航天器轨道力学基础：讲义与笔记（上）

第一章 轨道力学概述

1.1 轨道力学的基本概念

1.1.1 轨道定义

• 轨道的本质：轨道是航天器在引力场的作用下，绕行中心天体按特定规律运动所形成的路径。根据牛顿的万有引力定律和开普勒的运动定律，轨道可以分为椭圆、抛物线和双曲线等几种基本形态。椭圆轨道是最常见的封闭轨道，其轨道方程为：

  $$r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos \theta }$$

  其中，$r$为航天器到中心天体的距离，$a$为轨道半长轴，$e$为偏心率，$\theta$为真近点角。

• 轨道与运动状态：轨道的形状和位置不仅由初始条件决定，还与航天器的速度和加速度密切相关。根据开普勒第二定律，航天器在轨道上运动时，与中心天体连线在单位时间内扫过的面积保持恒定，这意味着航天器在近地点运动较快，远地点运动较慢。运动状态的变化可以通过以下微分方程描述：

  $$\frac{d^2\vec{r}}{d{t}^2}=-\frac{GM}{r^3}\vec{r}$$

  其中，$G$为引力常数，$M$为中心天体的质量，$\vec{r}$为位置向量。

1.1.2 轨道要素

• 半长轴 ($a$)：半长轴是椭圆轨道的一个基本参数，表示轨道椭圆长轴的一半。半长轴决定了轨道的平均距离和轨道周期，根据开普勒第三定律，轨道周期$T$与半长轴的关系为：

  $$T^2=\frac{4{\pi }^2{a}^3}{GM}$$

• 偏心率 ($e$)：偏心率描述轨道的离心程度，$0\le e<1$表示椭圆轨道，$e=0$为圆轨道。偏心率越大，轨道越扁长，影响航天器在轨道上的速度分布和能量需求。偏心率的表达式为：

  $$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$$

  其中，$b$为轨道的半短轴。

• 倾角 ($i$)：倾角是轨道平面与参考平面（通常为地球赤道平面）之间的夹角，决定了轨道在空间中的倾斜程度。倾角的选择影响卫星覆盖的地理区域及其应用场景，如极轨卫星通常具有较大的倾角，适用于全球覆盖的观测任务。

• 升交点赤经 ($\Omega$)：升交点赤经是轨道平面与参考平面交线相对于参考方向的角度，确定了轨道在空间中的方向。升交点赤经的变化会导致轨道面在空间中的旋转，影响卫星的地面覆盖路径。

• 近地点幅角 ($\omega$)：近地点幅角是在轨道平面内，从升交点到近地点的角度，描述了近地点在轨道平面内的位置。近地点幅角的调整可以改变卫星在轨道上的具体位置分布。

• 真近点角 ($\theta$)：真近点角是航天器在轨道上实际位置的角度，是描述航天器在任意时刻位置的重要参数。通过真近点角，可以确定航天器在轨道上的即时位置和运动状态。

1.1.3 轨道分类

• 近地轨道（LEO）：近地轨道的高度范围通常在地球表面以上2000公里内。LEO轨道的特点是轨道周期较短（约1.5至2小时），适用于低地球观测卫星、通信卫星和国际空间站等。由于大气阻力的存在，LEO轨道上的卫星需要定期进行轨道维护以维持其运行状态。

• 中地轨道（MEO）：中地轨道的高度范围介于2000公里至35786公里之间，典型应用包括卫星导航系统如GPS、GLONASS和北斗等。MEO轨道的轨道周期较长（约12小时），能够提供较广的覆盖范围和较高的定位精度。

• 地球同步轨道（GEO）：地球同步轨道的高度约为35786公里，轨道周期与地球自转周期相同，使得卫星在该轨道上相对于地球保持静止。GEO轨道适用于通信卫星、气象卫星和广播卫星等，其优势在于覆盖范围广，但因高度较高，信号传输延迟较大，且发射能量需求较高。

• 深空轨道：深空轨道指的是脱离地球引力体系的轨道，例如太阳轨道、月球轨道、火星轨道等。深空轨道的设计和维护需要考虑行星间引力的影响、轨道转移的能量需求以及航天器的长期运行稳定性，广泛应用于深空探测器、行星巡视器和星际航行器等。

1.2 历史发展

1.2.1 早期的轨道研究

在轨道力学的早期发展阶段，两位伟大的科学家——约翰内斯·开普勒和艾萨克·牛顿，为这一学科奠定了坚实的基础。他们的理论不仅改变了人类对宇宙的认识，也为后来的航天探索提供了理论支持。

1.2.1.1 开普勒三大定律

约翰内斯·开普勒通过对天体运动的详细观测，提出了著名的开普勒三大定律，这些定律是轨道力学的基石。

• 第一定律（椭圆定律）：所有行星绕太阳的轨道都是椭圆形的，太阳位于椭圆的一个焦点上。这一发现颠覆了当时的圆形轨道理论，为理解天体运动提供了新的视角。

  $$r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos \theta }$$

  其中，$r$表示行星到太阳的距离，$a$为椭圆的半长轴，$e$为偏心率，$\theta$为真近点角。通过这一公式，可以精确描述行星在不同位置的距离变化。

• 第二定律（面积定律）：行星在轨道上运动时，与太阳连线在单位时间内扫过的面积保持恒定。这意味着行星在靠近太阳的近地点运动速度较快，远离太阳的远地点运动速度较慢。

  这个定律反映了天体运动中的动量守恒，是后续动力学分析的重要依据。

• 第三定律（周期定律）：行星轨道周期的平方与轨道半长轴的立方成正比，即：

  $$T^2\propto a^3$$

  其中，$T$为轨道周期，$a$为轨道的半长轴。这一关系揭示了不同轨道之间深刻的数学联系，为后续天体间引力的研究提供了关键线索。

1.2.1.2 牛顿万有引力定律

艾萨克·牛顿在开普勒定律的基础上，提出了著名的万有引力定律，进一步深化了对天体运动的理解。

• 引力公式：牛顿的万有引力定律表述为：

  $$F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$$

  其中，$F$为两物体之间的引力，$G$为引力常数，$m_1$和$m_2$分别为两物体的质量，$r$为它们之间的距离。通过这一公式，牛顿成功解释了行星运动的原因，为经典力学的发展奠定了基石。

• 应用实例：万有引力定律不仅适用于行星运动，还广泛应用于各种天体运动的分析。例如，通过该定律，可以计算卫星绕地球运行的轨道参数，以及预测彗星的运动轨迹。这一理论的提出，使得人类能够更准确地预测天体的位置，为后来的航天探索提供了可靠的理论支持。

1.2.2 现代轨道力学的发展

进入20世纪，随着科学技术的进步和人类探索宇宙的步伐加快，轨道力学得到了迅猛的发展。现代轨道力学不仅在理论上取得了重大突破，还在实践中得到了广泛应用。

• 20世纪初的进展：20世纪初，轨道力学研究取得了诸多重要成果。科学家们不仅完善了牛顿的理论，还发展了更多复杂的轨道计算方法。例如，利用拉普拉斯变换和拉格朗日函数，科学家们能够更精确地描述多体系统中的轨道运动。

• 空间任务的推动：20世纪中叶，随着人类开展首次太空飞行和登月任务，轨道力学的重要性日益凸显。各国纷纷投入资源进行轨道计算和航天器设计，推动了轨道力学的理论和应用研究不断深入。例如，苏联的“斯普特尼克”卫星和美国的“阿波罗”计划，都依赖于精确的轨道力学计算来保证任务的成功。

1.2.2.1 重要研究成果

现代轨道力学的发展离不开一系列重要的研究成果，这些成果丰富了我们对天体运动的理解，并为实际应用提供了有力支持。

• 拉普拉斯与拉格朗日：皮埃尔-西蒙·拉普拉斯和约瑟夫-路易·拉格朗日在轨道力学中做出了卓越贡献。拉普拉斯通过发展拉普拉斯-拉格朗日稳态理论，深入研究了行星轨道的长期稳定性；拉格朗日则提出了拉格朗日点，明确了五个在轨道中具有特殊稳定性的点，为卫星部署和空间站设计提供了理论依据。

• 高斯的轨道确定方法：卡尔·弗里德里希·高斯发展了一种精确的轨道确定方法，利用少量的观测数据（如天文测量或雷达观测）来计算天体的轨道参数。这一方法通过解轨道方程组，结合牛顿的引力定律，有效地提高了轨道计算的准确性和效率。

1.2.2.2 空间任务实例

实际空间任务的开展，推动了轨道力学理论的发展，同时也验证和完善了现有的理论。

• 阿波罗计划：美国的阿波罗计划不仅实现了人类首次登月的壮举，也对轨道力学的研究提出了更高的要求。精确的轨道计算和转移轨道设计，使得宇航员能够安全高效地从地球轨道往返月球。这些任务中所采用的轨道转移方法，如霍曼转移轨道，成为后续空间任务的重要参考。

