五分钟“手撕”时间复杂度与空间复杂度

 

目录

一、算法效率

什么是算法

如何衡量一个算法的好坏

算法效率

二、时间复杂度

时间复杂度的概念

大O的渐进表示法

推导大O阶方法

常见时间复杂度计算举例  

三、空间复杂度

常见时间复杂度计算举例

一、算法效率

什么是算法

算法(Algorithm)：就是定义良好的计算过程，他取一个或一组的值为输入，并产生出一个或一组值作为输出。简单来说：算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化成输出结果。

如何衡量一个算法的好坏

下面求斐波那契数列的算法好还是不好，为什么？该如何衡量一个算法的好坏呢？ 

public static long Fib(int N){
if(N < 3){return 1;
}return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

算法效率

算法效率分析分为两种：第一种是时间效率，第二种是空间效率。

时间效率被称为时间复杂度，而空间效率被称作空间复杂度。

时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，而空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额外空间。

在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。 

二、时间复杂度

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个数学函数，它定量描述了该算法的运行时间。

那我们就在想：那程序运行，记为时间开始，程序结束，记为时间结束，两者相减不就好了嘛？

这样想是不对的。因为每台电脑的性能都是不一样的，处理程序的时间也会不一样，就比如：老的电脑可能慢一点，新电脑可能快一点

时间复杂度的概念

 所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。 

大O的渐进表示法

我们通过一段代码学习大O的渐进表示法： 

// 请计算一下func1基本操作执行了多少次？
void func1(int N){int count = 0;
//下面这个for循环执行了N^2次
for (int i = 0; i < N ; i++) {for (int j = 0; j < N ; j++) {count++;}
}
//下面这个for循环执行了2*N次
for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {count++;
}int M = 10;
//下面这个while循环执行了10次
while ((M--) > 0) {count++;
}System.out.println(count);
}

分析思路：

第一个for循环，它是双重循环，外圈从0开始，循环到N；内圈也从0开始，循环到N。所以循环了N*N=N^2次执行次数。

第二个for循环，他只有一层循环，按顺序的循环，从0开始，循环了2*N次执行次数。

第三个for循环，他M是10，M--到0结束，执行了10次执行次数。        

Func1 执行的基本操作次数 ：

F（N）=N^2+2*N+10 

  • N = 10 F(N) = 130
  • N = 100 F(N) = 10210
  • N = 1000 F(N) = 1002010 

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。 

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。 

所以对于上面那个代码，我们算出执行次数的函数表达式为：F（N）=N^2+2*N+10;

对于方法1：F（N）=N^2+2*N+1;

对于方法2：F（N）=N^2+1;

对于方法3：F（N）=N^2+1;

而1对于这个函数来说，可以忽略不记，所以最后时间复杂度就为：O（N^2）

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x。最好情况：1次找到，最坏情况：N次找到

平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N) 

常见时间复杂度计算举例  

【实例1】 

// 计算func2的时间复杂度？
void func2(int N) {int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {count++;
}int M = 10;
while ((M--) > 0) {count++;
}System.out.println(count);
}

所以对于上面那个代码，我们算出执行次数的函数表达式为：F（N）=2*N+10;

对于方法1：F（N）=2*N+1;

对于方法2：F（N）=2*N+1;

对于方法3：F（N）=N;

所以最后时间复杂度就为：O（N）;

【实例2】

// 计算func3的时间复杂度？
void func3(int N, int M) {int count = 0;
for (int k = 0; k < M; k++) {count++;
}
for (int k = 0; k < N ; k++) {count++;
}System.out.println(count);
}

所以对于上面那个代码，我们算出执行次数的函数表达式为：F（N）=M+N;

对于方法1：F（N）=M+N;

对于方法2：F（N）=M+N;

对于方法3：F（N）=M+N;

所以最后时间复杂度就为：O（M+N）;

【实例3】

// 计算func4的时间复杂度？
void func4(int N) {int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; k++) {count++;
}System.out.println(count);
}

所以对于上面那个代码，我们算出执行次数的函数表达式为：F（N）=100;

对于方法1：F（N）=1;

对于方法2：F（N）=1;

对于方法3：F（N）=1;

所以最后时间复杂度就为：O（1）;

【实例4】

// 计算bubbleSort的时间复杂度？
void bubbleSort(int[] array) {
for (int end = array.length; end > 0; end--) {boolean sorted = true;
for (int i = 1; i < end; i++) {
if (array[i - 1] > array[i]) {Swap(array, i - 1, i);sorted = false;
}
}
if (sorted == true) {break;
}
}
}

