拓扑排序与有向无环图

1. 什么是拓扑排序

核心思想：根据节点之间的依赖关系进行排序

拓扑排序并非等同于快排等常见算法的应用场景，下面对其进行对比以便明晰拓扑排序的使用场景和排序目的：

快速排序（Quick Sort）

• 目的：对一组数按大小顺序进行排序。
• 应用场景：用于对无序数组进行排序，使得数组中的元素按升序或降序排列。
• 算法思想：通过选择一个基准元素，将数组分成两部分，一部分小于基准元素，另一部分大于基准元素，然后递归地对这两部分进行排序。

拓扑排序（Topological Sort）

• 目的：对有向无环图（DAG）中的节点进行排序，使得对于每一条有向边 ( u -> v )，节点 ( u ) 在排序结果中出现在节点 ( v ) 之前。
• 应用场景：用于表示依赖关系的场景，例如任务调度、课程安排、编译顺序等。
• 算法思想：通过不断移除入度为0的节点，构建一个线性序列，使得每个节点都在其所有前驱节点之后。

主要区别

• 数据结构：快排处理的是数组或列表，而拓扑排序处理的是有向无环图。
• 排序依据：快排根据元素的大小进行排序，而拓扑排序根据图中的依赖关系进行排序。
• 结果：快排的结果是一个按大小顺序排列的数组，而拓扑排序的结果是一个满足依赖关系的节点序列。

2. 拓扑排序与有向无环图之间的契合性

1. 依赖关系：在有向无环图中，每条有向边 ( u -> v ) 表示节点 ( u ) 是节点 ( v ) 的前驱，或者说 ( v ) 依赖于 ( u )。拓扑排序的目标是找到一个线性序列，使得每个节点都在其所有前驱节点之后。
2. 无环性：如果图中存在环，那么就无法找到一个满足所有依赖关系的线性序列。例如，如果存在一个环 ( u -> v -> w ->u )，那么 ( u ) 既需要在 ( v ) 之前，又需要在 ( v ) 之后，这是不可能的。

3. Kahn算法实现拓扑排序

算法思想

Kahn算法的核心思想是通过不断移除入度为0的节点来实现拓扑排序。核心步骤如下：

1. 入度为0的节点：在有向无环图（DAG）中，入度为0的节点是没有任何前驱节点的节点。这些节点可以作为拓扑排序的起点。
2. 移除节点：将入度为0的节点从图中移除，并将其加入拓扑排序结果中。然后，更新其所有邻接节点的入度。
3. 重复过程：重复上述过程，直到所有节点都被移除。如果在某个时刻没有入度为0的节点，但仍有节点未被移除，则说明图中存在环，无法进行拓扑排序。

算法步骤

1. 读取输入：
   • 读取点的个数 ( n ) 和边的条数 ( m )。
   • 初始化一个邻接表 graph 和一个入度数组 in_degree，用于存储每个节点的入度。
2. 构建图和入度数组：
   • 读取每条边的信息，并更新邻接表和入度数组。
   • 邻接表 graph[u] 存储从节点 ( u ) 出发的所有边的终点。
   • 入度数组 in_degree[v] 记录节点 ( v ) 的入度，即有多少条边指向 ( v )。
3. 初始化队列：
   • 创建一个队列 q，用于存储所有入度为0的节点。
   • 遍历所有节点，将入度为0的节点加入队列。
4. 拓扑排序：
   • 创建一个向量 topo_order，用于存储拓扑排序结果。
   • 当队列不为空时，执行以下操作：
     • 从队列中取出一个节点 node，将其加入 topo_order。
     • 遍历 node 的所有邻接节点 neighbor，将这些邻接节点的入度减1。
     • 如果某个邻接节点的入度变为0，则将其加入队列。
5. 检查结果：
   • 如果 topo_order 的大小等于节点数 ( n )，则输出拓扑排序结果。
   • 否则，输出 -1，表示图中存在环，无法进行拓扑排序。

