1.AVL树的概念

二叉搜索树虽然可以提高查找的效率，但是如果数据有序或者接近有序，二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。为了解决该问题，于是就有了AVLTree。即当向二叉搜索树中插入新节点后，如果能保证每个节点的左右子树高度差的绝对值不超过1(需要对数中的节点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

AVL树可以是空树，也可以是具有以下性质的二叉搜索树：

1）它的左右子树都是AVL树；

2）左右子树高度差（简称平衡因子=右子树高度-左子树高度）的绝对值不超过1(-1/0/1)。

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，该树就是AVL树。如果该树有N个节点，其高度可保持在O(logN)，搜索时间复杂度O(logN)。

2.实现AVL树

2.1 AVL树节点的定义

由于要实现AVL树的增删查改，所以要定义AVL树的节点，就需要定义parent，否则插入节点时，不知道要链接到树中哪个节点下面。

template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode<K, V>* _left;//指向左子树AVLTreeNode<K, V>* _right;//指向右子树AVLTreeNode<K, V>* _parent;//指向父亲节点pair<K, V> _kv;//用pair存储一对值int _bf;//平衡因子AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv):_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_kv(kv),_bf(0){}
};

2.2 AVL树插入节点

AVL树就是在二叉搜索树的基础张引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：1.按照二叉搜索树的方式插入新节点；2.调整节点的平衡因子。

2.2.1 按二叉搜索树的方式插入新节点

插入新节点需要先判断树是否为空：(1)若为空，让该节点作为根节点；(2)若不为空，分为3种情况：①要插入节点的key值比当前节点的key值小，向左走；②要插入节点的key值比当前节点的key值大，向右走。③要插入节点的key值与当前节点的key值相等，插入失败。

template<class K,class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K,V> Node;
public://往AVLTree中插入节点，插入成功返回true，插入失败返回falsebool Insert(const pair<K, V>& kv){//1、先按照二叉搜索树的规则插入节点//如果二叉搜索树为空，则将新插入的节点作为根节点if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first <= kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (kv.first > parent->_kv.first)parent->_right = cur;elseparent->_left = cur;//反向链接父节点cur->_parent = parent;//2、更新平衡因子}private:Node* _root = nullptr;
};

2.2.2 调整节点的平衡因子

更新前：

在插入新节点之前，parent的平衡因子分为三种情况：-1、0、1。新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏。一个节点的平衡因子是否需要更新，取决于它的左右子树的高度是否发生变化。如果插入节点后，它的父节点到根节点路径上的部分节点的平衡因子发生改变，那么需要对这些节点进行更新，以保持树的平衡。

①如果新增节点插入到父亲节点的左侧(cur==parent->left)，那么父亲节点的平衡因子-1，parent->_bf--；

②如果新增节点插入到父亲节点的右侧(cur==parent->right)，那么父亲节点的平衡因子+1，parent->_bf++；

更新后：

此时parent的平衡因子可能有三种情况：0、正负1、正负2。

①如果parent的平衡因子为0，说明插入新节点之前parent平衡因子为正负1，插入新节点后被调整为0，此时满足AVL树的性质，插入成功；

②如果parent的平衡因子为正负1，说明插入新节点前parent的平衡因子一定为0，插入新节点后被更新为正负1，此时以parent为根的树高度增加，需要继续向上更新；

③如果parent的平衡因子为正负2，则parent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理。

//2、更新平衡因子
while (parent)
{//1、首先计算插入节点后，父亲节点的平衡因子if (cur == parent->_right){parent->_bf++;}else{parent->_bf--;}//2、根据更新后的parent节点的平衡因子，//进一步判断parent是否需要进行进一步的更新调整if (parent->_bf == 0){//parent->_bf==0,说明以parent为根节点的子树高度不变，更新结束。break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){//说明以parent为根节点的子树高度变高了，继续往上更新cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//此时，以parent为根节点的子树出现不平衡了，需要进行旋转处理。//1、旋转的前提是保持它依旧是搜索二叉树；//2、旋转成平衡树if (parent->_bf == 2){if (cur->_bf == 1){//新节点插入较高右子树的右侧，需要进行左单旋RotateL(parent);//左单旋}else if (cur->_bf == -1){//新节点插入较高右子树的左侧，先右单旋、再左单旋RotateRL(parent);}}else if (parent->_bf == -2){if (cur->_bf == -1){//新节点插入较高左子树的左侧，需要进行右单旋RotateR(parent);}else if (cur->_bf == 1){//新节点插入较高左子树的右侧，先左单旋、再右单旋RotateLR(parent);}}//旋转完成后，子树的高度恢复到了插入节点前的高度//如果是子树，对上一层没有影响，更新结束。break;}
}

2.2.3 旋转调整

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之恢复平衡。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为4种。①左单旋、②右单旋、③左右旋转、④右左旋转。

