二叉树–堆（上卷）
树
树的概念与结构
树是⼀种⾮线性的数据结构，它是由 n（n>=0） 个有限结点组成⼀个具有层次关系的集合。把它叫做 树是因为它看起来像⼀棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，⽽叶朝下的。
• 有⼀个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点。
• 除根结点外，其余结点被分成 M(M>0) 个互不相交的集合 T1、T2、……、Tm ，其中每⼀个集合 Ti(1 <= i <= m) ⼜是⼀棵结构与树类似的⼦树。每棵⼦树的根结点有且只有⼀个前驱，可以 有 0 个或多个后继。因此，树是递归定义的。
树形结构中，⼦树之间不能有交集，否则就不是树形结构
⾮树形结构：
- ⼦树是不相交的（如果存在相交就是图了）
- 除了根结点外，每个结点有且仅有⼀个⽗结点
- ⼀棵N个结点的树有N-1条边
树相关术语
⽗结点/双亲结点： 若⼀个结点含有⼦结点，则这个结点称为其⼦结点的⽗结点； 如上图：A是B的⽗ 结点
⼦结点/孩⼦结点： ⼀个结点含有的⼦树的根结点称为该结点的⼦结点； 如上图：B是A的孩⼦结点
结点的度： ⼀个结点有⼏个孩⼦，他的度就是多少；⽐如A的度为6，F的度为2，K的度为0
树的度： ⼀棵树中，最⼤的结点的度称为树的度； 如上图：树的度为 6
**叶⼦结点/终端结点：**度为 0 的结点称为叶结点； 如上图： B、C、H、I… 等结点为叶结点
分⽀结点/⾮终端结点： 度不为 0 的结点； 如上图： D、E、F、G… 等结点为分⽀结点
兄弟结点： 具有相同⽗结点的结点互称为兄弟结点(亲兄弟)； 如上图： B、C 是兄弟结点
**结点的层次：**从根开始定义起，根为第 1 层，根的⼦结点为第 2 层，以此类推；
**树的⾼度或深度：**树中结点的最⼤层次； 如上图：树的⾼度为 4
**结点的祖先：**从根到该结点所经分⽀上的所有结点；如上图： A 是所有结点的祖先
**路径：**⼀条从树中任意节点出发，沿⽗节点-⼦节点连接，达到任意节点的序列；⽐如A到Q的路径为： A-E-J-Q；H到Q的路径H-D-A-E-J-Q
⼦孙： 以某结点为根的⼦树中任⼀结点都称为该结点的⼦孙。如上图：所有结点都是A的⼦孙
森林： 由 m（m>0） 棵互不相交的树的集合称为森林；
==注意点：==上面这些概念特别需要关注的是度，深度的概念要好好理解，其他和人类社会的关系差不多
树的表示
孩⼦兄弟表⽰法：
树结构相对线性表就⽐较复杂了，要存储表⽰起来就⽐较⿇烦了，既然保存值域，也要保存结点和结 点之间的关系，实际中树有很多种表⽰⽅式如：双亲表⽰法，孩⼦表⽰法、孩⼦双亲表⽰法以及孩⼦ 兄弟表⽰法等。我们这⾥就简单的了解其中最常⽤的孩⼦兄弟表⽰法
struct TreeNode
{
struct Node* child; // 左边开始的第⼀个孩⼦结点
struct Node* brother; // 指向其右边的下⼀个兄弟结点
int data; // 结点中的数据域
};
树形结构实际运⽤场景
⽂件系统是计算机存储和管理⽂件的⼀种⽅式，它利⽤树形结构来组织和管理⽂件和⽂件夹。在⽂件 系统中，树结构被⼴泛应⽤，它通过⽗结点和⼦结点之间的关系来表⽰不同层级的⽂件和⽂件夹之间 的关联。
接下来，我们要引入一个非常重要且应用非常广泛的概念叫做二叉树
二叉树是树形结构的一种
二叉树
概念与结构
在树形结构中，我们最常⽤的就是⼆叉树，⼀棵⼆叉树是结点的⼀个有限集合，该集合由⼀个根结点 加上两棵别称为左⼦树和右⼦树的⼆叉树组成或者为空。
从上图可以看出⼆叉树具备以下特点：
-
⼆叉树不存在度⼤于 2 的结点 （也就是说度只有0，1，2，三种情况）
-
⼆叉树的⼦树有左右之分，次序不能颠倒，因此⼆叉树是有序树
注意：对于任意的⼆叉树都是由以下⼏种情况复合⽽成的
现实中的⼆叉树
特殊的⼆叉树
满⼆叉树
⼀个⼆叉树，如果每⼀个层的结点数都达到最⼤值，则这个⼆叉树就是满⼆叉树。也就是说，如果⼀ 个⼆叉树的层数为 K ，且结点总数是 2k − 1 ，则它就是满⼆叉树。
完全二叉树
完全⼆叉树是效率很⾼的数据结构，完全⼆叉树是由满⼆叉树⽽引出来的。对于深度为 K 的，有 n 个 结点的⼆叉树，当且仅当其每⼀个结点都与深度为K的满⼆叉树中编号从 1 ⾄ n 的结点⼀⼀对应时称 之为完全⼆叉树。要注意的是满⼆叉树是⼀种特殊的完全⼆叉树。
（也就是说满二叉树是完全二叉树，但是完全二叉树不是满二叉树）
注意点：
💡 ⼆叉树性质
根据满⼆叉树的特点可知：
1）若规定根结点的层数为 1 ，则⼀棵⾮空⼆叉树的第i层上最多有 2i−1 个结点
2）若规定根结点的层数为 1 ，则深度为 h 的⼆叉树的最⼤结点数是 2h-1
3）若规定根结点的层数为 1 ，具有 n 个结点的满⼆叉树的深度 h=log2(n+1)( log 以2为底， n+1 为对数)
注意点：2)和上面提到的k就相当于换了个字母，3）2h-1=n去进行计算
⼆叉树存储结构
⼆叉树⼀般可以使⽤两种结构存储，⼀种顺序结构，⼀种链式结构。
顺序结构