算法代码

// 假定有如下题目：
/*
给定一个包含 n 个点 m 条边的有向无环图，求出该图的拓扑序。若图的拓扑序不唯一，输出任意合法的拓扑序即可。若该图不能拓扑排序，输出-1。
输入描述：
第一行输入两个整数 n，m（1≤n，m＜2·10^5），表示点的个数和边的条数。
接下来的 m 行，每行输入两个整数 Ui，Vi（1≤u，v≤n），表示 Ui 到 Vi 之间有一条有向边。
输出描述：
若图存在拓扑序，输出一行 n 个整数，表示拓扑序。否则输出 -1。
*/#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>int main() {int n, m;std::cin >> n >> m;std::vector<std::vector<int>> graph(n + 1);std::vector<int> in_degree(n + 1, 0);// 读取边并构建图和入度数组for (int i = 0; i < m; ++i) {int u, v;std::cin >> u >> v;graph[u].push_back(v);in_degree[v]++;}std::queue<int> q;// 将所有入度为0的节点加入队列for (int i = 1; i <= n; ++i) {if (in_degree[i] == 0) {q.push(i);}}std::vector<int> topo_order;while (!q.empty()) {int node = q.front();q.pop();topo_order.push_back(node);// 遍历当前节点的所有邻接节点for (int neighbor : graph[node]) {in_degree[neighbor]--;if (in_degree[neighbor] == 0) {q.push(neighbor);}}}// 检查是否所有节点都被排序if (topo_order.size() == n) {for (int i = 0; i < n; ++i) {std::cout << topo_order[i] << " ";}std::cout << std::endl;} else {std::cout << -1 << std::endl;}return 0;
}

4. 深度优先搜索（DFS）实现拓扑排序

算法思想

DFS方法的核心思想是利用递归的回溯特性，在回溯时将节点加入拓扑排序结果中。这样可以确保每个节点都在其所有后继节点之前被处理。通过这种方式，DFS能够有效地找到一个合法的拓扑排序，或者检测到图中是否存在环。

算法步骤

1. 读取输入：
   • 读取点的个数 ( n ) 和边的条数 ( m )。
   • 初始化一个邻接表 graph 和一个访问标记数组 visited。
2. 构建图：
   • 读取每条边的信息，并更新邻接表 graph。
3. 深度优先搜索：
   • 对每个未访问的节点调用DFS函数。
   • 在DFS过程中，递归访问所有邻接节点。
   • 在回溯时，将当前节点压入栈 topo_stack。
4. 输出结果：
   • 检查栈中的节点数是否等于 ( n )。如果不等于，说明图中存在环，无法进行拓扑排序，输出 -1。
   • 否则，依次弹出栈中的节点，输出拓扑排序结果。

算法代码

// 假定有如下题目：
/*
给定一个包含 n 个点 m 条边的有向无环图，求出该图的拓扑序。若图的拓扑序不唯一，输出任意合法的拓扑序即可。若该图不能拓扑排序，输出-1。
输入描述：
第一行输入两个整数 n，m（1≤n，m＜2·10^5），表示点的个数和边的条数。
接下来的 m 行，每行输入两个整数 Ui，Vi（1≤u，v≤n），表示 Ui 到 Vi 之间有一条有向边。
输出描述：
若图存在拓扑序，输出一行 n 个整数，表示拓扑序。否则输出 -1。
*/#include <iostream>
#include <vector>
#include <stack>void dfs(int node, const std::vector<std::vector<int>>& graph, std::vector<bool>& visited, std::stack<int>& topo_stack) {visited[node] = true;for (int neighbor : graph[node]) {if (!visited[neighbor]) {dfs(neighbor, graph, visited, topo_stack);}}topo_stack.push(node);
}int main() {int n, m;std::cin >> n >> m;std::vector<std::vector<int>> graph(n + 1);std::vector<bool> visited(n + 1, false);std::stack<int> topo_stack;// 读取边并构建图for (int i = 0; i < m; ++i) {int u, v;std::cin >> u >> v;graph[u].push_back(v);}// 对每个节点进行DFSfor (int i = 1; i <= n; ++i) {if (!visited[i]) {dfs(i, graph, visited, topo_stack);}}// 检查是否所有节点都被访问if (topo_stack.size() != n) {std::cout << -1 << std::endl;} else {// 输出拓扑排序结果while (!topo_stack.empty()) {std::cout << topo_stack.top() << " ";topo_stack.pop();}std::cout << std::endl;}return 0;
}

5. 总结

拓扑排序是一种用于有向无环图（DAG）的排序算法，旨在根据节点之间的依赖关系生成一个线性序列。本文详细介绍了两种实现拓扑排序的方法：Kahn算法和深度优先搜索（DFS）。Kahn算法通过不断移除入度为0的节点来实现排序，而DFS方法利用递归的回溯特性在回溯时将节点加入排序结果中。两种方法都能有效地检测图中是否存在环，并生成合法的拓扑排序。