• 国际空间站（ISS）：国际空间站的轨道设计复杂且精确，涉及多国的合作与协调。轨道力学在设计ISS的轨道高度、倾角以及轨道稳定性方面发挥了关键作用。通过定期的轨道维护和调整，ISS得以在低地球轨道上长期稳定运行，成为轨道力学理论与实践相结合的典范。

1.3 轨道力学在航天中的应用

1.3.1 卫星发射与部署

卫星发射与部署是轨道力学在航天工程中最为关键的应用之一。成功的卫星发射不仅依赖于精确的轨道设计，还需综合考虑多种因素以确保卫星能够准确、稳定地进入预定轨道。

• 发射窗口选择：选择合适的发射窗口是确保卫星顺利进入预定轨道的基础。发射窗口的确定需要考虑地球自转、目标轨道的几何配置以及发射场的位置。例如，对于地球同步轨道卫星，发射窗口需要与地球自转同步，以便卫星能够在赤道上空进入轨道。数学上，可以通过计算发射时刻的地面速度与目标轨道速度的匹配来确定最佳发射时间：

  $$v_{\text{地面}}={\omega }_{\text{地球}}{R}_{\text{地球}}\cos (\delta )$$

  其中，${\omega }_{\text{地球}}$为地球自转角速度，$R_{\text{地球}}$为地球半径，$\delta$为发射场纬度。

• 轨道插入技术：卫星从发射到进入预定轨道的过程涉及复杂的轨道插入操作。轨道插入通常包括初始的变轨燃烧和随后的轨道修正。具体而言，火箭通过分段点火，为卫星提供必要的速度增量$\Delta v$，使其脱离抛物线轨道并进入椭圆轨道。轨道插入的精确计算基于开普勒轨道定律和能量守恒方程：

  $$\Delta v=\sqrt{\frac{2GM}{r}}-\sqrt{\frac{GM}{a}}$$

  其中，$G$为引力常数，$M$为地球质量，$r$为轨道半径，$a$为轨道半长轴。

• 部署策略：对于多颗卫星的部署，合理的部署策略尤为重要，以避免轨道碰撞和相互干扰。常见的部署策略包括线性部署、环形编队部署和螺旋部署。例如，在环形编队部署中，卫星沿着相同轨道，但相距一定角度分布，以形成稳定的编队。编队的稳定性可通过以下公式评估：

  $$\Delta \theta =\frac{\Delta v}{v_{\text{轨道}}}$$

  其中，$\Delta \theta$为角间距调整量，$v_{\text{轨道}}$为轨道速度。

1.3.2 航天器导航与控制

航天器的导航与控制系统是确保其按照预定轨道运行的核心组成部分。通过精确的轨道确定与修正，航天器能够实时调整姿态和轨道参数，以应对外部扰动和任务需求。

• 轨道确定与修正：轨道确定依赖于观测数据，如天文测量、雷达测距和卫星自身的导航系统。通过过程滤波算法，如卡尔曼滤波，航天器能够从噪声数据中提取精确的轨道参数。一旦轨道偏离预定轨道，轨道修正便通过推进系统实施，其所需的速度变化量$\Delta v$可通过下式计算：

  $$\Delta v=\sqrt{GM\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)}-v$$

  其中，$a$为新的轨道半长轴，$v$为当前轨道速度。

• 姿态控制系统：姿态控制系统负责维持航天器的方向和姿态稳定。系统通常由反作用轮、陀螺仪和推进器组成。姿态控制的基本原理基于角动量守恒，其控制方程为：

  $$\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{\tau }$$

  其中，$\vec{L}$为航天器的角动量，$\vec{\tau }$为外部施加的力矩。

• 导航算法：导航算法如卡尔曼滤波、扩展卡尔曼滤波和粒子滤波等，广泛应用于航天器轨道力学中。这些算法通过融合多源传感器数据，提供实时的轨道状态估计和预测。例如，卡尔曼滤波器在航天器轨道确定中的应用公式为：

  $${\hat{x}}_{k|k}={\hat{x}}_{k|k-1}+K_k(z_k-H{\hat{x}}_{k|k-1})$$

  其中，${\hat{x}}_{k|k}$为状态估计，$K_k$为增益矩阵，$z_k$为观测值，$H$为观测矩阵。

1.3.3 空间任务设计

空间任务设计涉及从任务规划到轨道设计的全过程，轨道力学在其中起到决定性的作用。良好的任务设计不仅能提高任务成功率，还能优化资源利用和降低成本。

• 任务规划：任务规划是空间任务设计的第一步，涉及确定任务目标、需求和约束条件。例如，通信卫星的任务规划需考虑覆盖区域、频率选择和服务时间。任务规划的数学模型可以表示为优化问题：

  $$\min J=\sum _{i=1}^n{w}_i{f}_i(x)$$

  其中，$J$为目标函数，$w_i$为权重，$f_i(x)$为任务需求函数，$x$为设计变量。

• 轨道设计：根据任务需求，轨道设计需选择合适的轨道类型、参数和优化方案。例如，地球同步轨道适用于通信卫星，极轨道则适用于地球观测卫星。轨道参数的优化通常使用数值优化方法，如遗传算法和模拟退火，其优化目标可为轨道能量最小化或覆盖率最大化：

  $$\min E=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{GMm}{r}$$

  其中，$E$为轨道能量，$m$为卫星质量，$v$为轨道速度，$r$为轨道半径。

• 任务实例分析：通过具体的空间任务实例，轨道力学在任务设计中的应用更加直观。例如，美国“哈勃”空间望远镜的轨道设计需要考虑地球引力、太阳辐射压力和大气阻力的综合影响。其轨道参数的选择基于Minimizing perturbations的原则，确保望远镜在轨道上长期稳定运行。通过引入以下微分方程，可以描述其轨道动态：

  $$\frac{d^2\vec{r}}{d{t}^2}=-\frac{GM}{r^3}\vec{r}+{\vec{a}}_{\text{扰动}}$$

  其中，${\vec{a}}_{\text{扰动}}$包含了太阳辐射压力和地球非均匀引力场等因素。

第二章 运动学基础

2.1 天体的运动

2.1.1 地球的运动

• 自转与公转：地球的自转和公转是其基本运动形式，自转是地球绕自身轴线的旋转，而公转则是地球绕太阳的运行。地球的自转周期约为$24$小时，自转角速度$\omega$可表示为：

  $$\omega =\frac{2\pi }{T_{\text{自转}}}$$

  其中，$T_{\text{自转}}$为自转周期。自转产生的离心力导致地球在赤道处略为隆起，形成地球的自转椭球体形状。同时，地球的公转周期约为$365.25$天，根据开普勒第三定律，地球轨道的半长轴$a$与公转周期$T$的关系为：

  $$T^2=\frac{4{\pi }^2{a}^3}{G{M}_{\text{太阳}}}$$

  其中，$G$为万有引力常数，$M_{\text{太阳}}$为太阳质量。地球的公转轨道略呈椭圆形，离心率$e$较小，约为$0.0167$，使得公转轨道几乎接近圆形。

• 地球轨道特性：地球公转轨道的形状、倾角和周期等特性对轨道力学有着重要影响。地球轨道的离心率决定了轨道的椭圆程度，较低的离心率意味着轨道接近圆形。轨道平面的倾角，即黄道倾角，大约为$23.44^{\circ }$，这是地球轴向倾斜的结果，影响了季节的变化。此外，地球的公转周期与自转周期的耦合关系，导致了昼夜和季节交替现象，对航天器的轨道设计和任务规划有着直接影响。

2.1.2 太阳的运动

• 太阳系天体运动规律：太阳作为太阳系的中心，其引力主导着其他天体的运动。根据牛顿万有引力定律和开普勒定律，太阳系内行星、卫星和其他小天体遵循椭圆轨道运动，且轨道平面近似于黄道面。太阳的运动不仅影响地球的轨道，还影响所有绕太阳运行的航天器轨道。太阳的质量占据了太阳系总质量的99.86%，其引力场的强度$F$可以表示为：

  $$F=\frac{G{M}_{\text{太阳}}m}{r^2}$$

  其中，$m$为受力天体的质量，$r$为天体到太阳的距离。太阳的引力场决定了航天器的轨道形状和稳定性。

• 太阳引力场：太阳引力场的计算对于轨道力学至关重要。航天器在太阳引力场中运动时，其轨道参数会受到太阳质量分布的影响。太阳引力场的势能$U$由以下公式给出：

  $$U(r)=-\frac{G{M}_{\text{太阳}}m}{r}$$

  通过求解航天器在太阳引力场中的运动方程：

  $$\frac{d^2\vec{r}}{d{t}^2}=-\frac{G{M}_{\text{太阳}}}{r^3}\vec{r}$$

  可以得到航天器的轨道变化情况。此外，太阳活动如日耀斑和太阳风也会对航天器轨道造成微小的扰动，需要在轨道设计中予以考虑。

2.1.3 其他天体的影响

• 月球的扰动效应：月球作为地球的唯一天然卫星，其引力对地球及绕地卫星的轨道具有显著的扰动效应。月球引力导致地球轨道的进动和潮汐现象，同时对航天器轨道产生周期性的扰动力。考虑月球引力的航天器轨道动力学方程为：

  $$\frac{d^2\vec{r}}{d{t}^2}=-\frac{G{M}_{\text{地球}}}{r^3}\vec{r}-\frac{G{M}_{\text{月球}}}{|\vec{r}-{\vec{r}}_{\text{月球}}{|}^3}(\vec{r}-{\vec{r}}_{\text{月球}})$$

