手搓人工智能—聚类分析（下）谱系聚类与K-mean聚类

“无论结果如何，至少我们存在过”

——《无人深空》

前言

除了上一篇手搓人工智能-聚类分析（上）中提到的两种简单聚类方式，还有一些更为常用、更复杂的聚类方式：谱系聚类，K-均值聚类。

谱系聚类

谱系聚类又被称为是系统聚类，层次聚类，它的思想主要来源于社会科学和生物分类学，目标不仅是要产生样本的不同聚类，而且要生成一个完整的样本分类谱系。

谱系聚类合并算法

先给出一般谱系聚类算法：

初始化：每个样本作为一个单独的聚类， $C_i = \{x_i\},i=1,...,n$
循环，直到所有样本属于一个聚类为止：
寻找当前聚类中最相近的两个聚类： $d(C_i,C_j)=\underset{r,s}{min} \ d(C_i,C_j)$
删除聚类 $C_i$ 和 $C_j$ ，增加新的聚类 $C_q = C_i \bigcup C_j$
输出：样本的合并过程，形成层次化谱系

但是，对于一个聚类问题来说，将所有样本合并为一个聚类的结果显然是毫无意义的。我们可以设置一个终止条件，当满足该条件时，输出当前的聚类。常用的终止条件包括

预定类别数：预先设定一个目标聚类数，当合并过程中剩余的聚类数量达到预定的目标聚类数时，停止合并。
距离阈值：预先设定一个距离阈值，当最近的两个聚类之间的距离大于阈值时，停止合并过程，输出当前的聚类。
“最优”聚类数：在合并过程中按照某种准则判断当前的聚类结果是否达到“最优”的聚类数，以“最优”聚类数作为终止合并的条件。依据什么样的准则确定一个给定样本集的“最优”聚类是大多聚类分析方法需要面对的问题。根据样本间距离准则，有
最大距离法：以两个聚类 $C_i$ 和 $C_j$ 中相距最远的两个样本间距离度量聚类之间的相似程度 $d(C_i,C_j)=\underset{x \in C_i,y \in C_j}{max} d(x,y)$
最小距离法：以两个聚类 $C_i$ 和 $C_j$ 中相距最近的两个样本间距离度量聚类之间的相似程度 $d(C_i,C_j)=\underset{x \in C_i,y \in C_j}{min} d(x,y)$
平均距离法：计算两个集合中任意一对样本的距离，以所有的距离平均值来度量集合之间的相似程度 $d(C_i,C_j)=\frac{1}{n_in_j}\sum_{x\in C_i,y\in C_j} d(x,y)$
平均样本法：以两类样本均值之间的距离度量集合之间的相似程度 $d(C_i,C_j)=d(m_i,m_j)$

算法在第 K 轮合并之前需要计算 $n-k+1$ 个聚类之间的距离，生成整个谱系需要 $n$ 轮合并，因此总的距离计算次数是：

$\sum_{k=1}^{n}\binom{n-k+1}{2}=\sum_{k=1}^{n}\frac{(n-k+1)(n-k)}{2}=\frac{n^3}{6}-\frac{n}{6}$

在具体实现过程中，可以利用距离矩阵 $D$ 来记录当前各个聚类之间的距离，通过寻找其中的最小元素来确定下一步进行合并的两个聚类；合并聚类后更新距离矩阵 $D$ ，根据所用不同距离度量方式计算新生成聚类与其他聚类之间的距离

优化后的算法流程如下：

初始化：每个样本作为一个单独的聚类， $C_i={x_i},i=1,2,\cdots,n$ ，每个聚类的样本数： $n_i=1$ ，计算每个样本间的距离，构成距离矩阵 $D=(D_{ij}=d(x_i,x_j))_{n*n}$ ，聚类数 $l=n$
循环，直到满足聚类的终止条件为止：
寻找距离矩阵 $D$ 中上三角矩阵元素的最小值 $D_{ij}$
删除聚类 $C_i,C_j$ ，增加新的聚类 $C_q=C_i \bigcup C_j,n_q=n_i+n_j,l=l-1$
更新距离矩阵
输出：聚类 $\{C_1,\cdots,C_l\}$ ，聚类数 $l$

示例代码（C++）

采用距离度量为欧式距离，取最小距离

void Clustering::Lineageclustering(std::vector<std::vector<double>> sample, double theta, const char* type, int p)
{Distance distance;std::vector<std::vector<double>> Distancemartix;std::vector<std::vector<double>> centers;//初始化for (int i = 0; i < sample.size(); i++) {clusters.push_back(std::vector<std::vector<double>>());clusters[i].push_back(sample[i]);}Distancemartix = distance.DistanceMartix(sample, type, -1);//遍历每个样本double min = 0;while (min < theta) {//更新聚类中心for (int m = 0; m < clusters.size(); m++) {centers.push_back(GetCenter(clusters[m]));}//找到最近的两个聚类，并合并聚类min = DBL_MAX;int select_index1 = 0;int select_index2 = 0;for (int i = 0; i < centers.size(); i++) {for (int j = i; j < centers.size(); j++) {if (i == j) continue;min = (min < distance.SelectDistance(centers[i], centers[j], type, p)) ? min : distance.SelectDistance(centers[i], centers[j], type, p);select_index1 = (min < distance.SelectDistance(centers[i], centers[j], type, p)) ? select_index1 : i;select_index2 = (min < distance.SelectDistance(centers[i], centers[j], type, p)) ? select_index2 : j;}}for (int i = 0; i < clusters[select_index2].size(); i++) {clusters[select_index1].push_back(clusters[select_index2][i]);}clusters.erase(clusters.begin() + select_index2);if (centers.size() < 2) {break;}}
}

