【数据结构笔记】搜索树

二叉搜索树

结构特征

搜索

插入

删除

单子节点删除

双子节点删除

平衡二叉搜索树

AVL树

失衡与重平衡

插入失衡

删除失衡

“3+4”平衡重构

伸展树

逐层伸展

双层伸展

插入

删除

红黑树

结构特征

插入

自底向上的染色插入

双红修正

RR-1

RR-2

自顶向下的翻转插入

删除

自底向上的染色删除

双黑修正

自顶向下的翻转删除

B树

结构特征

查找

插入

节点上溢

删除

二叉搜索树

结构特征

任一节点x的左/右子树中，所有非空节点均不大于（不小于）x

必须是所有的非空节点，仅左右孩子不够（左孩子的右孩子可能很大）
一棵二叉树是二叉搜索树当且仅当中序遍历序列是单调非降序列

两棵二叉搜索树等价当且仅当他们有相同的中序遍历序列（上下可变，左右不乱）

换言之，构成两棵二叉搜索树的元素相同

等价变换zig、zag

zig：右单旋转
zag：左单旋转

变换后仍保持二叉搜索树的性质

（《算法导论》练习13.2-2）

度为2的节点有2种转法，度为1的节点有1种转法，从而每种旋转对应一条边，共n-1条边。

（《算法导论》练习13.2-4）

对于任何含n个结点的二叉搜索树，若某节点有左孩子，就右旋，如此会消除一个左孩子-父节点关系，而最多只有n-1个上述的左孩子-父节点关系，从而经至多n-1次旋转就能将其变为一条右链，而左右旋都是可逆的，转变只需要以该右链作为中介。

搜索

中序遍历操作

内部变量_hot指向搜索的终止位置的父节点

如果命中，就是目标节点的父节点
如果未命中，就是目标节点如果存在时的父节点

API返回搜索的终止位置

如果命中，就是目标节点
如果未命中，就是_hot的子哨兵节点

时间复杂度O(h)

插入

先搜索，让_hot指向将增加孩子的节点，再添加子节点

从插入的节点开始，向上更新节点高度

时间复杂度O(h)

删除

单子节点删除

直接把删除节点换成其以子唯一节点为根的子树

删除时利用搜索接口确定节点位置的过程给出当前_hot，它是向上更新节点高度的起点

双子节点删除

用在右子树中的直接后继替换删除节点，原来直接后继是度不为2的节点，化为单子节点删除

_hot设为原来直接后继的父节点，它是向上更新节点高度的起点

/******************************************************************************************
* BST节点删除算法：初除位置x所指癿节点（全局静态模板函数，适用亍AVL、Splay、RedBlack等各种BST）
* 目标x在此前经查找定位，并确认非NULL，故必删除成功；与searchIn不同，调用之前不必将hot置空
* 返回值指向实际被删除节点的接替者，hot指向实际被删除节点的父亲——二者均有可能是NULL
******************************************************************************************/
template <typename T>
static BinNodePosi(T) removeAt (BinNodePosi(T)& x, BinNodePosi(T)& hot) {BinNodePosi(T) w = x; //实际被摘除的节点，初值同xBinNodePosi(T) succ = NULL; //实际被删除节点的接替者if (!HasLChild(*x)) { //若*x的左子树为空，则可succ = x = x->rc; //直接将*x替换为其右子树}else if (!HasRChild(*x)){ //若右子树为空，则可succ = x = x->lc; //对称地处理——注意：此时succ != NULL}else { //若左右子树均存在，则选择x的直接后继作为实际被摘除节点，为此需要w = w->succ(); //（在右子树中）找到*x的直接后继*wswap(x->data, w->data); //交换*x和*w的数据元素BinNodePosi(T) u = w->parent;succ = w->rc; //w一定无左孩子，化为单节点的仅有右孩子情形((u == x) ? u->rc : u->lc) = succ;//如果u是x，即x是w的父节点，此时w在u的右子树中//若不然，因w是x的直接后继，此时w在u的左子树中}hot = w->parent; //记录实际被删除节点的父亲if (succ) {succ->parent = hot; //并将被删除节点的接替者与hot相联}release(w->data);release(w);return succ; //释放被摘除节点，返回接替者
} //release()负责释放复杂结构，与算法无直接关系，见代码包

时间复杂度O(h)

【2014-THU-Fin】由同一组共n个词条构成的任意两棵BST，经O(logn)次zig和zag旋转之后，必可相互转换。（×）

【2016-THU-Fin】在BST中查找365，以下查找序列中不可能出现的是（）
A. 912,204,911,265,344,380,365
B. 89,768,456,372,326,378,365
C. 48,260,570,302,340,380,361,365
D. 726,521,201,328,384,319,365