  其中，${\vec{r}}_{\text{月球}}$为月球相对于地球的位置向量。通过解析和数值方法，可以预测和补偿月球引力对航天器轨道的扰动。

• 行星的引力影响：其他行星，尤其是大型行星如木星和金星，对航天器轨道也有一定的引力影响。这些影响通常表现为长期的轨道演化和周期性的轨道参数变化。行星引力的计算需要考虑行星的位置、质量和相对运动，轨道动力学方程扩展为：

  $$\frac{d^2\vec{r}}{d{t}^2}=-\sum _{i=1}^n\frac{G{M}_i}{|\vec{r}-{\vec{r}}_i{|}^3}(\vec{r}-{\vec{r}}_i)$$

  其中，$M_i$和${\vec{r}}_i$分别为第$i$个行星的质量和位置向量。通过多体问题的数值求解，可以准确预测行星引力对航天器轨道的综合影响，确保航天器的轨道设计满足任务需求。

2.2 相对运动与惯性系

2.2.1 牛顿第一定律与惯性参考系

• 牛顿第一定律：牛顿第一定律，亦称惯性定律，指出在没有外力作用的情况下，物体将保持静止状态或以恒定速度做直线运动。这一定律揭示了惯性的本质，是理解物体运动状态的基石。在轨道力学中，牛顿第一定律帮助我们确定航天器在惯性参考系中的运动轨迹。

  具体来说，假设在惯性参考系下，某航天器仅受重力作用，其运动状态可以通过以下运动方程描述：

  $$\vec{F}=m\vec{a}$$

  当外力 $\vec{F}$ 为零时，

  $$\vec{a}=0$$

  这意味着航天器将以恒定速度保持直线运动或保持静止状态。这一原理在轨道设计和航天器姿态控制中具有重要应用。

• 惯性参考系的应用：惯性参考系是分析轨道力学问题的理想框架。在惯性参考系中，牛顿定律成立，使得复杂的轨道运动可以被简化和精确描述。例如，选择以太阳为中心的太阳惯性系，可以忽略太阳系中其他天体的运动对航天器的影响，从而简化轨道计算。此外，惯性参考系有助于减少计算中的非惯性力，提升轨道预测的准确性。

2.2.2 惯性系与非惯性系的对比

• 惯性参考系定义：惯性参考系是一个在其中牛顿第一定律成立的参考系，即在此参考系中，若无外力作用，物体将保持匀速直线运动或静止状态。识别一个参考系是否为惯性系可以通过观察其中是否存在虚拟力（如科里奥利力和离心力）来判断。如果参考系中存在这些虚拟力，则该参考系为非惯性系。

  例如，地球表面是一个近似非惯性参考系，因为地球的自转导致引入科里奥利力和离心力。而以太阳为中心的惯性系则可以近似认为是一个理想的惯性参考系。

• 非惯性系的运动分析：在非惯性参考系中，由于参考系自身的加速度，物体的运动方程需要引入虚拟力来补偿。这使得轨道力学的分析变得更加复杂。例如，在地球旋转参考系中，航天器轨道的计算需要考虑科里奥利力和离心力的影响。这些虚拟力会导致航天器轨道的偏离，需要通过复杂的动力学模型进行修正。因此，在进行精确轨道设计时，通常优先选择惯性参考系，以减少计算复杂性和误差。

2.2.3 相对速度与相对加速度

• 相对速度的概念：相对速度是指两个参考系之间的速度差。在轨道力学中，航天器的速度常常需要在不同参考系下进行转换和分析。例如，航天器绕地球轨道运动的速度在地心惯性系和太阳惯性系下具有不同的表现。相对速度的计算通常通过向量相减来实现：

  $${\vec{v}}_{\text{相对}}={\vec{v}}_{\text{航天器}}-{\vec{v}}_{\text{参考系}}$$

  这一概念在多体轨道力学和航天器编队控制中尤为重要，帮助工程师准确描述和预测航天器的运动状态。

• 相对加速度的分析：相对加速度是指在不同参考系之间加速度的差异。当从一个参考系转换到另一个参考系时，加速度不仅包括航天器自身的加速度，还需考虑参考系的加速度变化。这种变化会对轨道力学产生显著影响。例如，在非惯性参考系中，参考系的加速度会引入额外的虚拟力，影响航天器的运动轨迹。加速度的相对变化可以通过以下公式描述：

  $${\vec{a}}_{\text{相对}}={\vec{a}}_{\text{航天器}}-{\vec{a}}_{\text{参考系}}$$

  这种相对加速度的变化在轨道调整和路径规划中需要被精确考虑，以确保航天器按预定轨道运行，避免因参考系转换带来的误差。

2.3 轨道的几何描述

2.3.1 轨道形状的分类与特征

轨道的几何形状是描述航天器运动轨迹的基础，不同的轨道形状决定了航天器的运行特性和任务应用。常见的轨道形状主要包括圆轨道、椭圆轨道、抛物线轨道和双曲线轨道。

• 圆轨道：圆轨道是一种轨道半径固定且航天器速度恒定的理想化轨道。在圆轨道中，航天器始终保持与中心天体的等距离，运动速度可通过平衡向心力与引力来确定。具体来说，轨道半径$r$与速度$v$的关系由以下公式给出：

  $$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$$

  其中，$G$为引力常数，$M$为中心天体的质量。圆轨道因其稳定性和简洁性，常用于地球同步卫星等应用。

• 椭圆轨道：椭圆轨道是最常见的轨道形状，其离心率$e$介于0和1之间。椭圆轨道的两个焦点之一通常位于中心天体的位置，航天器在轨道上的位置通过近地点和远地点来描述。椭圆轨道的主要参数包括半长轴$a$和半短轴$b$，其关系由离心率定义：

  $$e=\sqrt{1-{\left(\frac{b}{a}\right)}^2}$$

  椭圆轨道的轨道周期$T$与半长轴$a$的关系由开普勒第三定律给出：

  $$T^2=\frac{4{\pi }^2{a}^3}{GM}$$

  椭圆轨道广泛应用于多数天然行星卫星和多数人造卫星的轨道设计中。

• 抛物线轨道与双曲线轨道：这两种轨道属于开放轨道，意味着航天器在完成一次与中心天体的近距离飞越后，将永久脱离引力束缚。抛物线轨道对应于能量为零的临界轨道，而双曲线轨道则对应于能量为正的逃逸轨道。双曲线轨道的离心率$e$大于1，其轨道方程为：

  $$r=\frac{a(e^2-1)}{1+e\cos \theta }$$

  其中，$\theta$是航天器的真近点角，$a$为轨道的半长轴（在此为虚数）。这种轨道通常用于探测深空飞行器或执行快速转移任务。

2.3.2 轨道平面和倾角的影响

轨道平面和倾角是决定卫星覆盖范围和任务特性的关键参数。它们不仅影响卫星的轨道动态，还直接关系到卫星的应用场景和性能。

• 轨道平面的确定：轨道平面是指卫星轨道所在的几何平面。通常，轨道平面需要相对于地球赤道面和参考方向（如春分点赤经）进行定义。轨道平面的确定涉及两个关键参数：倾角$i$和升交点赤经$\Omega$。倾角描述轨道平面与地球赤道面的夹角，而升交点赤经则定义了轨道平面在地球赤道面上的旋转位置。轨道平面的完整描述需要下列两个角度：

  $$i={\cos }^{-1}\left(\frac{L}{|\vec{L}|}\right)$$

  $$\Omega ={\tan }^{-1}\left(\frac{N_y}{N_x}\right)$$

  其中，$\vec{L}$为轨道角动量向量，$\vec{N}$为轨道法线向量。

• 轨道倾角的重要性：轨道倾角$i$决定了卫星轨道相对于地球赤道面的倾斜程度，进而影响卫星的覆盖区域和通信效率。不同的倾角适用于不同的任务需求，例如：

  • 赤道轨道（$i=0^{\circ }$）：卫星始终位于地球赤道平面，适用于地球同步通信卫星。
  • 极地轨道（$i\approx 90^{\circ }$）：卫星轨道经过地球的南北极，可实现全球覆盖，适用于气象卫星和侦察卫星。
  • 中倾角轨道：介于赤道轨道和极地轨道之间，适用于特定区域的覆盖和多领域应用。

