52. 携带研究材料

这是一个完全背包问题，就是每个物品可以无限放。
在一维滚动数组的时候规定了遍历顺序是要从后往前的，就是因为不能多次放物体。
所以这里能多次放物体只需要把遍历顺序改改就好了

# include<iostream>
# include<vector>
using namespace std;
int main(){int n,m;cin>>n>>m;std::vector<int> weight(n);std::vector<int> value(n);for(int i=0;i<n;i++){cin>>weight[i]>>value[i];}std::vector<int> dp(m+1,0);dp[0]=0;for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<m+1;j++){if(j-weight[i]>=0)dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);}}cout<<dp[m];}

遍历顺序

在最开始的01背包时，用二维数组dp来表示，dp[i][j]的状态是由它上方的dp[i-1][j]和左上方的数得到。而把他表示成一维的后，就相当于dp[i-1][j]被更新了，所以会对第i行 j后面的列产生多次放入的影响。因此要从后往前遍历。
至于为什么纯01，一维数组不能先遍历背包后遍历物品：
首先它要从背包的倒叙开始遍历。在它需要前面空间的数据时它会是空的！（0，1，2，3）所以不行

而在本题中，由于可以重复放置，使得遍历背包是从正序开始遍历的，即使先遍历背包再遍历物品，也可以用到前面的数据，!

518.零钱兑换II

题目
给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。

class Solution {
public:int change(int amount, vector<int>& coins) {vector<int> dp(amount+1,0);//j代表当前的总金额，dp[j]代表凑到当前金额的方法。//如果不放入coins[i]，办法为不放i的总方法，放了i后，为dp[j-coins[i]]dp[0]=1;//如果要求总额为0的话，那就for(int i=0;i<coins.size();i++){if(coins[i]<amount+1)dp[coins[i]]++;for(int j=coins[i];j<amount+1;j++){dp[j]+=dp[j-coins[i]];//这样在碰到j=coins[i]时可以直接给它加一种填法}}return dp[amount];}
};

如果先遍历背包再遍历物品的话，那么dp[3]可以先取coin[0]=1，然后再考虑如何把大小为2的空间填满，会用到（1；（1，1））和（1；（2））
然后再取coin[1]=2，考虑把大小为1的空间填满，（2，（1））。所以是排列问题。

关键在于它是先填完了上一列的全部，该列最后用到的上一列dp[2]实际是填入了2的，
而如果先填完一层。那dp[3]再考虑把dp[2]填满时就不会用到下一层的coin[1]=2，所以只有到了后面才会出现（1，2）

377. 组合总和 Ⅳ

思路：这题是求排列了，所以要先遍历背包容量，后遍历物品。

dp[j]+=dp[j-nums[i]];

class Solution {
public:int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {vector<int> dp(target+1,0);dp[0]=1;for(int j=0;j<target+1;j++){for(int i=0;i<nums.size();i++){if(j-nums[i]>=0&& dp[j] < INT_MAX - dp[j - nums[i]])dp[j]+=dp[j-nums[i]];}}return dp[target];}
};

C++测试用例有两个数相加超过int的数据，所以需要在if里加上dp[i] < INT_MAX - dp[i - num]。

70. 爬楼梯

之前写是dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]的思路
现在这个也可以看成一个完全背包问题。
1-m的数可以多次选取。且（1，2）和（2，1）是两个完全不同的答案。
所以应该先遍历背包容量，再遍历物品。

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int main(){int n,m;cin>>n>>m;std::vector<int> dp(n+1,0);std::vector<int> steps(m,0);for(int i=0;i<m;i++){steps[i]=i+1;}dp[0]=1;for(int j=1;j<n+1;j++){for(int i=0;i<m;i++){if(j-steps[i]>=0){dp[j]+=dp[j-steps[i]];}}}cout<<dp[n];return 0;}