python 归并排序（Merge Sort）

归并排序（Merge Sort）

归并排序是一种高效的排序算法，采用分治法（Divide and Conquer）策略。它的基本思想是：将数组递归地分成两半，分别对两半进行排序，然后将排序后的两半合并成一个有序数组。

归并排序的步骤：

分解：将数组递归地分成两半，直到每个子数组只有一个元素。
排序：对每个子数组进行排序（由于子数组只有一个元素，本身已经有序）。
合并：将两个有序的子数组合并成一个有序数组。

时间复杂度：

最坏情况：O(n log n)
最好情况：O(n log n)
平均情况：O(n log n)

空间复杂度：

O(n) —— 需要额外的空间来存储合并后的数组。

Python 实现

def merge_sort(arr):if len(arr) <= 1:return arr# 将数组分成两半mid = len(arr) // 2left_half = merge_sort(arr[:mid])  # 递归排序左半部分right_half = merge_sort(arr[mid:])  # 递归排序右半部分# 合并两个有序数组return merge(left_half, right_half)def merge(left, right):sorted_array = []i = j = 0# 比较两个数组的元素，依次将较小的元素加入结果数组while i < len(left) and j < len(right):if left[i] < right[j]:sorted_array.append(left[i])i += 1else:sorted_array.append(right[j])j += 1# 将剩余的元素加入结果数组sorted_array.extend(left[i:])sorted_array.extend(right[j:])return sorted_array# 示例使用
arr = [38, 27, 43, 3, 9, 82, 10]
sorted_arr = merge_sort(arr)
print("排序后的数组:", sorted_arr)

输出结果

排序后的数组: [3, 9, 10, 27, 38, 43, 82]

归并排序的详细过程

以数组 [38, 27, 43, 3, 9, 82, 10] 为例：

分解：
- 将数组分成 [38, 27, 43, 3] 和 [9, 82, 10]。
- 继续分解：
  - [38, 27, 43, 3] 分成 [38, 27] 和 [43, 3]。
  - [9, 82, 10] 分成 [9] 和 [82, 10]。
- 继续分解：
  - [38, 27] 分成 [38] 和 [27]。
  - [43, 3] 分成 [43] 和 [3]。
  - [82, 10] 分成 [82] 和 [10]。
排序：
- 每个子数组只有一个元素，本身已经有序。
合并：
- 合并 [38] 和 [27] 得到 [27, 38]。
- 合并 [43] 和 [3] 得到 [3, 43]。
- 合并 [27, 38] 和 [3, 43] 得到 [3, 27, 38, 43]。
- 合并 [9] 和 [10, 82] 得到 [9, 10, 82]。
- 合并 [3, 27, 38, 43] 和 [9, 10, 82] 得到 [3, 9, 10, 27, 38, 43, 82]。

归并排序的优缺点

优点：

时间复杂度稳定为 O(n log n)，性能优异。
是稳定的排序算法（相同元素的相对位置不变）。
适用于链表等非连续存储结构。

缺点：

需要额外的存储空间，空间复杂度为 O(n)。
对于小规模数据，性能可能不如插入排序等简单算法。

归并排序的适用场景

需要稳定排序的场景。
数据规模较大。
适用于链表等非连续存储结构。

优化归并排序

小数组使用插入排序：
- 当数组规模较小时，插入排序的效率更高。
原地归并排序：
- 通过复杂的实现，可以减少额外的存储空间，但会增加代码复杂度。

优化后的归并排序实现

def merge_sort_optimized(arr):if len(arr) <= 10:  # 小数组使用插入排序return insertion_sort(arr)mid = len(arr) // 2left_half = merge_sort_optimized(arr[:mid])right_half = merge_sort_optimized(arr[mid:])return merge(left_half, right_half)def insertion_sort(arr):for i in range(1, len(arr)):key = arr[i]j = i - 1while j >= 0 and arr[j] > key:arr[j + 1] = arr[j]j -= 1arr[j + 1] = keyreturn arr# 示例使用
arr = [38, 27, 43, 3, 9, 82, 10]
sorted_arr = merge_sort_optimized(arr)
print("优化后的排序数组:", sorted_arr)