算法之贪心算法

贪心算法

贪心算法
- 核心思想
- 常见应用场景
- 典型案例
- - 案例一：找零问题
  - 案例二：活动选择问题
  - 案例三：货仓选址问题
- 贪心算法的应用详解
- - 霍夫曼编码
  - 最小生成树
  - Dijkstra最短路径算法
- 总结

贪心算法

核心思想

贪心算法（Greedy Algorithm）是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最优的选择，从而希望以这种方式能够达到全局最优解的一种算法思想。贪心算法并不总是能得到全局最优解，但在一些问题中，它能产生出足够好的解，而且相对简单高效。

贪心算法的基本思想是通过一系列局部最优的选择，希望最终达到全局最优。在每一步，贪心算法会选择当前状态下的最优解，而不考虑当前选择对以后的影响。这与动态规划的思想不同，动态规划考虑到每一步的选择对于整体解的影响，而做出相应的决策。

贪心算法通常适用于满足两个条件的问题：

最优子结构性质： 当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，称该问题具有最优子结构性质。
贪心选择性质： 通过局部最优选择，期望能够达到全局最优。

一旦一个问题可以通过贪心算法求解，那么贪心算法一般会比其他算法更加高效。然而，需要注意的是，并非所有问题都满足贪心选择性质和最优子结构性质。

常见应用场景

霍夫曼编码：用于数据压缩，为高频字符分配短编码、低频字符分配长编码，减少整体数据量。
活动选择问题：选择一组互不相容的活动，使得参与的活动数最大。
最小生成树：如Kruskal和Prim算法，用于在加权连通图中找到权值之和最小的生成树。
Dijkstra最短路径算法：求解单源最短路径问题，从起始点开始，每次遍历到距离最近且未访问过的顶点的邻接节点。
货仓选址问题：在一维数轴上为多个商店选择货仓位置，使得总距离最小。

在使用贪心算法时，必须确保贪心选择的局部最优解能够推导出全局最优解，否则可能得不到最优解。

典型案例

案例一：找零问题

问题描述：假设你是柜台售货员，需要给客户找零n元钱。你拥有无限数量的1元、2元、5元、10元、20元、50元面额的硬币/纸币。如何用最少数量的硬币/纸币来找零？

贪心策略：每次尽量用面额最大的硬币来找零。

示例：

假设要找零的金额为 n = 36 元。

可用的硬币面额为 1、2、5、10、20 和 50。

首先，找零最大的面额，即 50 元。但由于 50 元大于 36 元，所以不能使用。
接下来，尽量使用次大面额的硬币，即 20 元。36 元中能用一个 20 元，剩下 16 元。
然后使用次次大面额的硬币，即 10 元。16 元中能用一个 10 元，剩下 6 元。
继续使用 5 元的硬币，6 元中能用一张 5 元，剩下 1 元。
最后，用 1 元的硬币找零 1 元。

这样，用 20 元、10 元、5 元和 1 元的硬币一共找零 36 元，共需要 4 枚硬币，是最少数量的硬币。

在这个案例中，贪心算法的贪心策略是每次都选择当前情况下的最优解，即选择当前可用的最大面额的硬币。这种策略在这个特定问题中得到了最优解。但需要指出的是，对于不同的面额组合和要求找零的金额，贪心算法并不总是能够得到最优解。

代码实现：

#include <stdio.h>
void findChange(int amount) {int money[] = { 50, 20, 10, 5, 2, 1 };int num = sizeof(money) / sizeof(money[0]);printf("找零 %d :\n", amount);for (int i = 0; i < num; ++i) {int current = money[i];int numNotes = amount / current;if (numNotes > 0) {printf("%d 张 %d 块\n", numNotes, current);amount = amount % current;}}
}
int main() {int amount = 46;findChange(amount);return 0;
}

