【数论分块】数论分块算法模板及真题

1.数论分块的含义

数论分块算法，就是枚举出使得取整函数发生变化的地方。
例如，对表达式 $\lfloor \frac{n}{i} \rfloor$ 使用数论分块算法，就可以在 $O(\sqrt n)$ 的时间复杂度下枚举所有满足 $\lfloor \frac{n}{i-1}\rfloor+1 = \lfloor \frac{n}{i} \rfloor$ 的 i 。

2.算法模板

long long r;
for(int l = 1; l <= n; l = r + 1)
{r = k/(k/l)；/*your code*/
}

变量 l 就是取整函数发生变化的位置，即满足 $\lfloor \frac{n}{l-1}\rfloor+1 = \lfloor \frac{n}{l} \rfloor$ (l = 1除外）的位置，变量 r 就是满足 $\lfloor \frac{n}{x}\rfloor = \lfloor \frac{n}{l} \rfloor$ 的所有x 中最大的一个。
直观上，该过程时间复杂度小于 $O (n)$ ，因为每次往后跳的长度大于1，
该算法的实际复杂度为 $O(\sqrt n)$ 。
正确性证明和时间复杂度证明，详见此处。写题不需要证明。

3.算法的优化点

将所有 $\lfloor \frac{n}{i} \rfloor$ 结果一样的 i 一并取出，使得时间复杂度降为 $O(\sqrt n)$ 。
涉及取整的地方均可能用到此算法，包括但不限于，整除(练习题1）、最大公因数(练习题3)、最小公倍数(练习题2)、取模(本文例题）。

4.例题

P2261 [CQOI2007] 余数求和

题目描述

给出正整数 $n$ 和 $k$ ，请计算

$\sum_{i = 1}^n k \bmod i$

其中 $k\bmod i$ 表示 $k$ 除以 $i$ 的余数。

输入格式

输入只有一行两个整数，分别表示 $n$ 和 $k$ 。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

10 5

输出 #1

说明/提示

样例 1 解释

$G (10, 5) = 0 + 1 + 2 + 1 + 0 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 29$ 。

数据规模与约定

对于 $30\%$ 的数据，保证 $\leq 10^3$ 。
对于 $60\%$ 的数据，保证 $\leq 10^6$ 。
对于 $100\%$ 的数据，保证 $\leq n, k \leq 10^9$ 。

解题思路

$\% b =a- \left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor *b$
求和时，前半部分和后半部分，分开处理。
数列 $a_i =i * \left \lfloor \frac{x}{i} \right \rfloor$ ，在 $\left \lfloor \frac{x}{i} \right \rfloor$ 为不变值的时候，是等差数列。

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long longusing namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
const int mod = 998244353;
void solve()
{int n,k;cin >> n >> k;long long ans = 0;ans += n*k;int r;for(int i = 1; i <= n; i = r + 1){if(k/i == 0) break;r = min(k/(k/i),n);ans -= (r-i+1)*(i+r)/2 *(k/i);}cout << ans << '\n';
}signed main()
{ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);int t = 1;//cin >> t;while(t --){solve();}
}