  轨道倾角的选择需综合考虑任务需求、地球自转影响以及轨道稳定性等因素。

2.3.3 轨道周期与开普勒第三定律

轨道周期是衡量卫星绕中心天体运行一周所需时间的关键参数，其计算与轨道的几何特性密切相关。开普勒第三定律为轨道周期的计算提供了理论基础。

• 轨道周期的计算：轨道周期$T$与轨道半长轴$a$之间的关系由开普勒第三定律描述。对于任何椭圆轨道，其轨道周期可以通过下式计算：

  $$T=2\pi \sqrt{\frac{a^3}{GM}}$$

  其中，$G$为引力常数，$M$为中心天体的质量。该公式表明，轨道半长轴越大，轨道周期越长，符合实际观测到的行星运动规律。

• 开普勒第三定律的应用：开普勒第三定律不仅适用于椭圆轨道，还可推广到其他轨道形状。在圆轨道中，半长轴等于轨道半径，公式依然适用。对于开放轨道（抛物线和双曲线），由于轨道半长轴为虚数，开普勒第三定律需进行适当修正，主要应用于逃逸速度和轨道设计的分析中。具体应用包括：

  • 卫星轨道设计：通过调整轨道半长轴和离心率，可以设计满足特定任务需求的轨道周期，实现卫星的预定运行时间和覆盖范围。
  • 天体系统研究：开普勒第三定律帮助科学家理解和预测双星系统、行星系统中的轨道动态和演化。

  此外，开普勒第三定律在验证引力理论和测定天体质量方面也具有重要应用价值。

2.4 轨道参数的细化

2.4.1 真近点角与偏近点角

在轨道力学中，真近点角和偏近点角是描述航天器在轨道上位置的重要参数，它们对于理解和预测航天器的轨道运动至关重要。

• 定义：

  • 真近点角 (True Anomaly) $\theta$：航天器在其椭圆轨道上当前位置相对于近地点的位置角。它表示从近地点到航天器当前位置的角度测量。
  • 偏近点角 (Eccentric Anomaly) $E$：在辅助圆中定义的角度，通过将椭圆轨道投影到一个与椭圆同焦的辅助圆上而得到。偏近点角有助于简化轨道运动的数学描述。

• 计算方法：

  真近点角$\theta$与偏近点角$E$之间的关系由以下公式给出：

  $$\tan \frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\tan \frac{E}{2}$$

  其中，$e$是轨道的离心率。通过该公式，可以将偏近点角转换为真近点角，反之亦然。

  为了计算偏近点角$E$，需要先计算均近点角$M$，然后通过开普勒方程求解$E$：

  $$M=E-e\sin E$$

  由于开普勒方程无法解析求解，通常采用数值方法（如牛顿-拉弗森法）进行迭代计算。得到偏近点角后，再利用上述转换公式计算真近点角$\theta$。

  了解和掌握这两个角度的计算方法，有助于更准确地描述和预测航天器在轨道上的位置和运动状态。

2.4.2 节点参数

节点参数用于描述轨道平面在参考平面上的定位和方向，是确定轨道空间姿态的关键因素。

• 升交点和降交点：

  • 升交点 (Ascending Node)：航天器轨道从南向北穿过参考平面的点，标志着轨道平面的上升路径。
  • 降交点 (Descending Node)：航天器轨道从北向南穿过参考平面的点，与升交点相对应，标志着轨道平面的下降路径。

  升交点和降交点的位置决定了轨道平面在参考平面上的方向，对于卫星的覆盖范围和地面站的通信安排具有重要影响。

• 参数计算：

  升交点赤经$\Omega$定义为升交点在参考平面上的位置角，通常以春分点作为参考方向。降交点赤经${\Omega }^{\prime }$则与升交点赤经相差$180^{\circ }$：

  $${\Omega }^{\prime }=\Omega +180^{\circ }$$

  计算升交点赤经的过程涉及确定轨道法线向量与参考平面基准方向之间的夹角。具体步骤如下：

  1. 计算轨道平面的法线向量$\vec{N}$。

  2. 通过法线向量的分量确定升交点赤经：

     $$\Omega ={\tan }^{-1}\left(\frac{N_y}{N_x}\right)$$

     其中，$N_x$和$N_y$分别是轨道法线向量在参考平面上的$x$轴和$y$轴分量。

  在轨道设计中，调整升交点赤经$\Omega$可以实现卫星轨道在地球表面覆盖路径的精确控制。例如，改变$\Omega$可以优化卫星群的分布，确保全球或特定区域的持续覆盖。

2.4.3 轨道倾角与升交点赤经

轨道倾角和升交点赤经共同决定了轨道平面在空间中的具体方向和位置，是描述航天器轨道姿态的基本参数。

• 轨道倾角 (Inclination) $i$：

  定义为轨道平面与基准平面（如地球赤道面）之间的夹角。轨道倾角决定了卫星轨道相对于地球赤道的倾斜程度，直接影响卫星的覆盖区域和地面站的可视时间。

  • 当$i=0^{\circ }$时，轨道为赤道轨道，卫星始终在地球赤道平面上运行，适用于地球同步通信卫星。
  • 当$i=90^{\circ }$时，轨道为极地轨道，卫星轨道穿越地球的北极和南极，适用于全球覆盖的气象卫星和侦察卫星。
  • 介于上述两者之间的中倾角轨道，适用于特定区域的覆盖和多样化的应用需求。

  轨道倾角的选择需要综合考虑任务需求、地球自转带来的影响以及轨道的长期稳定性。

• 升交点赤经 (Right Ascension of the Ascending Node) $\Omega$：

  升交点赤经定义了轨道平面在参考平面上的旋转位置，具体表示升交点在参考平面上的角度位置。它是确定轨道方位的关键参数之一。

  通过调节升交点赤经$\Omega$，可以实现卫星轨道在地球表面的不同摆放位置，从而优化卫星的覆盖路径。例如，在卫星星座设计中，通过合理分配不同卫星的$\Omega$值，可以实现全球或特定区域的高效覆盖，避免轨道重叠和资源浪费。

第三章 力学基础

3.1 万有引力定律的基本原理与应用

3.1.1 牛顿万有引力定律的阐述

牛顿万有引力定律是经典力学中的基石之一，它揭示了宇宙中物体之间相互吸引的本质。根据这一理论，任何两个质量为 $m_1$ 和 $m_2$ 的物体，彼此之间都会产生一种称为引力的相互作用力。这种引力的大小与两物体的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比，其数学表达式为：

$$F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$$

其中，$F$ 表示引力的大小，$G$ 是引力常数，$r$ 是两物体质心之间的距离。

引力场的概念：在轨道力学中，引力场描述的是空间中每一点单位质量所受的引力。对于地球附近的空间，引力场主要由地球的质量分布决定，而在多体系统中，引力场的复杂性显著增加。

向心力与轨道运动：在轨道运动中，航天器保持环绕天体的轨道，实际上是因为引力提供了必要的向心力。若忽略其他扰动因素，航天器的轨道可以被视为一个稳定的椭圆轨道，这正是开普勒定律的基础。

3.1.2 引力常数的重要性

引力常数 $G$ 是牛顿万有引力定律中的比例常数，其数值约为 $6.67430\times 10^{-11}\text{N}\cdot {\text{m}}^2/{\text{kg}}^2$。$G$ 的精确测定对于天体物理学、航天工程以及实验物理等领域具有深远的影响。

引力常数的历史测量：卡文迪许实验是测量 $G$ 的经典方法之一。1767 年，亨利·卡文迪许设计了一种扭秤装置，通过测量小质量物体引起的大质量物体的微小扭转，从而计算出 $G$ 的值。这一实验不仅首次准确测定了地球的密度，也为后续的精密测量奠定了基础。

现代测量技术：随着科技的发展，测量 $G$ 的方法也愈加精确和多样化。例如，利用激光干涉仪结合超冷原子系统，可以在微重力环境下进行更为精细的引力测量。此外，空间实验如阿尔法哥伦布任务（Alpha Columbae Mission）也致力于在太空中提高 $G$ 的测量精度。

$G$ 的不确定性与挑战：尽管多次实验测量，$G$ 的数值仍存在一定的不确定性，约为 $10^{-4}$ 的相对误差。这一不确定性限制了精确预测天体轨道和进行高精度航天任务的能力，也是当前物理学中的一个未解难题之一。