顺序结构存储就是使⽤数组来存储，⼀般使⽤数组只适合表⽰完全⼆叉树，因为不是完全⼆叉树会有 空间的浪费，完全⼆叉树更适合使⽤顺序结构存储。
现实中我们通常把堆（⼀种⼆叉树）使⽤顺序结构的数组来存储，需要注意的是这⾥的堆和操作系统 虚拟进程地址空间中的堆是两回事，⼀个是数据结构，⼀个是操作系统中管理内存的⼀块区域分段。
链式结构
⼆叉树的链式存储结构是指，⽤链表来表⽰⼀棵⼆叉树，即⽤链来指⽰元素的逻辑关系。 通常的⽅法 是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别⽤来给出该结点左孩⼦和右孩 ⼦所在的链结点的存储地址 。
链式结构⼜分为⼆叉链和三叉链，这里是初阶数据结构，我们重点讨论二叉链。
实现顺序结构二叉树
⼀般堆使⽤顺序结构的数组来存储数据，堆是⼀种特殊的⼆叉树，具有⼆叉树的特性的同时，还具备 其他的特性。
堆的概念与结构
如果有⼀个关键码的集合 ，把它的所有元素按完全⼆叉树的顺序存储⽅ 式存储，在⼀个⼀维数组中，并满⾜： （ 且 ）， i = 0、1、2… ，则称为⼩堆(或⼤堆)。将根结点最⼤的堆叫做最⼤堆或⼤根堆，根结点最⼩的堆 叫做最⼩堆或⼩根堆。
堆具有以下性质
• 堆中某个结点的值总是不⼤于或不⼩于其⽗结点的值；
• 堆总是⼀棵完全⼆叉树。
注意点： 小堆堆顶是堆最小值；
大堆堆顶是堆最大值。
数组不一定是有序的
💡 ⼆叉树性质
• 对于具有 n 个结点的完全⼆叉树，如果按照从上⾄下从左⾄右的数组顺序对所有结点从 0 开始编号，则对于序号为 i 的结点有：
- 若 i>0 ， i 位置结点的双亲序号： (i-1)/2 ； i=0 ， i 为根结点编号，⽆双亲结点
- 若 2i+1<n,左孩⼦序号： 2i+1 >=n,否则⽆左孩⼦
- 若 2i+2<n ,右孩⼦序号：2i+2>=n,否则无右孩子
注意点：
性质1是子节点去推父节点；性质2和3是父节点去计算子节点，父节点–>左孩子：2i+1;右孩子：2i+2
堆的实现
因为堆的底层结构是数组，所以和前面实现顺序表的内容差不多，这里也就不作过多的赘述，可以看我前面写的有关顺序表的博客
链接如下：http://t.csdnimg.cn/ixSyC
但是堆的向上调整算法和堆的向下调整算法是不一样的，也非常的重要
堆的向上调整算法
代码如下：
//交换两个元素
void Swap(int* x, int* y)
{int tmp = *x;*x = *y;*y = tmp;
}
//堆的向上调整算法
void AdjustUp(HPDataType* arr, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0)//此时已经在头结点的位置，不是在根节点，不用等于0{if (arr[child] < arr[parent]){Swap( &arr[parent],&arr[child]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}
堆的向上调整算法是应用于插入数据的
堆的向下调整算法
我们的宗旨是不影响堆这个结构
//堆的向下调整
void AdjustDown(HPDataType* arr, int parent, int n)
{int child = 2 * parent + 1;//左孩子while (child<n){if (child + 1 && arr[child] > arr[child + 1]){child++;//比较孩子大小}if (arr[parent] > arr[child]){Swap( &arr[child],&arr[parent]);}else{break;}}
}
代码如下：
Heap.h
#pragma once
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <assert.h>
#include <stdbool.h>//定义堆的结构--数组
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{HPDataType* arr;int size;//有效的数据个数int capacity;//空间大小
}HP;
void HPInit(HP* php);//初始化
void HPDestory(HP* php);//销毁
void HPPush(HP* php, HPDataType x);//插入数据
void HPPop(HP* php);//删除数据
HPDataType HPTop(HP* php);//取堆顶元素
bool HPEmpty(HP* php);//判空
Heap.c
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include "Heap.h"
//初始化
void HPInit(HP* php)
{assert(php);php->arr = NULL;//首先数组先置空php->size =php->capacity = 0;