2.2.3.1 新节点插入较高右子树的右侧--左单旋

插入新节点前，AVL树是平衡的，新节点插入到以60为根节点的右子树，那么以60为根节点的右子树增加了一层，导致以30为根节点的二叉树不平衡。为了让以30为根节点的二叉树平衡，让30的右子树高度减小1，并把60的左子树的高度增加1。因此，要把60的右子树往上提，把30转下来，因为30比60小，所以30只能放在60的左子树上。而60的左子树节点的值比60小、比30大，因此只能将60的左子树放在30的右子树上。如下图所示：

此外，在写左旋转的代码时还应考虑到以下两种情况：

①节点subR的左孩子节点可能存在、也可能不存在；

②parent节点可能时根节点，也可能时子树；如果是根节点，左旋转操作只会，需要跟新根节点。如果是子树，可能是左子树也可能是右子树，此时需要将parent节点的父亲节点的左或右指向subR节点，subR节点的_parent指针指向parent节点的父亲节点。

//(1)左单旋
void RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;Node* ppNode = parent->_parent;parent->_parent = subR;//1、如果原来parent是这棵树的根节点，左旋转完成后subR节点变成这棵树的根节点if (ppNode == nullptr){_root = subR;subR->_parent == nullptr;}else{if (ppNode->_left == parent)ppNode->_left = subR;elseppNode->_right = subR;subR->_parent = ppNode;}//左旋转完成之后，调整节点parent和subR的平衡因子parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

2.2.3.2 新节点插入较高左子树的左侧--右单旋

插入节点前，AVL树是平衡的，新节点插入到节点30的左子树上，那么节点30的左子树增加了一层，导致以节点60为根节点的二叉树不平衡。为了让以60为根节点的二叉树恢复平衡，让30的左子树高度减少一层，并把60的右子树的高度增加一层。因此，需要将节点30的左子树往上提，同时将节点60转下来。因为节点60比节点30大，因此只能将节点60放在节点30的右子树上。而节点30的右子树的值比30大、比60小，因此只能将节点30的右子树放在节点60的左子树上，最后更新平衡因子。如下图所示：

//(2)右单旋
void RotateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;Node* ppNode = parent->_parent;parent->_parent = subL;if (parent == _root){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_left == parent)ppNode->_left = subL;elseppNode->_right = subL;subL->_parent = ppNode;}subL->_bf = parent->_bf = 0;
}

2.2.3.3 新节点插入较高左子树的右侧--先左单旋再右单旋

插入新节点前，AVL树是平衡的，新节点插入到以60为根节点的左子树上。那么以60为根节点的左子树增加了一层，导致以90为根节点的左子树高度+1。为了让以90为根节点的二叉树恢复平衡，只能让以90为根节点的左子树的高度减小一层。此时分为两步：①先把以30为根的二叉树左单旋；②再把以60为根节点的二叉树右单旋。

//(3)左-右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == 1){parent->_bf = 0;subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;}else if (bf == -1){parent->_bf = 1;subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else if (bf == 0){parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}
}

2.2.3.4 新节点插入较高右子树的左侧--先右单旋再左单旋

插入新节点前，AVL树是平衡的，新节点插入到以60为根节点的二叉树的右子树上，那么以60为根节点的右子树增加了一层，导致以30为根节点的二叉树不平衡。为了让以30为根节点的二叉树平衡，只能让以30为根节点的右子树的高度减小一层。此时，需要旋转两次：①先把90右单旋；②再把30左旋转。

//(4)右-左双旋
void RotateRL(Node*parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 1){parent->_bf = -1;subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else if (bf == -1){parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;}else if (bf == 0){parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}
}

3.AVL树的高度

计算树的高度肯定要借助递归计算：①计算左右子树的高度；②谁的高度大，那么AVL树的高度就为较高子树的高度+1。

//2、AVLTree的高度
int _Height(Node* root)
{if (root == nullptr)return 0;int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}int Height()
{return _Height(_root);
}

4.判断二叉树是否为AVL树

如何检查AVL树是否合法？答案是通过平衡因子检查，平衡因子反映的是左右子树的高度差，计算出左右子树的高度只差，并与当前节点的平衡因子进行比较，如果发现不同，则说明AVL树非法。或者如果当前节点的平衡因子取值范围不再[-1,1]内，也可以判断为非法。①获取左右子树的高度；②根据左右子树的高度计算平衡因子；③当平衡因子<=2 || -2是就是平衡的。

//3、判断是否是AVL树
bool _IsBalance(Node* root)
{if (root == nullptr)return true;int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);return abs(leftHeight - rightHeight) < 2&& _IsBalance(root->_left)&& _IsBalance(root->_right);
}bool IsBalance()
{return _IsBalance(_root);
}

4.AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即O(logN)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的（即不会改变）。可以考虑AVL树，但是一个结构经常修改，就不太适合。

AVL树实现的完整代码可参考：AVL树的实现。