复杂度分析：

时间复杂度：O(1)，因为面额种类有限。
空间复杂度：O(1)。

注意：对于某些面额组合，贪心算法不一定能得到最优解。

案例二：活动选择问题

问题描述：有n个活动，每个活动有开始时间和结束时间，要求选择最多数量的互不重叠活动。

贪心策略：每次选择结束时间最早且不与已选活动冲突的活动。

伪代码：

1. 按活动结束时间从小到大排序
2. 依次选择与已选活动不冲突的下一个活动

代码实现：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>// 定义活动结构体，包含开始时间和结束时间
typedef struct {int start;  // 活动开始时间int end;    // 活动结束时间int index;  // 活动编号（可选，用于标识活动）
} Activity;// 比较函数，用于按活动结束时间排序
int cmp(const void *a, const void *b) {return ((Activity*)a)->end - ((Activity*)b)->end;
}// 贪心算法选择活动函数
void selectActivities(Activity acts[], int n) {// 按活动结束时间从小到大排序qsort(acts, n, sizeof(Activity), cmp);// 选择第一个活动（结束时间最早的活动）int count = 0;  // 记录选择的活动数量int lastEnd = -1;  // 上一个选择的活动的结束时间，初始为-1printf("选择的活动：\n");for (int i = 0; i < n; ++i) {// 如果当前活动的开始时间大于等于上一个选择的活动的结束时间，则选择该活动if (acts[i].start >= lastEnd) {count++;printf("活动%d: [%d, %d]\n", acts[i].index, acts[i].start, acts[i].end);lastEnd = acts[i].end;  // 更新最后选择的活动的结束时间}}printf("共选择了 %d 个活动\n", count);
}// 主函数，演示活动选择问题
int main() {// 示例活动集合，每个活动有开始时间、结束时间和编号Activity activities[] = {{1, 4, 1},   // 活动1：开始时间1，结束时间4{3, 5, 2},   // 活动2：开始时间3，结束时间5{0, 6, 3},   // 活动3：开始时间0，结束时间6{5, 7, 4},   // 活动4：开始时间5，结束时间7{3, 9, 5},   // 活动5：开始时间3，结束时间9{5, 9, 6},   // 活动6：开始时间5，结束时间9{6, 10, 7},  // 活动7：开始时间6，结束时间10{8, 11, 8},  // 活动8：开始时间8，结束时间11{8, 12, 9},  // 活动9：开始时间8，结束时间12{2, 14, 10}, // 活动10：开始时间2，结束时间14{12, 16, 11} // 活动11：开始时间12，结束时间16};int n = sizeof(activities) / sizeof(activities[0]);printf("共有 %d 个活动\n\n", n);// 调用贪心算法选择活动selectActivities(activities, n);return 0;
}

复杂度分析：

时间复杂度：O(nlogn)，主要是排序的时间复杂度。
空间复杂度：O(1)，除了存储活动的数组外，只需要常数级的额外空间。

贪心策略正确性证明：

活动选择问题的贪心策略是选择结束时间最早的活动，这一策略的正确性可以通过反证法证明：

假设最优解集合为S，包含k个活动，按结束时间排序后为{a₁, a₂, …, aₖ}。如果a₁不是所有活动中结束时间最早的活动，那么存在活动b，其结束时间早于a₁。

我们可以用b替换S中的a₁，得到新的解集合S’ = {b, a₂, …, aₖ}。由于b的结束时间早于a₁，b不会与a₂, …, aₖ冲突，因此S’也是一个可行解，且|S’| = |S|。这说明选择结束时间最早的活动不会导致最优解的丢失。

通过归纳法，可以证明每次选择当前结束时间最早的、与已选活动不冲突的活动，最终能得到最优解。

应用场景：

活动选择问题在实际中有广泛应用，例如：

会议室安排：在有限的会议室中安排尽可能多的会议
课程表设计：在固定教室中安排尽可能多的课程
任务调度：在单处理器上安排尽可能多的任务

案例三：货仓选址问题

问题描述：在一条数轴上有N家商店，它们的坐标分别为A1∼AN。现在需要在数轴上建立一家货仓，每天清晨，从货仓到每家商店都要运送一车商品。为了提高效率，求把货仓建在何处，可以使得货仓到每家商店的距离之和最小。

贪心策略：将货仓建在所有商店坐标的中位数位置。

代码实现：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>// 比较函数，用于排序
int compare(const void* a, const void* b) {return (*(int*)a - *(int*)b);
}// 计算距离之和的函数
int sum(int warehouse, int* shops, int n) {int totalDistance = 0;for (int i = 0; i < n; ++i) {totalDistance += abs(warehouse - shops[i]);}return totalDistance;
}// 找到货仓位置的函数
int find(int* shops, int n) {// 将商店坐标排序qsort(shops, n, sizeof(int), compare);// 中位数位置int warehousePosition = shops[n / 2];return warehousePosition;
}int main() {int n;printf("输入商店的数量：");scanf("%d", &n);int* shops = (int*)malloc(n * sizeof(int));printf("输入商店的坐标：");for (int i = 0; i < n; ++i) {scanf("%d", &shops[i]);}int pos = find(shops, n);int total = sum(pos, shops, n);printf("把货仓建在坐标 %d 处，使得货仓到每家商店的距离之和最小，为：%d\n", pos, total);free(shops);return 0;
}