逆序数

题目描述

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运行代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{ll n,k;cin>>n>>k;ll sum=(n*(n-1))/2;cout<<sum-k<<endl;return 0;
}

代码思路

1. 组合数的计算：在数学中，从 n 个不同元素中选取 m 个元素的组合数记为 C(n,m)，计算公式为 C(n,m)=n!/(m!(n - m)!)。当 m = 2 时，即 C(n,2)=n*(n - 1)/2，这是因为 n! 中分子部分是 n*(n - 1)*(n - 2)!，而 2! = 2*1，约分后得到 n*(n - 1)/2。

2. 整体逻辑：首先根据输入的 n 计算出 n 个不同元素中选两个元素的组合数 sum。然后减去给定的 k 值，得到最终的结果并输出。这个结果可能代表在某种特定情境下，除去特定的 k 种情况后，剩余的组合数量。

构造mex

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运行代码

#include <iostream>
using namespace std;#define ll long longconst int mod = 998244353;void solve() {ll n, m, k;cin >> n >> m >> k;if (k == 0) {if (n < m) {cout << "NO\n";} else {cout << "YES\n";for (int i = 1; i < m; i++) {cout << "1 ";}cout << n - m + 1 << "\n";}} else if (k == 1) {if (n == 1 || m == 1) {cout << "NO\n";} else {cout << "YES\n";cout << n << " ";for (int i = 1; i < m; i++) {cout << "0 ";}cout << "\n";}} else {ll nd = (k) * (k - 1) / 2;if (nd > n || k > m) {cout << "NO\n";} else {ll lst = n - nd;if (k == m) {if (lst == 0) {cout << "YES\n";for (int i = 0; i < k; i++) {cout << i << " ";}cout << "\n";} else {cout << "NO\n";}} else if (lst == k) {if (m >= k + 2) {cout << "YES\n";cout << 1 << " " << lst - 1 << " ";for (int i = 0; i < k; i++) {cout << i << " ";}ll ss = m - k - 2;for (int i = 0; i < ss; i++) {cout << "0 ";}cout << "\n";} else {cout << "NO\n";}} else if (m >= k + 1) {cout << "YES\n";cout << lst << " ";for (int i = 0; i < k; i++) {cout << i << " ";}ll ss = m - k - 1;for (int i = 0; i < ss; i++) {cout << "0 ";}cout << "\n";} else {cout << "NO\n";}}}
}int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);int tn;cin >> tn;while (tn--) {solve();}return 0;
}

代码思路

1. 定义了一些常量和变量，包括 mod 用于取模运算，n、m、k 用于存储输入的数值，nd 用于计算特定的数值，lst 用于存储计算后的结果。
2. solve 函数是核心函数，用于解决问题。
   • 当 k == 0 时，如果 n < m，则输出 "NO"；否则，输出 "YES"，并输出 m - 1 个 1 和一个 n - m + 1。
   • 当 k == 1 时，如果 n == 1 或 m == 1，则输出 "NO"；否则，输出 "YES"，并输出一个 n 和 m - 1 个 0。
   • 当 k > 1 时，计算 nd = (k) * (k - 1) / 2，如果 nd > n 或 k > m，则输出 "NO"；否则，计算 lst = n - nd。
     • 如果 k == m 且 lst == 0，则输出 "YES" 并输出 0 到 k - 1 的序列。
     • 如果 lst == k 且 m >= k + 2，则输出 "YES" 并按照特定格式输出序列。
     • 如果 m >= k + 1，则输出 "YES" 并按照另一种特定格式输出序列。
     • 否则，输出 "NO"。
3. 在 main 函数中，通过 ios::sync_with_stdio(false) 和 cin.tie(0) 进行输入输出流的优化。然后读取测试用例的数量 tn，并在循环中调用 solve 函数进行处理。

小红的X型矩阵

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运行代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define int long long
#define endl '\n'
const int N = 1010;
const int MOD = 1e9 + 7;void solve() {int n;std::cin >> n;std::vector<std::vector<int>> num(n, std::vector<int>(n));std::vector<int> h(n, 0);std::vector<int> l(n, 0);int cnt = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {std::cin >> num[i][j];if (num[i][j]) {cnt++;h[(i + j) % n]++;l[(i - j + n) % n]++;}}}int mint = 1e9;if (n % 2 == 1) {for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {int temp = h[(i + j) % n] + l[(i - j + n) % n];if (num[i][j]) temp--;int k = (2 * n - 1 - temp) + (cnt - temp);mint = std::min(mint, k);}}} else {for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {int temp = h[(i + j) % n] + l[(i - j + n + 1) % n];int k = (2 * n - temp) + (cnt - temp);mint = std::min(mint, k);}}}std::cout << mint << endl;
}signed main() {std::ios::sync_with_stdio(0);std::cin.tie(0);int t = 1;while (t--) solve();return 0;
}

代码思路

一、整体思路

1. 定义问题规模和常量：N表示矩阵的最大尺寸，这里设置为 1010。MOD是一个常量，可能用于某些计算中的取模操作，设置为 1e9 + 7。

2. 定义solve函数来解决问题：

   • 读入整数n，表示矩阵的边长。
   • 创建一个二维向量num来存储输入的矩阵，同时创建两个长度为n的向量h和l，分别用于统计特定方向上的元素数量。
   • 通过双重循环遍历输入矩阵，对于每个位置(i, j)：读入矩阵元素num[i][j]。如果该元素为非零值，则增加计数变量cnt，并更新h和l向量中对应位置的值。具体来说，通过(i + j) % n和(i - j + n) % n的计算结果来确定在h和l向量中的位置，并将对应位置的值加一。
   • 初始化变量mint为一个较大的值（1e9）。
   • 如果n是奇数：通过三重循环遍历矩阵的每个位置(i, j)。计算变量temp，它是对应位置在h和l向量中的值之和，如果当前位置的矩阵元素为非零值，则减一。计算变量k，根据特定的公式(2 * n - 1 - temp) + (cnt - temp)。更新mint为mint和k的较小值。
   • 如果n是偶数：与奇数情况类似，通过三重循环遍历矩阵的每个位置(i, j)。计算变量temp，这里的计算方式略有不同，使用(i - j + n + 1) % n来更新l向量中的位置。计算变量k，公式为(2 * n - temp) + (cnt - temp)。更新mint为mint和k的较小值。
   • 最后输出mint，即最小的操作次数。

3. 在main函数中：设置输入输出流的同步，并初始化随机数生成器。读入整数t，表示测试用例的数量，这里固定为 1。调用solve函数来解决问题。

二、原理说明

1. h和l向量的作用：h向量用于统计矩阵中沿着特定对角线方向（通过(i + j) % n确定）上的非零元素数量。l向量用于统计矩阵中沿着另一个对角线方向（通过(i - j + n) % n或(i - j + n + 1) % n确定，取决于n的奇偶性）上的非零元素数量。

2. 计算最小操作次数的原理：

   • 对于奇数n和偶数n，分别采用不同的计算公式来计算最小操作次数。
   • 计算公式中的各个部分分别代表不同的含义：2 * n - 1 - temp或2 * n - temp可能表示在某种情况下需要进行的操作次数，与矩阵的大小和当前状态有关。cnt - temp可能表示另一部分操作次数，与非零元素的总数和当前状态下特定方向上的非零元素数量有关。
   • 通过遍历矩阵的所有位置，计算每个位置对应的操作次数，并取最小值作为最终的结果。