3.1.3 引力对航天器加速度的影响

引力不仅决定了航天器的轨道形状和性质，还直接影响其加速度和运动状态。在轨道力学中，引力提供了必要的向心加速度，使航天器能够稳定地围绕天体运动。

向心加速度的计算：对于绕地球运行的卫星，其向心加速度 $a_c$ 可以通过以下公式计算：

$$a_c=\frac{v^2}{r}=\frac{GM}{r^2}$$

其中，$v$ 是卫星的轨道速度，$r$ 是卫星距离地球质心的距离，$M$ 是地球的质量。通过将这两个表达式联立，可以得到卫星的轨道速度与半径之间的关系：

$$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$$

这一关系式说明，卫星的轨道速度随着轨道半径的增大而减小，这是卫星在不同高度上运动的基本规律。

轨道变化与引力：引力不仅决定了卫星的基本轨道参数，还在轨道机动中发挥关键作用。例如，进行轨道转移时，通过改变卫星的速度方向或幅度，可以利用引力实现从一种轨道状态向另一种状态的过渡。这在多星系统的轨道设计和卫星编队控制中尤为重要。

实际应用案例：在国际空间站（ISS）的轨道维护中，通常需要定期进行少量的调整，以抵消大气阻力和其他微小扰动导致的轨道衰减。这些调整主要依赖于引力提供的向心加速度和预先计算的推进量，以确保空间站能够持续稳定地围绕地球运行。

通过深入理解引力对航天器加速度的影响，工程师能够更精准地设计轨道、规划任务以及执行轨道机动，确保航天任务的成功实施。

3.2 动力学方程

动力学方程是描述天体运动的基础工具，基于牛顿的运动定律和万有引力定律，能够精确地描述和预测天体在空间中的运动轨迹。本节将深入探讨二体问题和三体问题的运动方程，以及动力学方程的数值解法和引力扰动的分析。

3.2.1 二体问题的运动方程

方程导出

二体问题是轨道力学中最基本的问题，涉及两个相互作用的天体。假设这两个天体的质量分别为 $m_1$ 和 $m_2$，它们的质心系为惯性系。根据牛顿的万有引力定律和第二运动定律，可以推导出二体系统的运动方程。

首先，万有引力 $F$ 表达为：

$$F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$$

其中，$G$ 是引力常数，$r$ 是两天体之间的距离。

根据牛顿第二定律，两个天体受力加速度分别为：

$$a_1=\frac{F}{m_1}=G\frac{m_2}{r^2}$$

$$a_2=\frac{F}{m_2}=G\frac{m_1}{r^2}$$

由于两天体围绕质心运动，可以将运动转化为一个天体绕质心作圆周或椭圆运动的问题，简化为相对运动分析。

基于向心加速度与轨道速度的关系：

$$a=\frac{v^2}{r}$$

将其与引力加速度相等，得到轨道速度与半径的关系式：

$$v=\sqrt{\frac{G(m_1+m_2)}{r}}$$

解的特性

二体问题的运动方程具有解析解，其轨道形状取决于天体相对速度和初始条件的不同，主要包括以下几种类型：

• 圆形轨道：当天体的初速度正好满足向心加速度与引力相等时，轨道为圆形。此时速度大小为：

  $$v=\sqrt{\frac{G(m_1+m_2)}{r}}$$

• 椭圆轨道：绝大多数天体的轨道为椭圆形，其中心由开普勒第一定律所确定。椭圆轨道的偏心率 $e$ 满足 $0<e<1$。

• 抛物线轨道：当天体的轨道能量为零时，轨道为抛物线形，适用于逃逸轨道的描述。

• 双曲线轨道：当轨道能量为正时，轨道为双曲线形，描述高速逃逸体的运动路径。

这些解的特性不仅揭示了天体运动的多样性，也为航天器的轨道设计提供了理论基础。

3.2.2 三体问题的探讨

问题描述

三体问题涉及三个相互作用的天体，其运动受三个天体的引力共同影响。设这三个天体的质量分别为 $m_1$、$m_2$ 和 $m_3$，它们在空间中的位置由向量 ${\mathbf{r}}_1$、${\mathbf{r}}_2$ 和 ${\mathbf{r}}_3$ 表示。根据牛顿引力定律，每个天体受到其他两个天体的引力作用，运动方程为：

$${\mathbf{F}}_1=G\frac{m_2{m}_3}{|{\mathbf{r}}_2-{\mathbf{r}}_3{|}^2}{\hat{\mathbf{r}}}_{23}+G\frac{m_1{m}_3}{|{\mathbf{r}}_1-{\mathbf{r}}_3{|}^2}{\hat{\mathbf{r}}}_{13}$$

类似地，${\mathbf{F}}_2$ 和 ${\mathbf{F}}_3$ 可表示为相应的引力和。

解的复杂性

与二体问题不同，三体问题在大多数情况下无法找到解析解。其原因在于三个天体之间的相互作用导致系统动力学的复杂性和非线性。具体表现为：

• 不稳定性：即使是微小的初始条件差异，也会导致运动轨迹的巨大变化。

• 混沌特性：三体系统展示出混沌行为，运动轨迹对初始条件高度敏感，难以长期预测。

这种复杂性使得三体问题成为经典力学中最具挑战性的难题之一，同时也推动了混沌理论的发展。

实际应用

尽管三体问题缺乏通用的解析解，但它在天文学和航天工程中具有重要的实际意义。例如：

• 多星系统轨道设计：在双星系统或三星系统中，航天器轨道的设计需要考虑多个天体的引力影响，以确保轨道的稳定性和任务的成功。

• 环绕月球的航天器轨道：地球、月球和航天器共同构成一个三体系统，轨道设计需要考虑地月引力与太阳引力的共同作用。

• 空间站的轨道保持：国际空间站等大型航天器的轨道维持涉及复杂的三体动力学因素，需通过精确控制实现。

这些应用案例展示了三体问题在实际航天任务中的关键作用，也强调了数值方法的重要性。

3.2.3 动力学方程的数值解法

由于二体问题在大多数情况下可以解析求解，而三体问题及更复杂的多体问题则需要依靠数值方法来求解。常用的数值解法包括欧拉法和龙格-库塔法。

常用数值方法

• 欧拉法：欧拉法是一种基本的数值积分方法，通过将连续的时间分割为小的步长，逐步逼近微分方程的解。其基本公式为：

  $$y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n)$$

  其中，$h$ 是步长，$f(t_n,y_n)$ 是函数的导数。

  欧拉法简单易实现，但精度较低，容易引入数值误差，尤其在长时间积分时误差累积显著。

• 龙格-库塔法：龙格-库塔法是一种更为精确的数值积分方法，特别是四阶龙格-库塔法（RK4），其基本思想是在每一步计算多个斜率估计，通过加权平均提高解的精度。

  四阶龙格-库塔法的公式如下：

  $$\begin{array}{rl}{k}_1& =f(t_n,y_n)\\ k_2& =f\left(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}{k}_1\right)\\ k_3& =f\left(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}{k}_2\right)\\ k_4& =f\left(t_n+h,y_n+h{k}_3\right)\\ y_{n+1}& =y_n+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)\end{array}$$

  RK4 方法相比欧拉法具有更高的精度和稳定性，是处理复杂动力学方程的常用方法。

方法选择的考量

在选择数值方法时，需要考虑以下因素：

• 精度要求：高精度问题适合使用高阶方法如 RK4 方法，以减少步长和误差。

• 计算效率：在大规模计算或实时系统中，计算效率至关重要，可能需要权衡精度和效率。

• 稳定性：对于长期积分问题，选择具有良好稳定性的数值方法，以避免误差的累积导致解的不稳定。

• 问题特性：不同的动力学问题可能具有不同的特性，如刚性问题需要特殊的数值方法，如隐式方法。

综合考虑这些因素，可以选择最适合特定动力学问题的数值解法，提高计算的效率和结果的可靠性。

3.2.4 引力扰动的分析

在实际的轨道设计和天体运动中，引力扰动是不可忽视的因素。引力扰动主要来源于其他天体的引力影响，如其他行星、小行星带等，这些扰动会对航天器的轨道产生长期影响。

扰动来源

• 其他行星的引力：在多行星系统中，除主引力源外，其他行星的引力会造成微小的轨道偏移。

• 小行星带：航天器在穿越小行星带时，小行星的引力可能引发轨道扰动，甚至导致碰撞风险。

• 太阳风与电磁力：对于低轨道航天器，太阳风和地球磁场等非引力因素也会引起轨道变化。

扰动效应

引力扰动会引起轨道参数的缓慢变化，影响轨道的长期稳定性。具体表现为：

• 轨道偏心率的变化：引力扰动可导致轨道形状由椭圆向更不规则形态演化。

• 轨道平面的变化：扰动会使航天器的轨道平面发生倾斜或偏移。

• 轨道周期的变化：引力扰动可能影响航天器的公转周期，导致轨道周期与理想状态不符。

这些扰动效应对长期航天任务的成功至关重要，需要在轨道设计和维护中予以充分考虑。

修正策略

为应对引力扰动的影响，常采用以下轨道修正策略：

• 定期进行轨道机动：通过推进器调整航天器的速度和方向，以抵消扰动引起的轨道偏移。

• 优化轨道设计：在初始设计阶段，选择对扰动敏感性较低的轨道参数，以降低后期修正的需求。

• 利用自然动力：在某些情况下，可以利用引力辅助等自然动力机制，实现轨道的调整，减少燃料消耗。

3.3 能量与角动量

3.3.1 轨道能量的计算

• 动能计算：动能 $ T $ 是航天器由于其运动速度而具有的能量，计算公式为：

  $$T=\frac{1}{2}m{v}^2$$

  其中，$ m $ 为航天器的质量，$ v $ 为航天器的瞬时速度。在不同轨道位置，航天器的速度 $ v $ 随半径 $ r $ 变化，因此动能也相应变化。对于椭圆轨道，航天器在近地点处速度最大，动能也达到峰值；在远地点处速度最小，动能相应降低。

