LeetCode 题目 118：杨辉三角

题目描述

给定一个非负整数 numRows，生成杨辉三角的前 numRows 行。在杨辉三角中，每个数是它左上方和右上方的数的和。

杨辉三角解析

在这个详解中，我们将使用 ASCII 图形来说明杨辉三角的构建过程，包括逐行添加新的行的过程。这个图解可以帮助理解每一行是如何基于前一行构建的。

杨辉三角的构建过程

初始状态

开始时，杨辉三角是空的。

第1行

添加第一行，只有一个数字 1。

第2行

第二行有两个 1，每个都位于行的边界。

1
1 1

第3行

第三行中间的数字是上一行两个相邻数字之和（1 + 1）。

  11 1
1 2 1

第4行

第四行，中间的两个数字分别是上一行相邻两数之和（1+2 和 2+1）。

    11 11 2 11 3 3 1

第5行

第五行，中间三个数字由上行相邻数字之和得到（1+3、3+3 和 3+1）。

      11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1

总结过程

杨辉三角的每一行都从 1 开始和结束。
除了第一个和最后一个数字外，每个数字都是它正上方两个数字的和。
第 n 行（从 1 开始计数）有 n 个数字。

解题思路与算法

方法一：逐行构建

解题步骤：

初始化一个空列表 triangle 作为结果。
遍历从 0 到 numRows-1 的每一行。
对于每一行，创建一个长度等于行号加一的新行，首尾元素设为1。
对于每一行的中间元素，按照杨辉三角的规则，由上一行的相邻两个元素求和得到。
将构建好的行添加到 triangle 中。

Python 代码示例

def generate(numRows):"""生成杨辉三角的前numRows行"""triangle = []for row_num in range(numRows):row = [None for _ in range(row_num + 1)]row[0], row[-1] = 1, 1  # 第一个和最后一个元素始终为1for j in range(1, len(row) - 1):row[j] = triangle[row_num - 1][j - 1] + triangle[row_num - 1][j]triangle.append(row)return triangle

方法二：一行代码解

解题步骤：

使用列表推导式和递推公式直接生成杨辉三角的每一行。
利用 Python 的生成器语法简化代码实现。

Python 代码示例

def generate(numRows):"""一行代码生成杨辉三角"""return [[1 if j == 0 or j == i else triangle[i-1][j-1] + triangle[i-1][j] for j in range(i+1)] for i in range(numRows)]

方法三：动态规划

解题步骤：

初始化一个空列表 triangle 。
从第一行到第 numRows 行，利用动态规划的思想，每一行基于前一行生成。
同样地，每行的首尾元素为1，其他元素由上一行的两个相邻元素相加得到。
每生成一行即存入 triangle。

Python 代码示例

def generate(numRows):triangle = []for row_num in range(numRows):row = [1] * (row_num + 1)  # 每行元素初始化为1for j in range(1, row_num):row[j] = triangle[-1][j - 1] + triangle[-1][j]triangle.append(row)return triangle

方法四：使用递归

解题步骤：

定义递归函数，如果请求行数为1，返回只包含一行的杨辉三角。
否则，递归调用自身生成前 numRows - 1 行，然后基于最后一行计算新的一行，并添加到结果中。

Python 代码示例

def generate(numRows):if numRows == 1:return [[1]]else:result = generate(numRows - 1)last_row = result[-1]new_row = [1]for i in range(1, len(last_row)):new_row.append(last_row[i - 1] + last_row[i])new_row.append(1)result.append(new_row)return result

方法五：迭代改进版

解题步骤：

初始化一个包含第一行的列表。
迭代从第二行开始，每一行都通过上一行来计算。
使用临时列表存储当前行，计算完成后加入最终结果。

Python 代码示例

def generate(numRows):triangle = [[1]]for row_number in range(1, numRows):prev_row = triangle[-1]current_row = [1]for j in range(1, row_number):current_row.append(prev_row[j-1] + prev_row[j])current_row.append(1)triangle.append(current_row)return triangle