题意

Description

有 $n$ 种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，每次只能买一张，并且 买到的邮票究竟是 $n$ 种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为 $\frac{1}{n}$。但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第k 张邮票需要支付 $k$ 元钱。现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。

Format

Input

一行,一个数字 $n$

Output

要付出多少钱. 保留二位小数

Samples

输入数据 1

3

输出数据 1

21.25

$1\le n\le 10^4$

思路

这一道题目堪称牛逼，需要数学功底。

设 $P(x,i)$ 表示买 $x$ 次能从 $i$ 种买到 $n$ 种的概率

设 $f_i$ 表示现在有 $i$ 张，买到 $n$ 张的期望。

那么有：
$$\begin{gathered} f_i=\sum _{x=0}^{\infty }x\times P(x,i) \\ \begin{array}{rl}& \iff f_i=\frac{n-i}{n}\times f_{i+1}+\frac{i}{n}\times f_i+1\\ & \iff n\times f_i=(n-i)\times f_{i+1}+i\times f_i+n\\ & \iff (n-i)\times f_i=(n-i)\times f_{i+1}+n\\ & \iff f_i=f_{i+1}+\frac{n}{n-i}.\end{array} \end{gathered}$$
显然 $f_n=0.$

考虑设 $g_{i,j}$ 表示有 $i$ 张，下一张是 $j$ 的期望。

显然：$g_{i,j}\to g_{i,j+1}$ 的概率为 $\frac{i}{n}$，$g_{i,j}\to g_{i+1,j+1}$ 的概率为 $\frac{n-i}{n}$，并且付出代价为 $j.$

显然有：
$$g_{i,j}=\frac{i}{n}\times g_{i,j+1}+\frac{n-i}{n}\times g_{i+1,j+1}+j$$
因为这是一个递推式，不妨考虑它的性质：
$$\begin{array}{rlrl}{g}_{i,j}& =& & \sum _{x=0}^{\infty }\left[j+(j+1)+\cdots +(x+j-1)\right]\times P(x,i)\\ & =& & \sum _{x=0}^{\infty }\frac{x\times (x+2\times j-1)}{2}\times P(x,i)\end{array}$$
考虑与 $g_{i,j+1}$ 发生联系，做差发现：
$$\begin{array}{r}{g}_{i,j+1}-g_{i,j}=\sum _{x=0}^{\infty }\frac{x\times (x+2\times j+1-x-2\times j+1)}{2}\times P(x,i)\\ =\sum _{x=0}^{\infty }\frac{x\times 2}{2}\times P(x,i)=f_i\\ \therefore g_{i,j}=g_{i,j+1}-f_i.\end{array}$$
化简该式子：
$$\begin{gathered} g_{i,j}=g_{i,j+1}\times \frac{i}{n}+g_{i+1,j+1}\times \frac{n-i}{n}+j \\ \begin{array}{rlr}& \iff & g_{i,j}=(g_{i,j}+f_i)\times \frac{i}{n}+(g_{i+1,j}+f_{i+1})\times \frac{n-i}{n}+j\\ & \iff & n\times g_{i,j}=i\times (g_{i,j}+f_i)+(g_{i+1,j}+f_{i+1})\times (n-i)+n\times j\\ & \iff & n\times g_{i,j}=i\times g_{i,j}+i\times f_i+n\times g_{i+1,j}-i\times g_{i+1,j}+n\times f_{i+1}-i\times f_{i+1}+n\times j\\ & \iff & (n-i)\times g_{i,j}=(n-i)\times g_{i+1,j}+i\times f_i+(n-i)\times f_{i+1}+n\times j\\ & \iff & g_{i,j}=g_{i+1,j}+f_{i+1}+\frac{i\times f_i+n\times j}{n-i}\\ & \iff & g_{i,j}=g_{i+1,j}+f_{i+1}+f_i\times \frac{i}{n-i}+\frac{n\times j}{n-i}\end{array} \end{gathered}$$
显然这里的 $j$ 对于转移是无用的，因为我们只需要知道 $j=1$ 的答案，所以说我们的转移如下：
$$g_i=g_{i+1}+f_{i+1}+f_i\times \frac{i}{n-i}+\frac{n}{n-i}$$
于是我们用 $O(n+n)$ 解决了这道题目。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#define N 10005
#define ld long double
using namespace std;
int n;
ld f[N],g[N];
int main(){cin >> n;for (int i = n - 1;i >= 0;i --) f[i] = f[i + 1] + 1.0 * n / (n - i);for (int i = n - 1;i >= 0;i --) g[i] = g[i + 1] + f[i + 1] + f[i] * 1.0 * i / (n - i) + 1.0 * n / (n - i);cout << fixed << setprecision(2) << g[0];return 0;
}