• 势能计算：势能 $ U $ 描述航天器在地心引力场中的能量，计算公式为：

  $$U=-\frac{GMm}{r}$$

  其中，$ G $ 为引力常数，$ M $ 为地球的质量，$ r $ 为航天器与地心的距离。势能的负号表示系统处于束缚状态，随着 $ r $ 的增加，势能趋近于零，表明航天器远离地心，系统能量增加。

3.3.2 角动量守恒的原理与应用

• 角动量守恒定律：角动量 $ L $ 是描述航天器绕地心旋转状态的物理量，其表达式为：

  $$L=mr{v}_{\perp }$$

  其中，$ v_{\perp} $ 为速度矢量中垂直于位置矢量 $ r $ 的分量。在没有外力矩作用下，角动量守恒，即 $ L $ 保持不变。这意味着在轨道运动过程中，航天器的速度和位置需要协调变化，以维持角动量的恒定。

• 应用实例：在轨道机动过程中，通过调整航天器的速度矢量，可以实现轨道参数的改变。例如，发动机加速可以增加轨道半长轴，从而改变轨道的大小和形状，同时由于角动量守恒，轨道的偏心率也会相应调整。这一原理在多体问题和复杂轨道设计中尤为重要，如地月系统中的轨道转移和卫星编队控制。

3.3.3 轨道速度与能量的关系

• 速度与动能关系：动能与速度的平方成正比，即：

  $$T=\frac{1}{2}m{v}^2$$

  这表明速度的微小变化将导致动能的显著变化。在轨道设计中，通过精确控制航天器的速度，可以有效管理其动能，从而实现轨道的稳定与调整。

• 速度与势能关系：根据能量守恒定律，总机械能 $ E $ 为动能与势能之和：

  $$E=T+U=\frac{1}{2}m{v}^2-\frac{GMm}{r}$$

  当航天器速度增加时，动能 $ T $ 增大，若总能量 $ E $ 保持不变，则势能 $ U $ 必须相应减少，即航天器将在更高的轨道运动。反之，速度减小则航天器将下降至较低轨道。

3.3.4 势能变化与轨道形状的关系

• 势能与轨道椭圆度：轨道的椭圆度 $ e $ 反映了轨道的偏心程度，其计算公式为：

  $$e=\sqrt{1+\frac{2E{L}^2}{G^2{M}^2{m}^3}}$$

  其中，总机械能 $ E $ 和角动量 $ L $ 共同决定了轨道的形状。势能的变化通过影响总能量 $ E $ ，进而影响轨道的椭圆度。例如，当势能增加（即 $ r $ 增大）而总能量保持不变时，轨道的椭圆度将减小，趋向圆形。

• 势能与轨道稳定性：势能的微小变化会引起轨道参数的调整，影响轨道的长期稳定性。长期的引力扰动或其他外部因素可能导致势能的逐渐变化，进而引起轨道形状和大小的演变。为了保持轨道的稳定性，通常需要定期进行轨道修正，通过调整航天器的速度和位置来抵消扰动带来的势能变化，确保轨道参数维持在预定范围内。

第四章 轨道计算

4.1 开普勒方程

开普勒方程在航天器轨道力学中具有核心地位，描述了天体在引力作用下的运动规律。为了深入理解和应用这一方程，我们将详细探讨开普勒的三大定律、开普勒方程的求解方法、其在轨道计算中的实际应用，以及现代科学中对开普勒方程的扩展与所面临的挑战。

4.1.1 开普勒的三大定律

第一定律（椭圆轨道定律）：每一颗行星绕太阳运行的轨道都是一个椭圆，太阳位于其中一个焦点上。

详细解释：这一发现推翻了之前认为行星沿圆形轨道运动的假说。椭圆轨道意味着行星与太阳之间的距离在轨道上是不断变化的，这直接影响了行星的运动速度和能量分布。椭圆的形状由其半长轴 $a$ 和偏心率 $e$ 决定，偏心率越大，轨道的椭圆形状越明显，行星在远日点和近日点的速度差异也越大。

第二定律（面积速度定律）：行星在绕太阳运动时，连结行星与太阳的线段在相等的时间内扫过相等的面积。

详细解释：这一法则体现了行星运动速度的变化规律。当行星靠近太阳时，引力作用增强，运动速度加快；远离太阳时，速度减慢。面积速度守恒意味着在任何两个相同时间长度的时间间隔内，行星扫过的面积相等。这一守恒性质与角动量守恒定律有着紧密的联系。

第三定律（调和定律）：所有行星的轨道半长轴的立方与其公转周期的平方之比为常数，即：

$$\frac{a^3}{T^2}=\frac{G(M+m)}{4{\pi }^2}$$

其中，$a$ 为轨道半长轴，$T$ 为公转周期，$G$ 为引力常数，$M$ 为太阳的质量，$m$ 为行星的质量。由于在太阳系中，$M\gg m$，该比值可近似为常数。推导：通过将开普勒的第二定律与万有引力定律结合，可以推导出这一比例关系，展示了轨道周期与轨道大小之间的数学关联。

4.1.2 开普勒方程的求解方法

开普勒方程的求解在轨道力学中是一个关键步骤，尤其是在确定航天器的位置和速度时。由于该方程是非线性的，常规的解析方法难以直接求解，因此需要借助数值方法。以下是几种主要的求解方法：

• 解析方法：尽管开普勒方程通常难以获得闭式解，但在特定条件下，如轨道偏心率 $e$ 较小，可以采用泰勒级数展开或者其他近似方法获得解析解。这些方法需要对方程进行适当的简化，以便利用已知的数学技巧进行求解。

• 迭代法：迭代法是一种常用的数值求解开普勒方程的方法，其中牛顿-拉夫森法是最为典型的例子。其基本步骤如下：

  1. 初始猜测：设定一个初始值 $E_0$，通常取 $E_0=M$（平近点角）。

  2. 迭代公式：

     $$E_{n+1}=E_n-\frac{E_n-e\sin E_n-M}{1-e\cos E_n}$$

  3. 收敛判定：当 $|E_{n+1}-E_n|$ 小于预设的容差时，停止迭代，取 $E_{n+1}$ 作为近似解。

  注意事项：选择合适的初始猜测值和设置合理的收敛条件是确保迭代法有效性的关键。此外，在高偏心率情况下，迭代法的收敛速度可能会减慢，需要采用更为稳健的迭代策略。

• 数值解法：对于复杂或高维的开普勒方程，可以采用更为高级的数值方法，如龙格-库塔法（Runge-Kutta Method）。这些方法通过将微分方程离散化，逐步逼近方程的解。

  龙格-库塔法：一种常用的四阶龙格-库塔法，通过对每一步的中间斜率进行加权平均，提高了求解的精度和稳定性。其基本步骤包括计算多个斜率估计值，并根据这些估计值修正下一个时间步长的解。

  优缺点：数值解法通常具有较高的精确度和广泛的适用性，尤其适用于复杂的轨道计算。然而，其计算量较大，对计算资源的需求较高。

4.1.3 开普勒方程在轨道计算中的应用

开普勒方程在轨道力学中的应用广泛，涵盖了从基础轨道元素的计算到复杂轨道转移的设计。具体应用包括：

• 轨道元素计算：通过求解开普勒方程，可以从已知的轨道参数（如偏心率 $e$、半长轴 $a$）和当前时间点，计算出航天器在轨道上的具体位置和速度。这些轨道元素包括偏心率、半长轴、轨道倾角、升交点赤经、近地点幅角和平近点角等，构成了航天器轨道的完整描述。