【2016-THU-Fin】在不改变 BST 和 BinNode 定义的前提下（BinNode 仅存储 parent, data, lc, rc), 设计算法, 使得从节点 𝑥 出发, 查找值为 𝑌 的节点 𝑦 的时间复杂度为 𝑜(𝑑), 𝑑 为节点 𝑥与 𝑦 的距离。要求利用树的局部性, 复杂度与总树高无关, 否则将不能按满分起评。
函数定义式: 参量为 BinNode 𝑥, 𝑦, 𝑇, 返回值为 BinNode 类型, 函数名 fingerSearch
(a) 说明算法思路
(b) 写出伪代码
(c) 在图中画出由值为 6 的点查找值为 17 的点的查找路径
(d) 说明算法时间复杂度为 𝑂(𝑑) （若无法达到, 说明困难在哪）

【2016，2017-THU-Fin】由5个互异节点构成的不同的BST共有（）个。
A. 24
B. 30
C. 36
D. 42
E. 120

平衡二叉搜索树

理想平衡树：n个节点，树高为⌊log_2n⌋的二叉树

适度平衡：n个节点，树高为渐进O(logn)的二叉树

经过单次修改操作，最多只有O(logn)处不再满足适度平衡性条件
可在O(logn)时间内，使这些不适度平衡处重新适度平衡

【2013-THU-Fin】两棵key值顺序一样的BBST经过O(logn)次zig、zag就能互相转化。（）

AVL树

节点v的平衡因子balFac(v) = height(lc(v)) - height(rc(v))

AVL条件：AVL树中所有节点满足|balFac(v)| <= 1

高度为h的AVL树至少含fib(h+3)-1个节点，进而n个节点的AVL树树高是O(logn)的。

失衡与重平衡

记UT(x)是因对节点x的操作而不满足AVL条件的节点集，下假设调整前UT(x)非空

插入失衡

UT(x)中的元素都是x的祖先，其不低于x的祖父节点，且可能一直失衡到根节点

重平衡自下而上逐个修正

右旋转

左旋转

左-右旋转

右-左旋转

如果节点g的X孩子的Y子树插入导致的失衡
- X=Y，在g做X旋转
- X!=Y，先在X孩子做X旋转，再在g做Y旋转
如果插入导致了旋转调整，那么本次插入不改变树高

时间复杂度O(logn)

每种旋转都是就地O(1)时间复杂度算法，每次将消除一个节点的失衡
AVL树树高是O(logn)的，即最多O(logn)次旋转

删除失衡

UT(x)只有1个节点，但可能出现节点的替换（自下而上的失衡传播）；任何进入UT(x)的节点失衡前后高度不变（要是失衡了，删除部分来自更低的部分，但高度取决于更高的子树）

删除导致的旋转调整不保证不改变树高，树高可能降低

时间复杂度O(logn)

“3+4”平衡重构

单次重构为就地O(1)时间复杂度算法（不计更新高度）

【2012-THU-Fin】将[1481,1992]区间内的整数逐一插入到空AVL树中，最后该AVL树的高度是（CD）
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
E. 以上都不对
共512=2^9个元素，至少为9。fib(13)-1=232，也可能是10。

【2013-THU-Fin】（依次）将 0, ..., 2^d−1插入（到初始为空的）AVL一定高度为d（括号部分由新威考研补全）（）

【2014-THU-Fin】设在某新节点插入AVL树后（尚待平衡化时），最低失衡节点为g。若此时g的左、右孩子的平衡因子分别为-1和0，则应通过（C）旋转使之重新恢复平衡。
A. zig
B. zig+zag
C. zag+zig
D. zag
E. 不确定

【2016-THU-Fin】若AVL树插入元素的过程中发生了旋转操作，则树高必不变。（√）

【2016-THU-Fin】如果元素理想随机，那么对二叉搜索树做平衡化处理，对改进其渐进时间复杂度并没有什么实质的作用。（×）

伸展树

利用程序局部性加速

逐层伸展

每当访问一个节点，反复使用左旋右旋将其提升至根节点

分摊复杂度\omega(n)

