关于运算表的一些性质：
假设G是一个有限集合，o是定义在G上的映射，则
①群公理1成立＜＝＞运算表中所有元素都属于G；
②交换律成立＜＝＞运算表中的元素关于主对角线对称；
③群公理4(存在单位元)成立＜＝＞运算表中存在一行（或者一列）元素与顶行（或者左列）元素完全一致；
④群公理5(存在逆元)成立＜＝＞运算表的某个元素为单位元（单位元所在位置的行元素及列元素互为逆元）；
⑤群公理3’(适合消去律)成立＜＝＞运算表中每一行（列）中各元素互异。
定理21：设(G,o)是一个群，(G1,o1)是一个代数系统，若G∼G1(G与G1同态)，则(G1,o1)也是一个群。
证：①因为(G1,o1)是一个代数系统，因此o1是G1上的映射，即o1适合封闭性，因此满足群公理第一条；
②因为(G,o)是一个群，因此o适合结合律，又G∼G1，利用同态映射的性质（详见第04篇笔记）可知o1也适合结合律，因此也满足群公理的第二条；
③因为G∼G1，因此存在从G到G1的满同态映射f，假设e是群(G,o)的单位元，那么对于任意的a∈G，都有e o a = a，
因为f是满射，因此对于任意的b∈G1，都存在a∈G，使得f(a) = b，
根据同态映射的定义，f(e o a) = f(e) o1 f(a) = f(a)，
所以f(e)即是G1中的单位元，因此也满足了群公理的第四条；
④对于上式中的f(a)，因为a∈G，而(G,o)是一个群，因此存在a的逆元a1，
由③知f(e)是G1的单位元，根据同态映射的定义，我们可得：f(e) = f(a1 o a) = f(a1) o1 f(a)，
因此f(a1)是f(a)的逆元，因此也满足了群公理的第五条。
因此根据群的第二定义，G1关于o1做成群。
推论（定理22）：设f是从G到G1的同态映射，那么G的单位元e在f下的像f(e)是G1的单位元；且对任意的a∈G，a的逆元a1在f下的像f(a1)，是a在f下的像f(a)的逆元。
例：令G={0,1,2}，G上关于o的运算表为：
| o | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 |
| 1 | 1 | 2 | 0 |
| 2 | 2 | 0 | 1 |
证明G关于o作成一个有限交换群。
证：①先证是一个群——
(Z,+)表示整数加法群（可用群的第二定义证明，整数加法满足封闭性、适合结合律、单位元是0、逆元是每个元的相反数，因此(Z,+)是一个群），
定义f(x)：当x被3整除余数为0时，f(x) = 0；当x被3整除余数为1时，f(x) = 1；当x被3整除余数为2时，f(x) = 2。
则f为从Z到G的一个满射，下面证明它是一个同态映射：
（1）当x,y都是3的倍数时，x+y也是3的倍数，三者被3整除余数均为0，
所以f(x) = f(y) = f(x+y) = 0，由运算表知f(x) o f(y) = 0 o 0 = 0，
因此有f(x+y) = f(x) o f(y)；
（2）当x,y被3整除，余数均为1时，x+y被3整除，余数为2，此时f(x+y) = 2，f(x) = f(y) = 1，
由运算表知f(x) o f(y) = 1 o 1 = 2，因此也有f(x+y) = f(x) o f(y)；
（3）当x,y被3整除，余数均为2时，x+y被3整除，余数为1，此时f(x+y) = 1，f(x) = f(y) = 2，
由运算表知f(x) o f(y) = 2 o 2 = 1，因此也有f(x+y) = f(x) o f(y)；
……
（可以用同样的方法证明当x,y被3整除、余数不相等时的各种情况）
最终可得，不管x,y为任意的整数，都有f(x+y) = f(x) o f(y)，所以f是从Z到G的一个同态映射。
从而Z∼G，因此由定理21知，(G,o)也是一个群。
②再证这是一个交换群——
可以利用笔记开头列出的关于运算表的一些性质，从本题的运算表可以看出表中所有元素是关于主对角线对称的，因此根据开头运算表的第②条性质， 可知运算o适合交换律。
综上所述，(G,o)是一个交换群，又因G中元素是有限的，因此(G,o)是一个有限交换群。
注：定理21的逆定理不成立，也就是说“设(G,o)是一个代数系统，(G1,o1)是一个群，若G∼G1(G与G1同态)，则(G,o)也是一个群”这个命题不成立。
例：(2Z,×)是偶数乘法代数系统，({e},o)是单位元群，
令f为从2Z到{e}的映射，即任意a∈2Z，都有f(a) = e，显然f是一个满射，
其次，对任意的a,b∈2Z，都有f(a×b) = e，f(a) o f(b) = e o e = e，
即f(a×b) = f(a) o f(b)，因此f也是一个同态映射，所以f是从2Z到{e}的满同态映射，从而2Z∼{e}，
但是2Z中不存在单位元，也就是不存在e = 2k(k∈Z)∈2Z，使得对任意a∈2Z，都有e×a = a，
所以不满足群公理的第4条，因此(2Z,×)不是一个群。
补充：假设f是从G到G1的一个同态映射，对任意a∈G，f(a)∈G1是a在f下的像，那么a与f(a)的阶是不是一定相同？
若G≅G1(G同构于G1)，则一定有|a| = |f(a)|；
若G∼G1(G同态于G1)，则不一定|a| = |f(a)|。
（待续……）