• 轨道预测：基于开普勒方程，可以预测航天器在未来某一时刻的位置和速度，这对于航天任务的规划和执行至关重要。例如，在卫星部署后，通过轨道预测可以确定其覆盖范围和工作效率，确保其按预定轨道稳定运行。

• 轨道转移设计：在设计轨道转移轨道（如霍曼转移轨道）时，开普勒方程提供了必要的数学基础。通过精确求解开普勒方程，可以确定转移轨道的各项参数，优化燃料消耗和转移时间，提高轨道转移的效率和成功率。

实际应用案例：例如，在地球同步轨道卫星的部署过程中，通过求解开普勒方程，可以精确调整卫星的轨道参数，确保其能够稳定地维持在地球同步轨道上，实现长时间的通信覆盖。

4.1.4 开普勒方程的现代扩展与挑战

尽管开普勒方程在经典力学中取得了巨大的成功，但随着航天技术的发展和应用场景的复杂化，其应用也面临着新的挑战和扩展需求。

• 非牛顿力的影响：在实际轨道运动中，除了万有引力外，还存在诸如太阳辐射压力、行星引力扰动、相对论效应等非牛顿力的作用。这些力的存在使得开普勒方程的理想化假设不再完全适用，需要对方程进行修正。例如，相对论效应在水星轨道进动中的表现，要求在开普勒方程中引入修正项，以准确描述其运动轨迹。

• 复杂引力场的适用性：在多体系统或非均匀引力场中，单一的开普勒方程无法准确描述轨道运动。此时，需要采用更为复杂的动力学模型，如拉格朗日-勒让德方法（Lagrange-Laplace method）或数值模拟方法，以适应复杂引力环境下的轨道计算需求。

  多体问题：在地月系统、太阳系行星系统等多体引力环境中，航天器的轨道不仅受到主引力源的影响，还受到其他天体的引力扰动。此时，开普勒方程需要扩展为包含多个引力项的方程组，通常采用数值积分方法进行求解。

  非均匀引力场：地球的不规则质量分布（如地壳不均匀、海洋潮汐效应）导致的非均匀引力场，使得航天器的轨道运动更加复杂。为此，需要在开普勒方程中引入高次引力项，或者采用经验模型来修正轨道计算，以提高轨道预测的精度。

未来发展方向：随着深空探测和高精度轨道控制技术的发展，对开普勒方程的求解提出了更高的要求。未来的研究可能会集中在开发更高效的数值算法、结合机器学习技术优化轨道计算模型，以及在复杂动力学环境下实现实时轨道预测和修正。

4.2 轨道元素的计算

4.2.1 位置与速度的转化

• 基本概念：在轨道力学中，位置向量 $\mathbf{r}$ 和速度向量 $\mathbf{v}$ 是描述航天器运动状态的基本物理量。位置向量定义了航天器相对于参考中心体的位置，而速度向量则描述了其运动的方向和速率。这两个向量不仅决定了航天器在轨道上的即时状态，也是计算各种轨道要素的基础。

• 转化方法：将位置向量和速度向量转化为轨道元素涉及以下几个关键步骤：

  1. 计算角动量向量：
     角动量向量 $\mathbf{h}$ 定义为位置向量与速度向量的叉积：
     $$\mathbf{h}=\mathbf{r}\times \mathbf{v}$$
     角动量的大小 $h=|\mathbf{h}|$ 表示轨道的能量和形状，其方向垂直于轨道平面。

  2. 确定轨道倾角和升交点赤经：
     轨道倾角 $i$ 是轨道平面与参考平面的夹角，可通过角动量向量的 $z$ 分量计算：
     $$i=\arccos \left(\frac{h_z}{h}\right)$$
     升交点赤经 $\Omega$ 是轨道平面与参考平面交线指向北极的方向角，通过角动量向量的投影计算：
     $$\Omega =\arctan 2\left(\frac{h_x}{\sqrt{h_x^2+h_y^2}},\frac{-h_y}{\sqrt{h_x^2+h_y^2}}\right)$$

  3. 计算偏心向量和偏心率：
     偏心向量 $\mathbf{e}$ 表示轨道的偏心程度，其计算公式为：
     $$\mathbf{e}=\frac{\mathbf{v}\times \mathbf{h}}{\mu }-\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}$$
     偏心率 $e=|\mathbf{e}|$ 描述轨道的椭圆程度，$e=0$ 为圆轨道，$0<e<1$ 为椭圆轨道。

  4. 求半长轴：
     使用能量守恒定律，总机械能 $E$ 与轨道半长轴 $a$ 的关系为：
     $$a=-\frac{\mu }{2E}$$
     其中，总能量 $E$ 可由位置和速度向量计算：
     $$E=\frac{|\mathbf{v}{|}^2}{2}-\frac{\mu }{|\mathbf{r}|}$$

  5. 确定近地点幅角：
     近地点幅角 $\omega$ 表示从升交点到近地点的角度，通过偏心向量的方向确定：
     $$\omega =\arccos \left(\frac{\mathbf{e}\cdot \mathbf{n}}{e}\right)$$
     其中，$\mathbf{n}$ 为参考方向单位向量。

  通过上述步骤，位置向量和速度向量被系统地转化为一组完整的轨道要素，为后续的轨道分析和预测奠定了坚实的基础。

4.2.2 轨道决定要素

• 主要要素：轨道元素是描述航天器轨道形状和位置的关键参数，主要包括以下六个要素：

  1. 半长轴 ($a$)：椭圆轨道的长轴的一半，决定轨道的大小。
  2. 偏心率 ($e$)：描述轨道椭圆程度，$e=0$ 为圆轨道，$0<e<1$ 为椭圆轨道。
  3. 轨道倾角 ($i$)：轨道平面与参考平面的夹角。
  4. 升交点赤经 ($\Omega$)：轨道平面与参考平面的交线指向北极的方向角。
  5. 近地点幅角 ($\omega$)：从升交点到轨道近地点的角度。
  6. 平近点角 ($M$)：描述航天器在轨道上的位置，是时间的函数。

  这些要素共同定义了航天器在空间中的具体轨道参数，是轨道计算、预测和控制的基础。

• 计算方法：各轨道要素的计算可以通过已知的角动量向量、偏心向量以及位置和速度向量实现，具体如下：

  1. 半长轴 ($a$)：
     利用能量守恒定律计算：
     $$a=-\frac{\mu }{2E}=\frac{|\mathbf{h}{|}^2}{\mu (1-e^2)}$$
     其中，$E$ 为总机械能，$\mu$ 为标准引力参数。

  2. 偏心率 ($e$)：
     通过偏心向量的大小计算：
     $$e=|\mathbf{e}|=\sqrt{1+\frac{2E|\mathbf{h}{|}^2}{{\mu }^2}}$$

  3. 轨道倾角 ($i$)：
     由角动量向量的方向确定：
     $$i=\arccos \left(\frac{h_z}{|\mathbf{h}|}\right)$$

  4. 升交点赤经 ($\Omega$)：
     根据角动量向量的投影计算：
     $$\Omega =\arctan 2\left(\frac{h_x}{\sqrt{h_x^2+h_y^2}},\frac{-h_y}{\sqrt{h_x^2+h_y^2}}\right)$$

  5. 近地点幅角 ($\omega$)：
     通过偏心向量与升交点之间的夹角确定：
     $$\omega =\arccos \left(\frac{\mathbf{e}\cdot \mathbf{n}}{e}\right)$$
     其中，$\mathbf{n}$ 为参考方向单位向量。

  6. 平近点角 ($M$)：
     利用开普勒方程关联时间和位置：
     $$M=E-e\sin E$$
     其中，$E$ 为偏近点角，可通过数值方法求解。

  这些计算方法确保了从基本的物理量出发，系统且准确地获取轨道决定要素，为轨道的进一步分析和控制提供了必要的数据支持。

4.2.3 轨道拟合技术

• 拟合原理：轨道拟合是通过观测数据反推出航天器轨道要素的过程，常用的方法包括最小二乘法等统计技术。最小二乘法的基本原理是通过最小化观测数据与理论轨道模型之间的误差平方和，找到最优的轨道参数估计值。具体而言，给定一系列的观测位置和时间数据，建立轨道模型与观测数据的误差函数：

  $$S=\sum _{i=1}^N{\left|{\mathbf{r}}_{\text{观测},i}-{\mathbf{r}}_{\text{模型}}(t_i,\mathbf{a})\right|}^2$$

  其中，$\mathbf{a}$ 为轨道参数向量，通过求解 $\frac{\partial S}{\partial \mathbf{a}}=0$ 以获取最优轨道参数。