双层伸展

每当访问一个节点，以两层为单位提升目标节点

两次相反旋转：与逐层伸展相同
两次相同旋转：该路径深度折半（核心）

最后一次可能只有单旋转，不影响整体性能

分摊复杂度O(logn)（习题解析8-2）

最坏情况不会持续发生，这使得分摊的复杂度优于逐层伸展树
- 一旦发生最坏情况，该条路径立刻折半
不能杜绝最坏情况
- 无论采用单层伸展还是双层伸展，连续按顺序访问节点，都能将伸展树变为一条单链
- 此时访问最低节点即为最坏情形，但这种情形最多发生一次
如果k个访问位置高度集中，分摊复杂度为O(logk)

插入

调用BST::search()，确定插入位置，以_hot指示父节点
将_hot所指节点提升为根
将两棵子树分裂，与x拼接为新树

删除

调用BST::search()，确定删除节点
将删除节点x提升至根并删除，两棵子树分裂
选择x的前驱或后继作为新的根节点
- 选前驱，则在左子树中BST::search(x)
- 选后驱，则在右子树中BST::search(x)

【2013-THU-Fin】将2014个数插入splay，第一次访问经过2013次旋转，则是单调插入的。（）

【2014-THU-Fin】即便访问序列不满足局部性（比如完全理想的随机），伸展树依然能保证分摊O(logn)的性能。（√）

【2016-THU-Fin】在任何情况下，伸展树总能保持每次操作𝑂(log 𝑛)的平均复杂度。（）

红黑树

结构特征

视哨兵节点为外部节点与叶节点，所有带关键字的节点都是内部节点

每个节点要么是红色的，要么是黑色的
根节点是黑色的
每个叶节点都是黑色的
任何红节点的两个孩子都是黑节点（进而红节点的父亲也是红结点）
任一节点到其每个后代叶节点的路径上有相同数量的黑节点

黑高bh(x)：从节点x出发到其叶节点路径上经过的黑节点数（不含叶节点）

任何叶节点的黑高都为0
红黑树的黑高等于根节点的黑高

对于有n个内部节点的红黑树，其树高h满足 $\log_2(n+1)\le h \le 2\log_2(n+1)$

（《算法导论》练习13.1-4）

（《算法导论》练习13.1-5）

（《算法导论》练习13.1-6）

（《算法导论》练习13.1-7）

最大时红黑节点在任意一条路径上交替出现，亦即从黑色根节点开始颜色交替向下染色，如果该树是单链且n是偶数，此时比值最大，为1

最小时红黑树中没有红色节点，比值为0

插入

假设插入节点x，将x染为红色

可能出现一个红节点有红色子节点问题，违反性质4

自底向上的染色插入

执行BST::insert()

其父节点是黑色，红黑树性质保持，结束
其父节点是红色
- 其祖父节点必为黑色（否则插入前不是合法红黑树）
- 考虑其父节点的兄弟节点颜色

双红修正

RR-1

如果x叔节点为黑，执行3+4重构，将局部根节点变黑

不改变任何节点的黑高

RR-2

如果x叔节点为红，将x祖父节点染为红

x的祖父节点的黑高+1，其他所有节点均不变
如果x的祖父节点的父节点也是红色的，选择RR-1或RR-2继续修正，此时需修正节点上移2层
因为黑节点可以出现在任意位置，最终将可能被染红的根节点再染黑即可
- 此时树黑高+1

时间复杂度O(logn)

最好情况：一次RR-1完成修正，O(1)
最差情况：一直执行RR-2直到根节点，O(logn)

自顶向下的翻转插入

BST::insert()中search过程内嵌动作，对红黑树重染色

如果某黑节点有两个红孩子，就做一次翻转
- 如果X父节点是黑色，无事发生
- 如果X父节点是红色，那么其叔节点必为黑
  - 如果叔节点是红色，那之前就会做一次翻转，使叔节点和父节点都会变成黑色
  - 做一次RR-1修正
找到插入位置
- 如果父节点是黑色，直接插入
- 如果父节点是红色，那么其叔节点必为黑
  - 做一次RR-1修正

排除了RR-2的情形，只需要执行RR-1即可

（《算法导论》练习13.3-1）

将出现一条有更多黑色节点的路径，z以上的祖先节点的性质5都会被破坏

（《算法导论》练习13.3-6）

在search时将x的诸祖先节点压栈，在自底向上染色中逐步出栈，或采用自顶向下的插入

删除

假设删除节点x

可能出现局部子树黑高下降问题，局部子树的各祖先节点不满足性质5

BST::succ(x)获取x的直接后继r

x与r颜色不同
- 直接交换数据删除物理r节点，与普通二叉树无区别
x与r颜色相同

自底向上的染色删除

双黑修正

自顶向下的翻转删除

【2012-THU-Fin】对红黑树进行插入操作时，进行双红修正，黑高度增加，则（）发生重染色，（）发生结构调整。
A. 必然，必然
B. 必然，可能
C. 必然，必然不
D. 可能，必然
E. 可能，可能
F. 可能，必然不

