内容来源

常微分方程(第四版) (王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松) 高等教育出版社

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考虑二阶齐次线性微分方程

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+p(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+q(x)y=0$$

满足初值条件 $y(x_0)=y_0,y^{\prime }(x_0)=y_0^{\prime }$ 的情况

不失一般性，设 $x_0=0$，否则设 $t=x-x_0$，经此变换后，方程形式不变。

定理

若上式中的系数 $p(x)$ 和 $q(x)$ 都能展开成 $x$ 的幂级数，且收敛区间为 $|x|<R$，则方程有形如

$$y=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$$

的特解，也以 $|x|<R$ 为收敛区间。

例1

$$y^{\prime \prime }-xy=0$$

设通解为

$$y=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n+\cdots$$

求导两次得

$$y^{\prime \prime }=2\cdot 1a_2+3\cdot 2a_{3}x+\cdots +n(n-1)a_n{x}^{n-2}+\cdots$$

将 $y,y^{\prime \prime }$ 代入方程，比较同次幂的系数得

$$a_2=0,n(n-1)a_n-a_{n-3}=0$$

所以

$$\begin{array}{rl}& a_{3k}=\frac{a_0}{{\prod }_{i=1}^{k}3i(3i-1)}\\ & a_{3k+1}=\frac{a_1}{{\prod }_{i=1}^{k}3i(3i+1)}\\ & a_{3k+2}=0\end{array}$$

其中 $a_0,a_1$ 是任意的，因而

$$y=a_0\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }\frac{x^{3k}}{{\prod }_{i=1}^{k}3i(3i-1)}\right]+a_1\left[x+\sum _{k=1}^{\infty }\frac{x^{3k+1}}{{\prod }_{i=1}^{k}3i(3i+1)}\right]$$

例2

$$y^{\prime \prime }-2x{y}^{\prime }-4y=0$$

初值条件 $y(0)=0,y^{\prime }(0)=1$

还是设通解形式为

$$y=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n+\cdots$$

由初值条件可得

$$a_0=0,a_1=1$$

所以

$$\begin{array}{rl}& y=x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n+\cdots \\ & y^{\prime }=1+2a_{2}x+\cdots +n{a}_n{x}^{n-1}+\cdots \\ & y^{\prime \prime }=2a_2+3\cdot 2a_{3}x+\cdots +n(n-1)a_n{x}^{n-2}+\cdots \end{array}$$

代入方程，比较同次幂的系数得

$$a_n=\frac{2}{n-1}{a}_{n-2}$$

所以

$$a_{2k+1}=\frac{1}{k!},a_{2k}=0$$

$$y=x+x^3+\frac{x^5}{2!}+\cdots +\frac{x^{2k+1}}{k!}+\cdots =x{e}^{x^2}$$