切割01串问题（dp动态规划问题）

题目概述：

给定一个长度为 𝑛 的 01 串，定义如下操作为一次 “切割”：
将长度大于 1 的字符串分割为两个非空的连续字串，记分割出来的左侧字串 a 中 0 的出现次数为
$C_0$ ，右侧字串 b 中 1 出现的次数为 $C_1$ ，需要满足 $\leq$ | $C_0 - C_1$ | $\leq R$
你每次切割完，都会得到两个新 01 串，你可以继续选择这些已经被你切出来的 01 串做切割，只要满足切割条件。
jackle 想问你最多可以切割多少次？

输入描述：

第一行输入3个整数，n（ $\leq$ n $\leq 500$ ， $(0\leq$ $\leq R$ $\leq 500)$ ,分别表示字符串长度，和题目中的两个参数。
第二行输入1个长度为n的01串。

输出描述：

输出最多能切割多少次

事例

输入

6 2 3
011011

输出

3

说明
其中一种切割次数最多的切法如下：
第一次切割可以切：0 ∣ 11011，然后选择 11011 这个串继续做切割。
第二次切割可以切：1 ∣ 1011，然后选择 1011 这个串继续做切割。
第三次切割可以切：1 ∣ 011。

分析题目： 看到题目中的最多，就应该想到需要用动态规划来解决（当时做的时候懵逼了，没有想出来）。题目就是让我们找有多少个字串满足切割条件，也就是求字串的数量只不过加上了一个限定条件，这样大概框架就有了。

DP
状态表示：dp[i][j]，表示左端点为i，右端点为j的所有满足条件的字串的集合
状态计算：dp[i][j]=max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j] + 1) (k 为切割点)

代码表示：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int N = 505;
// 分别表示长度为N的字符串中0的数量和1的数量
int sum0[N], sum1[N], dp[N][N];
int n, l, r;
string s;
int main(){cin >> n >> l >> r;cin >> s;// 求前缀和// 这里因为我们的前缀和需要从1开始，但字符串是从0开始所以sum0 sum1是i+1才对for(int i = 0; i < s.length(); i ++){sum0[i + 1] = sum0[i] + (s[i]=='0');sum1[i + 1] = sum1[i] + (s[i]=='1');}// 求字串的模板// 字串长度不能取到n，否则就不是字串了for(int len = 1; len < n; len ++){// i为字串的起始位置for(int i = 1; i + len <= n; i ++){// 切割点的位置不能到字串长度的最后一位，否则右字串将是空串for(int j = i; j < i + len; j ++){int c0 = sum0[j] - sum0[i - 1];int c1 = sum1[i + len] - sum1[j];int sub = abs(c0 - c1);if(sub >= l && sub <= r){dp[i][i + len] = max(dp[i][i + len], dp[i][j] + dp[j + 1][i + len] + 1);}}}}cout << dp[1][n];return 0;
}