相关主题： OpenGL 矩阵、四元数到矩阵、角度到轴、观察到轴

一、说明

解决三维坐标下的刚体旋转问题，欧拉角存在缺陷，当旋转点落在坐标轴上，旋转公式失灵。围绕任意轴旋转的点3d变换，正规公式是罗德里格斯矩阵。本篇专门介绍它的推导过程，而且提供C++的示例代码。

二、罗德里格斯公式的推导

2.1 空间点旋转问题

三维笛卡尔坐标下，我们设定任意向量OR为轴，空间任意点P，让P围绕OR做圆周运动，那么P在任意时刻的坐标是什么？我们用罗德里格斯公式可以方便实现，问题是罗德里格斯公式如何导出？这是我们本文的主题。

OpenGL中绕任意轴旋转的4x4变换矩阵定义为：

2.2 对旋转问题的分析

用于绕任意轴旋转的 4x4 矩阵

本页说明如何使用罗德里格斯公式导出此旋转矩阵。假设 3D空间点P围绕单位向量$\overrightarrow{r}=(x,y,z)$旋转$\theta$角到达Q点。

P 的向量形式分解为 $\overrightarrow{OR}$和 $\overrightarrow{RP}$和 的向量和，Q 分别为向量$\overrightarrow{OR}$和$\overrightarrow{RQ} 的和。
设向量 $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{OR}+\overrightarrow{RP}$ ,向量 $\overrightarrow{q}=\overrightarrow{OR}+\overrightarrow{RQ}$

因此，我们需要先求向量 $\overrightarrow{OR}$和向量 $\overrightarrow{RQ}$才能得到 Q。矢量向量$\overrightarrow{OR}$可以从 $\overrightarrow{r}$和$\overrightarrow{p}$向量中求出.并且向量RQ来自 Q 点所在的圆平面。向量$\overrightarrow{OR}$与单位向量$\overrightarrow{r}$平行，其长度可以通过投影使用内积来向量OR计算。所以，可以写成； $\overrightarrow{OR}=（\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{r})\overrightarrow{r}$

向量$\overrightarrow{RQ}$可以由旋转平面上的2个基本向量确定。我们使用矢量$\overrightarrow{RP}$作为第一个基向量，另一个基向量矢量$\overrightarrow{RS}$ 垂直于圆平面内矢量$\overrightarrow{RP}$且长度相等，因为它们都是圆平面的半径。因此，矢量$\overrightarrow{RS}$可以通过 2 个垂直向量的叉积来计算；矢量$\overrightarrow{r}$和矢量$\overrightarrow{RP}$;

现在，向量RQ用这些基向量和三角函数的组合来表示；

最后，旋转后向量向量$\overrightarrow{q}$ 由向量$\overrightarrow{OR}$和写成向量$\overrightarrow{RQ}$；

这个方程称为罗德里格斯旋转公式；

罗德里格斯旋转公式

三、罗德里格斯旋转公式矩阵表示：

It can be represented by an equivalent matrix form. First, convert vector OR and vector RS components to 3x3 matrix forms for P = (px, py, pz) and r = (x, y, z);

罗德里格斯旋转公式可以用矩阵表示，首先，将$\overrightarrow{OR}$
和$\overrightarrow{RS}$构成3x3矩阵形式，$\overrightarrow{P}=(p_x,p_y,p_z)$ P = (px, py, pz) 和 $r=(x,y,z)$;
可以用等价矩阵形式表示。首先，将向量或和矢量RS分量转换为 3x3 矩阵形式，其中 P = (p x , p y , p z ) 和 r = (x, y, z)；

也将罗德里格斯旋转公式写成矩阵方程：

旋转矩阵：

或者4x4矩阵：

四、最小C++代码

// minimal implementation of Vector3
struct Vector3
{float x, y, z;// ctorVector3() : x(0), y(0), z(0) {}// inner and cross productsfloat   dot(Vector3& v)   { return x*v.x + y*v.y + z*v.z; }Vector3 cross(Vector3& v) { return Vector3(y*v.z-z*v.y, z*v.x-x*v.z, x*v.y-y*v.x); }// scalar productfriend Vector3 operator*(float s, Vector3 v) { return Vector3(s*v.x, s*v.y, s*v.z); }Vector3& normalize() {float invLength = 1.0f / sqrtf(x*x + y*y + z*z);x *= invLength;y *= invLength;z *= invLength;return *this;}
}
...// define the rotation vector r and angle
Vector3 r = Vector3(1, 1, 1).normalize();   // make unit length
float a = 30 / 180 * PI;                    // rotation angle as radian// define a vector p to rotate
Vector3 p = Vector3(1, 2, 3);// compute the rotated vector q using Rodrigues' formula
Vector3 q = (1 - cos(a)) * p.dot(r) * r + cos(a) * p + sin(a) * r.cross(p);

五、结论

我们在这里介绍一个绕任意向量旋转的公式；还有一个有效方法是四元组旋转向量，它是任意球面上的两点，通过大圆旋转的问题。将在另一个文中介绍，请大家关注。