}
//销毁
void HPDestory(HP* php)
{assert(php);if (php->arr)//和顺序表的销毁类似，要去判断数组是否存在free(php->arr);php->arr = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}
//交换两个元素
void Swap(int* x, int* y)
{int tmp = *x;*x = *y;*y = tmp;
}
//堆的向上调整算法
void AdjustUp(HPDataType* arr, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0)//此时已经在头结点的位置，不是在根节点，不用等于0{if (arr[child] < arr[parent]){Swap( &arr[parent],&arr[child]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}
//插入数据
void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{//空间不够if (php->size == php->capacity){//扩容int newCapacity=php->capacity == 0?4 : 2 * php->capacity;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->arr,newCapacity*sizeof(HPDataType));if (tmp == NULL){perror("realloc fail!");exit(1);}php->arr = tmp;php->capacity = newCapacity;}//空间足够php->arr[php->size]=x;AdjustUp(php->arr, php->size);++php->size;
}
//堆的向下调整
void AdjustDown(HPDataType* arr, int parent, int n)
{int child = 2 * parent + 1;//左孩子while (child<n){if (child + 1 && arr[child] > arr[child + 1]){child++;//比较孩子大小}if (arr[parent] > arr[child]){Swap( &arr[child],&arr[parent]);}else{break;}}
}
//出堆：出的是堆顶的数据
void HPPop(HP* php)
{assert(php && php->size);//arr[0] arr[size-1]Swap(&php->arr[0], &php->arr[php->size - 1]);//为了不影响总体二叉树的结构--php->size;AdjustDown(php->arr, 0, php->size);//0是堆顶位置对应的下标
}
//判空
bool HPEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}
//取堆顶元素
HPDataType HPTop(HP* php)
{assert(php && php->size);return php->arr[0];
}test.c
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include "Heap.h"
void HPTest01()
{HP hp;HPInit(&hp);int arr[] = { 17,20,10,13,19,15 };for (int i = 0; i < 6; i++){HPPush(&hp, arr[i]);}//打印while (!HPEmpty(&hp)){printf("%d ", HPTop(&hp));HPPop(&hp);}HPDestory(&hp);
}
int main()
{HPTest01();return 0;
}
最终的结果如下：
ert(php && php->size);
return php->arr[0];
}
test.c```C
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include "Heap.h"
void HPTest01()
{HP hp;HPInit(&hp);int arr[] = { 17,20,10,13,19,15 };for (int i = 0; i < 6; i++){HPPush(&hp, arr[i]);}//打印while (!HPEmpty(&hp)){printf("%d ", HPTop(&hp));HPPop(&hp);}HPDestory(&hp);
}
int main()
{HPTest01();return 0;
}
最终的结果如下：