• 实际应用：在实际应用中，轨道拟合通常涉及以下几个步骤：

  1. 数据收集与处理：
     收集来自地面观测站、激光测距系统或卫星自身传感器的观测数据，对数据进行预处理，如去除噪声、校正误差等。

  2. 初始轨道估计：
     根据部分观测数据进行初步轨道要素的估计，作为拟合算法的初始值。

  3. 非线性最小二乘优化：
     使用如高斯-牛顿法或Levenberg-Marquardt算法等非线性优化方法，迭代调整轨道参数，最小化观测误差平方和。

  4. 误差分析与修正：
     分析拟合结果的残差分布，判断拟合的精度与可靠性，必要时进行数据剔除或模型修正。

  5. 结果验证：
     将拟合得到的轨道参数应用于预测和再观测，验证其准确性和稳定性。

  通过上述步骤，轨道拟合技术能够有效地从有限的观测数据中提取出精确的轨道要素，确保航天器轨道预测的准确性和可靠性。

4.2.4 轨道不确定性分析

• 不确定性来源：轨道计算的不确定性主要来源于以下几个方面：

  1. 测量误差：观测数据存在的随机误差和系统误差，如测量设备的精度限制、信号传播延迟等。

  2. 模型简化：轨道模型中对复杂力的忽略或简化，如忽略大气阻力、地球非球形效应及其他第三体引力等。

  3. 初始条件不确定性：初始位置和速度的估计误差，导致轨道要素的传播误差。

  4. 环境扰动：空间环境中不可预测的扰动，如太阳辐射压力、微陨石撞击等，对轨道的长期影响。

• 影响评估：这些不确定性因素会在轨道计算中累积，影响轨道元素的精确度和可靠性。为评估不确定性，常用的方法包括：

  1. 误差传播分析：
     利用雅可比矩阵将初始条件的误差传播到轨道要素，定量分析误差对轨道参数的影响程度：

     $$\Delta \mathbf{a}=\mathbf{J}\cdot \Delta \mathbf{x}$$

     其中，$\mathbf{J}$ 为雅可比矩阵，$\Delta \mathbf{x}$ 为初始状态向量的误差。

  2. 蒙特卡洛模拟：
     通过大量随机生成含有误差的初始条件，进行轨道计算，统计得到轨道要素的分布情况，从而评估不确定性。

  3. 敏感性分析：
     分析轨道要素对各个参数变化的敏感程度，确定哪些因素对轨道不确定性的贡献最大，进行针对性的优化和控制。

  4. 卡尔曼滤波：
     在轨道预测过程中，结合实时观测数据，对轨道要素进行动态修正和不确定性估计，提高轨道预测的准确性。

4.3 轨道转移与变轨

轨道转移与变轨是航天器在空间中从一个轨道到另一个轨道的关键操作。有效的轨道转移策略不仅能够节省燃料，还能提高任务的整体效率和成功概率。本节将详细探讨几种主要的轨道转移方法，包括霍曼转移、多段轨道转移、燃料消耗与转移效率分析，以及低推力轨道转移技术。

4.3.1 霍曼转移轨道详解

霍曼转移轨道是一种最经济且应用广泛的轨道转移方法，尤其适用于两圆轨道之间的转移。其基本原理基于椭圆轨道的性质，利用两次脉冲式推进实现轨道的转换。

• 原理介绍：

  霍曼转移轨道是一种椭圆轨道，其近日点位于较低轨道，而远地点位于较高轨道。通过在初始轨道的远地点施加一个脉冲推进，航天器将进入霍曼转移椭圆轨道，随后在转移轨道的远地点再次施加脉冲推进，完成轨道调整。

  使用维萨-维瓦方程（$v^2=\mu (2/r-1/a)$），可以计算出两次脉冲的速度变化量（Δv）：

  第一次脉冲：

  $$\Delta v_1=\sqrt{\frac{\mu }{r_1}}\left(\sqrt{\frac{2r_2}{r_1+r_2}}-1\right)$$

  第二次脉冲：

  $$\Delta v_2=\sqrt{\frac{\mu }{r_2}}\left(1-\sqrt{\frac{2r_1}{r_1+r_2}}\right)$$

  其中，$\mu$为引力参数，$r_1$和$r_2$分别为初始轨道和目标轨道的半径。

• 应用实例：

  以地球到火星的转移为例，霍曼转移轨道在两行星分别位于近日点和远日点的连线上时，实现最小燃料消耗的轨道转移。具体过程包括：

  1. 出发点脉冲：在地球轨道的合适位置（如地球-火星相对位置最佳时），航天器施加第一次脉冲，进入转移椭圆轨道。

  2. 抵达点脉冲：航天器抵达火星轨道位置时，施加第二次脉冲，使其进入火星的目标轨道。

  通过精确计算上述两次脉冲的Δv，霍曼转移轨道能够高效地完成跨行星的轨道转移任务。

4.3.2 多段轨道转移策略

多段轨道转移策略通过分阶段施加脉冲推进，实现更为灵活和高效的轨道转移。

• 策略概述：

  多段轨道转移通常涉及多个脉冲，使航天器在多个中间轨道点进行轨道调整。这种方法适用于复杂的轨道需求，如需要绕行其他天体或在多个轨道平面之间转换。

  设计原则包括：

  • 分段施推进：在不同轨道点分阶段施加推进，优化每次脉冲的效率。
  • 轨道匹配：确保每次转移后的轨道参数适合下一阶段的转移。

• 优势分析：

  相较于单一霍曼转移，多段转移策略具有以下优势：

  • 灵活性增强：可以应对更复杂的轨道转移需求，如需要绕行多个天体。
  • 燃料效率提升：通过优化每段转移的$\Delta v$，可以在总体上减少燃料消耗。
  • 任务扩展性：适用于多目标任务，如探测器在飞往主要目标前进行多个小幅度调整。

  例如，在执行地球-小行星-火星的多段转移任务中，航天器可以首先从地球轨道转移到小行星附近，完成相关任务后，再从小行星轨道转移到火星轨道，通过每段转移的优化实现总体燃料的节省。

4.3.3 燃料消耗与转移效率

燃料消耗是轨道转移策略中最为关键的考量因素之一。不同轨道转移方法在燃料使用上的差异显著，优化燃料消耗是确保任务成功的关键。

• 燃料消耗分析：

  燃料消耗主要由所需的$\Delta v$决定，根据火箭方程（$ \Delta v = I_{sp} \cdot g_0 \cdot \ln \left(\frac{m_0}{m_f}\right) $），其中$I_{sp}$为比冲，$g_0$为标准重力加速度，$m_0$和$m_f$分别为初始和最终质量。

  对比霍曼转移与多段转移：

  • 霍曼转移：需要两次脉冲，适用于两圆轨道间的转移，燃料消耗相对较低。
  • 多段转移：根据转移段数和每段的Δv，整体燃料消耗可能更优，尤其在复杂任务中。

• 效率优化方法：

  优化燃料效率的方法包括：

  1. 轨道参数优化：通过调整转移轨道的半长轴、离心率等参数，找到最小Δv需求的轨道。

  2. 时间窗口选择：选择最佳的发射窗口，减少在转移过程中的能源损失。例如，选择地球与目标天体的位置关系最优的时刻发射。

  3. 利用引力辅助：在轨道转移过程中利用其他天体的引力进行助推，减少自身推进所需的燃料。

  4. 优化推进策略：结合高效的推进技术，如电推进系统，进一步降低燃料消耗。

  通过综合应用上述方法，可以显著提升轨道转移的燃料效率，延长航天器的使用寿命和任务范围。

4.3.4 低推力轨道转移技术

低推力轨道转移技术通过长时间、低加速度的推力施加，实现高效的轨道改变。

• 技术原理：

  低推力推进系统，如离子推进器或霍尔效应推进器，提供连续且稳定的推力，尽管推力较小，但由于长期作用，能够实现显著的轨道改变。

  基本原理基于积分加速度：

  $$\mathbf{v}(t)={\mathbf{v}}_0+{\int }_0^t\mathbf{a}(t^{\prime })d{t}^{\prime }$$

  其中，$\mathbf{a}(t)$为随时间变化的加速度。

  低推力系统通常具有较高的比冲（$I_{sp}$），使其在长期任务中能够更高效地利用燃料。

• 应用优势：

  低推力轨道转移具备多重优势：

  • 高燃料效率：由于高比冲，单位质量的燃料能够提供更长时间的推力，整体燃料消耗降低。

  • 轨道控制精度高：连续推力使得轨道调整过程更加平滑，轨道参数变化更加可控，适用于需要高精度轨道调整的任务。

  • 减轻结构负担：低推力系统的推力较小，可减少航天器结构对推力的承受需求，降低整体发射质量。

  例如，在深空探测任务中，低推力推进系统能够在长时间内逐步调整航天器轨道，实现高效的深空转移，同时节省大量燃料，使探测器具备更长的任务寿命和更广泛的探测范围。

声明

本文为作者在学习航天器轨道力学过程中所做的笔记，旨在记录和分享学习心得。部分内容由AI辅助，仅供学习交流之用，准确性请以权威资料为准。