left,root.right = x,yans.append(root)return ans

我们完成了函数的核心功能，但是需要考虑到一个边界情况：当start>end时，应该怎么处理？

这里只需要处理成返回[None]即可。因为这种情况不可能存在。

所以这个函数的完整代码如下

def dfs(start,end):if start > end:return [None]ans = []for i in range(start,end):# 枚举左子树left = dfs(start,i-1)# 枚举右子树right = dfs(i+1,right)for x in left:for y in right:root = TreeNode(i)root.left,root.right = x,yans.append(root)return ans

到这里我们就可以写出整个题目的代码了，为了便于debug，这里把打印函数也写出来了。

# from typing import List,Optionalclass TreeNode:def __init__(self, val=0, left=None, right=None):self.val = valself.left = leftself.right = rightself.res = []def preorder(root,res):if root:res.append(root.val)preorder(root.left,res)preorder(root.right,res)else:res.append(None)return resclass Solution:def generateTrees(self, n: int) -> List[Optional[TreeNode]]:def dfs(l,r):if l > r:return [None]ans = []for i in range(l,r+1):for x in dfs(l,i-1):for y in dfs(i+1,r):root = TreeNode(i)root.left,root.right=x,yans.append(root)return ansreturn dfs(1,n)if __name__ =='__main__':s = Solution()r = s.generateTrees(3)for i in r:print(preorder(i,[]))