CORDIC算法笔记整理

CORDIC算法有两种模式，分别为旋转模式和向量模式。而在数字硬件实现混频处理时，CORDIC算法是比较好的方法，使用的是CORDIC的旋转模式，只需通过移位操作和加法就可以实现频谱搬移的乘法操作。

1 CORDIC算法理解

1.1 单次旋转

对于CORDIC算法的理解先从简单的开始——从一个角度 $\beta$ 的(x1,y1)旋转 $\theta$ 到角度 $\varphi$ 的(x2,y2)，如下图所示。

假设图中圆的半径为L，则有如下的关系：

$cos\beta =\frac{x_{1}}{L}$ ， $sin\beta =\frac{y_{1}}{L}$ ，

$cos(\theta +\beta )=\frac{x_{2}}{L}=cos\theta cos\beta -sin\theta sin\beta$

$sin(\theta +\beta )=\frac{y_{2}}{L}=cos\theta cos+sin\theta sin\beta$

因此可以得出如下关系式：

$x_{2}=x_{1}cos\theta -y_{1}sin\theta$

$y_{2}=x_{1}sin\theta +y_{1}cos\theta$

对上式提出 $cos\theta$ 表示成如下：

$X_{2}=x_{1} -y_{1}tan\theta=\frac{x_{2}}{cos\theta }$

$Y_{2}=x_{1}tan\theta +y_{1}=\frac{y_{2}}{cos\theta }$

因此每次旋转一个角度 $\theta$ 对应的x和y都会有个缩放因子 $cos\theta$ ，旋转结束后需要将总的缩放系数还原。

1.2 多次旋转

上面将的是将一个角度进行单次旋转到另一个角度的表示，如果一个角度需要旋转多次逼近目标旋转角度，可以将单次旋转进行多次，用矩阵的方式来表示则更容易理解，矩阵形式如下图所示。

以此类推，可以推出（x2,y2）到（x1,y1），（x1,y1）到（x0,y0）的旋转矩阵。

此时缩放系数也好理解，就是 $K=cosA_{0}cosA_{1}cosA_{2}.....cosA_{n-1}$ 。只要n取得足够大，缩放系数 $K$ 就无限接近1.647，因此1.647也被用作缩放系数常数。

从（x0,y0）到（x1,y1）旋转第一次的角度记为 $\theta _{0}$ ，从（x1,y1）到（x2,y2）旋转第一次的角度记为 $\theta _{1}$ ，……而我们旋转的角度为 $A=A_{0}+A_{1}+A_{2}+...+A_{n}$ ，因此只需要知道我们需要旋转的角度，就可以实现通过一系列小角度 $A_{n}$ 的连续旋转来完成。如果规定每次旋转的角度为 $tanA_{n}=2^{-n}$ ，则有利于硬件实现，可以用查表的方式实现 $tanA_{n}$ 的计算。

n	$A_{n}$	$tan(A_{n})$
0	45	$2^{-0}$
1	26.55	$2^{-1}$
2	14.03	$2^{-2}$

n		$2^{-n}$

上图中的 $s_{n}2^{-n}=tanA_{n}$ ，由于 $A_{n}$ 的角度范围为( $-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$ )， $tanA_{n}$ 取值存在负数，而正切表中存放的是正数 $2^{-n}$ ，故 $s_{n}$ 为符号位，对应当前输入 $A_{n}$ 位于( $-\frac{\pi}{2}, 0$ )还是( $0, \frac{\pi}{2}$ )，大于0则符号位为正，小于0则符号位为负。

2 CORDIC在频谱搬移数字实现中的应用

频谱搬移包括了上变频（DUC）和下变频（DDC），其实现的理论框图如下图所示。

他们可以通过NCO（数控振荡器）产生特定频率的载波信号实现频谱的搬移，也可以通过CORDIC算法实现频谱的搬移。前者需要用到乘法器和NCO模块，对于硬件资源很紧俏的情况，一般会选择CORDIC算法，因为它只需要通过加法器和移位器实现。

在DDC中输入信号表示为 $cos(w_{b}t+w_{c}t+\varphi )$ 和 $sin(w_{b}t+w_{c}t+\varphi )$ ，其中 $w_{b}t=2\pi f_{b}t$ ， $w_{c}t=2\pi f_{c}t$ ， $f_{b}$ 为信号频率， $f_{c}$ 为载波频率， $\varphi$ 为固定相位。DDC的目标是去掉载波，保留信号，即最终需要的是信号为 $cos(w_{b}t )$ ，即需要将输入信号旋转的角度为 $\Theta =w_{c}t+\varphi$ ，其中 $t=nT=n\frac{1}{f_{s}}=\frac{n}{f_{s}}$ ，T为采样周期， $f_{s}$ 为采样率。因此DDC输入信号可表示为 $cos(\frac{2nf_{b}\pi}{f_{s}}+\frac{2nf_{c}\pi}{f_{s}}+\varphi )$ 和 $sin(\frac{2nf_{b}\pi}{f_{s}}+\frac{2nf_{c}\pi}{f_{s}}+\varphi )$ ，因此DDC每次输入以下信号的瞬时相位为 $\frac{2nf_{b}\pi}{f_{s}}+\frac{2nf_{c}\pi}{f_{s}}+\varphi$ ，需要旋转的角度为 $\frac{2nf_{c}\pi}{f_{s}}+\varphi$ 。

换一种方式理解，由于数字系统的输入数据是连续不断的，每个输入数据为 $cos(\frac{2nf_{b}\pi}{f_{s}}+\frac{2nf_{c}\pi}{f_{s}}+\varphi )$ ，也就是说每个输入数据需要去掉的相位为 $\frac{2nf_{c}\pi}{f_{s}}+\varphi$ ，即只需要知道输入信号的初始相位 $\varphi$ 和相位步进 $\frac{2f_{c}\pi}{f_{s}}$ 以及输入的序号n，便可知道每个输入数据对应需要去掉的相位。

输入的数据都需要将 $\frac{2nf_{c}\pi}{f_{s}}+\varphi$ 旋转到0，即每个输入数据都需要旋转多次将角度逼近0，旋转的次数越多越逼近0，次数越多逼近的角度越小，具体需要旋转的次数依据算法能接受的算法性能和精度来选取。

同样的在DUC中输入信号为 $cos(\frac{2nf_{b}\pi}{f_{s}})$ 和 $sin(\frac{2nf_{b}\pi}{f_{s}})$ ，在DUC后需要输出的信号为 $cos(\frac{2nf_{b}\pi}{f_{s}}+\frac{2nf_{c}\pi}{f_{s}}+\varphi )$ 和 $sin(\frac{2nf_{b}\pi}{f_{s}}+\frac{2nf_{c}\pi}{f_{s}}+\varphi )$ ，因此旋转的角度依然是 $\frac{2nf_{c}\pi}{f_{s}}+\varphi$ 。