第199题|关于函数的周期性问题|函数强化训练(六)|武忠祥老师每日一题 5月24日

解题思路:解这道题我们要用到下面这个结论

 f(x)连续,以T为周期时,原函数以T为周期的充分必要条件是:\int_{a}^{a+T}f(t)dt=0

(A)

sin x显然是以π为周期的,我们可以看到\int_{0}^{\pi }|sin x|dx并不等于0,根据结论,A的原函数显然不是周期函数。

(B)

sin^{4}x的周期是\pi,但是\int_{0}^{\pi }sin^{4} xdx显然是大于0的,B也是错的。

(C)

sin^{2}x的周期是\pi,所以整体的周期应该也是\pi\int_{0}^{\pi }\frac{1}{1+sin^{2} x}dx显然不等于0,C也不对

(D)

排除法直接选D;

我们再来看一下D为什么对,sin x的周期是2\pi\frac{1}{1+sin^{4}x}的周期是\pi,两者相乘,周期是2\pi

\frac{sin x}{1+sin^{4}x} 显然是个奇函数,碰到奇函数,且周期是2的倍数,就要想到上面这个结论,那它的原函数一定以T为周期\int_{-\pi }^{\pi }\frac{sin x}{1+sin^{4}x}dx=0,根据结论得证.

知识点总结:

 1. f(x)连续,以T为周期时,原函数以T为周期的充分必要条件是:\int_{a}^{a+T}f(t)dt=0

2.in x的周期是2\pi\frac{1}{1+sin^{4}x}的周期是\pi,两者相乘,周期是2\pi

3.奇函数且周期是2的倍数要想到上面的结论。

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