输入测试样本 ,阈值设为2

data = { {1, 1}, {1, 3}, {3, 5}, {3, 3}, {3, 7}, {3, 9} };

分类结果

Cluster 0: (1, 1)
Cluster 1: (1, 3)
Cluster 2: (3, 5)
Cluster 3: (3, 3)
Cluster 4: (3, 7) (3, 9)

K-mean 聚类

K-均值算法的想法最早由 Hugo Steinhaus 于 1957 年提出，Stuart Lloyd 于 1957 年在 Bell 实验室给出了标准K-均值聚类算法。由于算法实现简单，计算复杂度和存储复杂度低，对很多简单的聚类问题可以得到令人满意的结果，K-均值算法已经成为最著名和常用的聚类算法之一

K-mean 算法的目标是将 $n$ 个样本依据最小化类内距离的准则分到 K 个聚类之中

$\underset{C_1,\cdots,C_K}{min}J_w(C_1,\cdots,C_K)=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{K}\sum_{x\in C_j} ||x-m_j||^2$

$m_j=\frac{1}{n_j}\sum_{x \in C_j}x$

直接对上述类内距离准则优化存在一定困难，不妨换一个思路：

首先假设每个聚类的均值 $m_1,\cdots,m_K$ 是固定已知的，那么这个优化问题就很容易求解了

现在这个问题变成了：

每一个样本 $x$ 选择加入一个聚类 $C_j$ ，使得类内距离准则最小

很显然，如果 $j=\underset{1\leq i \leq K}{argmin} \ ||x-m_i||^2$ ，应该将样本 $x$ 放入聚类 $C_j$ ，这样可以使得 $J_w$ 最小。

然而，已知每个聚类的均值 $m_1,\cdots,m_K$ 的假设是不成立的，因为在知道每个聚类包含哪个样本之前是无法求得样本均值的，聚类的均值只能根据这个聚类中所有样本求得。

K-均值的思想是首先对每类均值做出假设 $m_1,\cdots,m_k$ ，得到对聚类结果的猜想 $C_1,\cdots,C_K$ ，将样本分类后更新均值，得到一个迭代的过程

$m_1,\cdots,m_K\rightarrow C_1,\cdots,C_K\rightarrow m_1,\cdots,m_K\rightarrow \cdots$

经过多轮迭代，分类结果不再发生变化，可以认为算法收敛到了一个对 $J_w$ 的优化结果

K-mean 聚类算法

K-mean算法流程

初始化：随机选择K个聚类均值 $m_j,j=1,\cdots,K$
循环，直到K个均值不在变化为止
$C_j=\varnothing ,j=1,\cdots,K$
for i = 1 to n
$k=\underset{1\leq j\leq K}{argmin}\ ||x_i-m_j||,C_k=C_k\bigcup\{x_i\}$
更新 K 个聚类的均值：
$m_j=\frac{1}{n_j}\sum_{x\in C_j},j=1,\cdots,K$
输出：聚类 $\{C_1,\cdots,C_K\}$

示例代码（C++）

struct Point {std::vector<double> coordinates;
};// 计算两个数据点之间的欧氏距离
double distance(const Point& p1, const Point& p2) {double sum = 0.0;for (size_t i = 0; i < p1.coordinates.size(); ++i) {sum += std::pow(p1.coordinates[i] - p2.coordinates[i], 2);}return std::sqrt(sum);
}// K-means聚类算法
std::vector<int> kMeans(const std::vector<Point>& data, int k, int maxIterations) {std::vector<int> labels(data.size(), 0); // 存储每个数据点的簇标签std::vector<Point> centroids(k); // 存储簇中心// 随机初始化簇中心std::srand(std::time(0));for (int i = 0; i < k; ++i) {int randomIndex = std::rand() % data.size();centroids[i] = data[randomIndex];}for (int iteration = 0; iteration < maxIterations; ++iteration) {// 分配数据点到最近的簇中心for (size_t i = 0; i < data.size(); ++i) {double minDist = std::numeric_limits<double>::max();int closestCentroid = 0;for (int j = 0; j < k; ++j) {double dist = distance(data[i], centroids[j]);if (dist < minDist) {minDist = dist;closestCentroid = j;}}labels[i] = closestCentroid;}// 更新簇中心std::vector<int> count(k, 0);std::vector<Point> newCentroids(k, {std::vector<double>(data[0].coordinates.size(), 0.0)});for (size_t i = 0; i < data.size(); ++i) {int clusterIndex = labels[i];count[clusterIndex]++;for (size_t j = 0; j < data[i].coordinates.size(); ++j) {newCentroids[clusterIndex].coordinates[j] += data[i].coordinates[j];}}for (int i = 0; i < k; ++i) {for (size_t j = 0; j < data[0].coordinates.size(); ++j) {centroids[i].coordinates[j] = newCentroids[i].coordinates[j] / count[i];}}}return labels;
}

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