一、题目描述

给你两个单词 word1 和 word2， 请返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数  。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

• 插入一个字符
• 删除一个字符
• 替换一个字符

示例 1：

输入：word1 = "horse", word2 = "ros"
输出：3
解释：
horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')
rorse -> rose (删除 'r')
rose -> ros (删除 'e')

示例 2：

输入：word1 = "intention", word2 = "execution"
输出：5
解释：
intention -> inention (删除 't')
inention -> enention (将 'i' 替换为 'e')
enention -> exention (将 'n' 替换为 'x')
exention -> exection (将 'n' 替换为 'c')
exection -> execution (插入 'u')

提示：

• 0 <= word1.length, word2.length <= 500
• word1 和 word2 由小写英文字母组成

二、解题思路

定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示将 word1 的前 i 个字符转换为 word2 的前 j 个字符所需要的最少操作数。对于 dp 数组的每一个元素，我们可以根据以下情况来更新它的值：

1. 如果 word1[i] == word2[j]，则 dp[i][j] = dp[i-1][j-1]，因为当前字符匹配，所以不需要任何操作，直接继承前面的结果。

2. 如果 word1[i] != word2[j]，则 dp[i][j] 可以通过以下三种操作之一得到：

• 插入一个字符：dp[i][j] = dp[i][j-1] + 1，相当于将 word2[j] 插入到 word1 中。
• 删除一个字符：dp[i][j] = dp[i-1][j] + 1，相当于将 word1[i] 删除。
• 替换一个字符：dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1，相当于将 word1[i] 替换为 word2[j]。
• 在这三种操作中，我们选择操作数最少的一种。

初始化 dp 数组时，dp[0][j] 表示将一个空字符串转换为 word2 的前 j 个字符所需要的操作数，显然为 j；同理，dp[i][0] 表示将 word1 的前 i 个字符转换为空字符串所需要的操作数，显然为 i。

三、具体代码

class Solution {public int minDistance(String word1, String word2) {int m = word1.length();int n = word2.length();// dp[i][j] 表示将 word1 的前 i 个字符转换为 word2 的前 j 个字符所需要的最少操作数int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];// 初始化 dp 数组for (int i = 0; i <= m; i++) {dp[i][0] = i;}for (int j = 0; j <= n; j++) {dp[0][j] = j;}// 动态规划过程for (int i = 1; i <= m; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) {dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];} else {dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;}}}// 返回最终结果return dp[m][n];}
}

四、时间复杂度和空间复杂度

1. 时间复杂度

• 我们有一个双层循环，分别遍历字符串 word1 和 word2 的所有字符。
• 外层循环遍历 word1 的每个字符，共有 m 次迭代（其中 m 是 word1 的长度）。
• 内层循环遍历 word2 的每个字符，共有 n 次迭代（其中 n 是 word2 的长度）。
• 在循环的每次迭代中，我们执行的是常数时间的操作，即比较字符、更新动态规划数组。
• 因此，总的时间复杂度是 O(m * n)，即两个字符串长度的乘积。

2. 空间复杂度

• 我们定义了一个二维数组 dp，其大小为 (m + 1) * (n + 1)，其中 m 和 n 分别是字符串 word1 和 word2 的长度。
• 这个二维数组用于存储从 word1 的前 i 个字符转换到 word2 的前 j 个字符所需的最少操作数。
• 因此，空间复杂度也是 O(m * n)，即两个字符串长度的乘积。

五、总结知识点

1. 动态规划（Dynamic Programming, DP）:

• 动态规划是一种算法设计技术，用于求解具有重叠子问题和最优子结构特性的复杂问题。
• 它将问题分解为较小的子问题，并存储这些子问题的解，以避免重复计算。
• 在本问题中，dp[i][j] 表示将 word1 的前 i 个字符转换为 word2 的前 j 个字符所需要的最少操作数。

2. 二维数组:

• 二维数组是一种数据结构，用于存储多个相同类型的元素，这些元素以行和列的形式排列。
• 在本问题中，dp 是一个二维数组，用于存储不同子问题的解。

3. 字符串操作:

• charAt(int index) 方法用于获取字符串中指定索引处的字符。
• 在本问题中，使用 charAt(i - 1) 来获取 word1 和 word2 字符串中的字符，因为数组的索引从 0 开始，而 dp 数组的维度是从 1 开始的。

4. 数学函数:

• Math.min() 函数用于在多个值中选择最小值。
• 在本问题中，使用 Math.min(Math.min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) 来确定在当前字符不匹配时，进行插入、删除或替换操作中的最小操作数。

5. 循环结构:

• 使用了双层循环来遍历 word1 和 word2 的所有字符组合，以填充 dp 数组。

6. 边界条件处理:

• 使用了单独的循环来初始化 dp 数组的边界条件，即当其中一个字符串为空时，转换为另一个字符串所需的操作数。

7. 递推关系:

• 通过比较当前字符是否相等，定义了 dp 数组的递推关系，即如果字符相等，则操作数不变；如果字符不等，则取插入、删除、替换三种操作中的最小操作数加一。

以上就是解决这个问题的详细步骤，希望能够为各位提供启发和帮助。