注意！这时候可能会陷入个误区： 两层循环不就是array.length^(array.length-1)吗？

但是你要想清楚，假设end=3，（注意看代码，end每次循环都会变化，下面的循环也会变化）

第一次：end=3，i=1；i++；i=2；（i<end：3）

第二次：end=2，i=1；（i<end：2）

循环结束。

所以：执行次数为n-1.....n-2......n-3......1这是个等差数列求和（Sn=n(a1+an)/2）；

所以F（N）=(N*(N-1))/2 = （N^2-N）/2

所以对于上面那个代码，我们算出执行次数的函数表达式为：F（N）=（N^2-N）/2

对于方法1：F（N）=(N^2-N)/2;

对于方法2：F（N）=(N^2)/2;

对于方法3：F（N）=N^2;

所以最后时间复杂度就为：O（N^2）;

【实例5】

/ 计算binarySearch的时间复杂度？
int binarySearch(int[] array, int value) {int begin = 0;int end = array.length - 1;
while (begin <= end) {int mid = begin + ((end-begin) / 2);
if (array[mid] < value)begin = mid + 1;
else if (array[mid] > value)end = mid - 1;
elsereturn mid;
}return -1;
}

 上面程序是二分查找，但是对于时间复杂度的求法有两点：

1.看代码

2.看思想

显然，直接看代码行不通，并不能很容易推断出他的执行次数的函数。所以我们看下图：

【实例6】

// 计算阶乘递归factorial的时间复杂度？
long factorial(int N) {return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N;
}

 递归的时间复杂度：递归的次数*每次递归后  代码执行的次数。

注意：只要不是循环等等，普通的代码语句都是O（1）；

上述代码也是需要看思想的，这个是递归代码，我们可以试试先带个简单的值，

比如：FIb（3）：

Fib（3）执行一次--》Fib (2) 执行一次--》FIb（1）执行一次。

所以是O（N）

【实例7】

// 计算斐波那契递归fibonacci的时间复杂度？
int fibonacci(int N) {return N < 2 ? N : fibonacci(N-1)+fibonacci(N-2);
}

递归的时间复杂度：递归的次数*每次递归后  代码执行的次数。

我们可以试试先把Fib（4）带入，得下图：

2^0+2^1+2^2+2^3+......+2^(N-1)   这是一个等比数列

等比数列公式为：Sn=a1 (1-q^n)/ (1-q)；

则算出数据为：O（2^N）

 

 

那又会有一个想法：右下角那部分不是空缺了吗？我们不是在完整的状况下求的空间复杂度吗？

答：空间复杂度我们一般都是求最坏的结果，所以即使多了一部分也无妨，反正求的是最坏的结果。 

三、空间复杂度

空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空 间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。 

常见时间复杂度计算举例

 【实例1】

// 计算bubbleSort的空间复杂度？
void bubbleSort(int[] array) {
for (int end = array.length; end > 0; end--) {boolean sorted = true;
for (int i = 1; i < end; i++) {
if (array[i - 1] > array[i]) {Swap(array, i - 1, i);sorted = false;
}
}
if (sorted == true) {break;
}
}
}

我们的变量只有：end，sorted，i 这三个额外的空间。

可能会有个想法：为什么int[ ] array不算呢？

答：作为参数、条件传入函数的都不算时间复杂度，因为不是临时占用的空间也不是额外占用的空间。

即使是经历了N次循环，但是要知道的是：空间是可以重复利用的。

比如：i被int出来，会进入局部域在这个栈帧里面创建一个，出了作用域（也就是括号）栈帧销毁，空间释放。下次再int的的i也是同一个空间，所以i只创建了一个变量。

只计算变量个数，不管变量类型，也不算空间具体的字节数。

所以上述代码空间复杂度为：O（3）

又根据大O渐进阶方法中：方法3：O(3)=O（1）

 【实例2】

// 计算fibonacci的空间复杂度？int[] fibonacci(int n) {long[] fibArray = new long[n + 1];fibArray[0] = 0;fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n ; i++) {fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
}return fibArray;
}

上述代码创建了 N+1 个大小的数组

而1可以直接省略，数值太小了忽略不计

所以空间复杂度为：O（N）

 【实例3】

// 计算阶乘递归Factorial的空间复杂度？
long factorial(int N) {return N < 2 ? N : factorial(N-1)*N;
}

假设：我们N为3，Fib（3）--》Fib（2）--》Fib（1）一共三次

我们函数在每次执行时，都会在栈上开辟一份临时的空间

所以空间复杂度为：O（N）

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