【2013-THU-Fin】（在初始为空的红黑树中）依次插入（关键码）[0, N)（括号部分由新威考研添加）
（1）写出N = 9的红黑树
（2）写出树高 H 和 N 的通项公式

【2016-THU-Fin】若红黑树插入一个元素后，黑高度增加，则双红修正过程中没有拓扑结构变换，只有重染色操作。（）

B树

m阶B树：m路平衡搜索树

针对I/O的数据结构

活跃的B树根节点常驻内存中
只有一个节点能够留在内存中
- 出去一个进来一个的替换检索

结构特征

上界限制：每个内部节点存有n-1个关键码
下界限制：每个内部节点有n个分支

n不大于m，不小于⌈m/2⌉，即至少是半满的

m阶B树=(⌈m/2⌉,m)-树=⌈m/2⌉-⌈m/2⌉+1-...-m树
- 每个内部节点关键码数应介于⌊m/2⌋和m-1之间
- 每个内部节点引用数应介于⌈m/2⌉和m之间

对于根节点，没有下界限制

如果记其最小度数（最小分支数）为t，t=⌈m/2⌉，那么m=2t-1

其树高需要加上外部哨兵节点高度，即外部节点高度为0

树高为h的m阶B树存储N个关键词，那么 $\log_m(N+1)\le h \le \log_{\left \lceil \frac{m}{2} \right \rceil}\left \lceil \frac{N+1}{2} \right \rceil + 1$ ，即h=\Theta(\log_mN)

（《算法导论》练习18.1-1）

除根节点以外，每个内部节点至少有t-1个关键词，t=1时不是良定义的

（《算法导论》练习18.1-4）

查找

与BST::search()类似

节点内关键词查找采用顺序查找（无需二分）

查找成功，返回目标关键码所在内部节点，_hot指向其父节点
查找失败，返回终点处外部节点，_hot指向其父节点

时间复杂度O(\log_mN)

插入

调用BTree::search()，_hot指向即为插入位置所在内部节点

在节点内再Vector::search()一次即得确切位置

节点上溢

因插入关键词导致的内部节点关键词数量为m

取该节点内第⌈m/2⌉个关键词x提升至父节点

从而父节点内关键词数量+1，对应引用数要+1
- 父节点也可能关键词数量为m，上溢向上传播
- 这个传播最多传播到根节点
- 如果根节点也发生了上溢，由于根节点关键词数量没有下界限制，直接上溢出一个新的根节点即可
  - 此时B树高+1
  - B树增高的唯一可能
以x为界的原内部节点分裂为两个内部节点
- 现在两个内部节点最少有⌊(m-1)/2⌋个关键词，是合法的m阶B树节点
- x两侧的引用分别划分给两个子节点

时间复杂度O(\log_mN)

删除

调用BTree::search()，得到节点位置x后获取其直接前驱BinTree::pred(x)或直接后继BinTree::succ(x)，记为y

如果获取直接前驱，那么y所在内部节点是外部节点的父节点，且y在内部节点的最高Rank位置
如果获取直接后继，那么y所在内部节点是外部节点的父节点，且y在内部节点的最低Rank位置
交换数据后删除y

节点下溢

删除y的动作可能导致原y所在内部节点T关键码数量小于⌊m/2⌋

T一定有左兄弟或右兄弟（因最小度数t不能为1）

如果T的左兄弟L关键码富余（多于⌊m/2⌋个），从其父节点P那要一个，P再找L要一个
如果T的右兄弟R关键码富余（多于⌊m/2⌋个），从其父节点P那要一个，P再找R要一个
如果T的左右兄弟都离下溢不远了（刚好⌊m/2⌋个）
- 选择一个存在的兄弟
- 把他们之间的父节点关键词p拉下来和他们一辈
- 保持顺序性
  - 如果找的左兄弟，就按L-p-T顺序组成一个新的内部节点
  - 如果找的右兄弟，就按T-p-R顺序组成一个新的内部节点
- 这样P的关键词-1，引用也-1
  - 进而P可能继续下溢，从而可能会传播至根节点
    - 如果根节点关键词数量大于1，直接分一个给内部子节点
    - 如果根节点关键词数量为1，把该关键词分出去
      - 此时只有两个分支，用这个关键词将两个内部节点连接
      - 原根节点里空了，删去空壳
        此时B树高-1
        B树降低的唯一可能