数据结构初阶 · 二叉搜索树

前言:

二叉搜索树的实现

二叉搜索树的基本结构

增

查

中序遍历

删

前言:

在最初学习二叉树的时候，就提及到过单独用树来存储数据是既不如链表也不如顺序表的，二叉树的用处可以用来排序，比如堆排序，也可以用来搜索数据，这是二叉树的用处，用来排序可以实现堆，用来搜索数据可以实现二叉搜索树，即今天实现的一种结构。

那么什么是二叉搜索树呢？

即左孩子比根小，右孩子比根大，且所有的子树都满足这个特点，这就是二叉搜索树，那么是如何实现搜索数据的呢？

搜索数据就是判断大小，最多走高度次个语句就可以找到数据了。

那么找数据的时间复杂度是不是O(logn)呢？很显然不是，万一存在只有左子树或者只有右子树有节点的树呢？那样的话时间复杂度就是O(N)了，所以时间复杂度是O(logN ~ N)。

话不多说，现在开始实现。

二叉搜索树的实现

二叉搜索树的基本结构

template <class T>
struct BSTreeNode
{BSTreeNode<T>* _left;BSTreeNode<T>* _right;T _key;BSTreeNode(const T& key):_left(nullptr), _right(nullptr), _key(key){}
};template <class T>
class BSTree
{
public:typedef BSTreeNode<T> Node;private:Node* _root = nullptr;};

这是二叉搜索树的基本结构，每个节点都是一个结构体，好奇的人可能会问为什么值不是val而是key？这是因为二叉搜索树有两个模型，一个是key模型，一个是key-value模型，在key模型中，是不能修改数据的，因为一旦修改了数据整个树的结构就很容易被打乱，在key-value模型中，就可以修改数据，比如有一个数据集合，每个节点都有key和value，每存在一个key，value就++，所以key-value模型中能修改数据，但是修改的是value，即值出现的次数，总结就是能修改的数据就是对整棵树的结构没有影响的数据。

增

增的基本逻辑就是，如果比当前位置的值大，就走右子树，如果比当前位置的值小，就走左子树，如果该树是一个空树，那么这个值就充当根节点。当走到空了，我们就应该考虑连接的部分了，连接的时候，我们需要父节点，判断该值和父节点的大小，再使父节点的左右指针指向这个节点，既然需要父节点，我们这个时候就需要存储父节点的位置，每当走下个节点的时候，就存储一下父节点的位置，基本逻辑就这么多:

bool Insert(const T& val)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(val);return true;}Node* root = _root;Node* parent = nullptr;//判断部分while (root){if (val > root->_key){parent = root;root = root->_right;}else if (val < root->_key){parent = root;root = root->_left;}else{return false;}}Node* newnode = new Node(val);//连接部分 开始判断大小关系if (parent->_key > val){parent->_left = newnode;}else{parent->_right = newnode;}return true;
}

当然，为了方便，我们都写成了成员函数。

这里有个问题就是，如果存在两个相同的数据怎么办？

实际来说二叉搜索树是不允许存在相同的数据的，这样导致了数据冗余，就像字典里面，存在相同的两个单词吗?不会的是吧，所以我们就不考虑多种相同数据的情况，代码里面返回的就是false。

查

查就很简单了，查就是增的部分代码，遍历一遍，比较有没有这个值就行，遍历多简单，小就走左子树，大就走右子树，相等就返回true：

//查
Node* FindKey(const  T& val)
{Node* root = _root;while (root){if (val > root->_key){root = root->_right;}else if (val < root->_left){root = root->_left;}else{return root;}}return nullptr;
}

中序遍历

数据加上了，也可以查数据了，我们现在想把数据打印出来看一下怎么办呢？这里推荐使用中序遍历，左子树根右子树这样的顺序打印，因为二叉搜索树的特性，这里打印出来就是升序，看着较为顺眼：

//中序遍历
void InOrder()
{_InOrder(_root);cout << endl;
}
private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}

感觉奇怪吧？为什么InOrder的参数不用Node* root呢？因为存在this指针，this指针是在参数的第一个位置，如果我们传参，传的是根，接受到的还是this指针，就冲突了，所以这里有几个办法，第一个是用一个get set函数，这个方法java比较喜欢使用，第二个方法就是设为私有，套一层函数使用吗，私有函数就没有this指针了。

删

到现在是不是都感觉二叉搜索树没啥？那是因为还没有到删除部分。删除部分才是二叉搜索树的核心。

给定一个二叉搜索树，删除可以分为以下几种情况，第一种情况是删除7 和 14，第二种情况是删除3 和 8。

第一种情况是属于可以直接删除的情况。

对于直接删除的情况，我们分为左右指针都为空，左指针为空，右指针为空的三种情况，实际上，我们可以只分为两种情况，第一种是左指针为空，第二种是右指针为空，比如7，删除7就是让6指向7的任意左右指针就可以了，删除14，我们需要让10的右指针指向13，有一个点就是为什么10指向的地方一定是比10大的？因为二叉树的特性，如果是9，就一定不会在10的下面。

我们可以总结以下，删除的时候，先判断是左为空还是右为空，然后判断子节点和父节点的位置，这样好让父节点指向下一个指针，连接的主要根据就是判断子节点和父节点相对位置。

如果两个都为空怎么办？我们已知一个节点不为空，另一个节点为不为空我们都指向它，总归是没错的。这点可以反证。当我们删除的是根节点的时候，只需要让根节点指向的内容是空就可以了，所以无论我们把删除根节点的位置放在左为空还是右为空都没问题。

到这里两个都为空的问题也就顺理成章的解决了，两个都为空，来就直接走左为空的场景，判断相对位置，父节点连接子节点的右节点，连接的是空指针，解决了就。

这部分的代码如下：

Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
//先找到 找到该节点才能删除
while (cur)
{if (cur->_key < val){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > val){parent = cur;cur = cur->_left;}//找到了 开始删除else{///第一种情况：左为空 -> 都为空if (cur->_left == nullptr){//删除根节点的时候if (cur == _root){cur = cur->_right;}else{if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_right;}else{parent->_right = cur->_right;}}///第二种情况：右为空else if (cur->_right == nullptr){if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_left;}else{parent->_right = cur->_left;}}}
}

第二种情况是删除3 和 8 的情况，这种就要麻烦一点，删除的话得用替换法，因为我们没有办法之直接删除它，那么是怎么个替换法呢？我们从树里面找一个数据，满足大于该节点的左节点，小于该节点的右节点，就算是替换完成了。

那么从哪里找这种适配的数据呢？当然是从该节点的左右子树去找了，我们找右子树的最小值，或者是左子树的最大值都可以满足，右子树的最小值，即比右节点的值小，但是同时比左节点大，这就满足了，找到了该值之后，我们要做的是交换数据，交换了数据之后，我们应该怎么样删除右子树的最小值的节点呢？有人提议说用递归删除，比如删除3，用4进行替换，我们删除得先找到这个数据吧，关键问题是根本找不到这个数据，因为交换了数据之后树的结构算是被轻微破坏了，所以我们想要删除就让它的父节点指向空就可以了，此时也要判断一下相对位置即可，总体删除代码如下：

	bool EraseKey(const T& val){Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;//先找到 找到该节点才能删除while (cur){if (cur->_key < val){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > val){parent = cur;cur = cur->_left;}//找到了 开始删除else{///第一种情况：左为空 -> 都为空if (cur->_left == nullptr){//删除根节点的时候if (cur == _root){cur = cur->_right;}else{if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_right;}else{parent->_right = cur->_right;}}}///第二种情况：右为空else if (cur->_right == nullptr){if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_left;}else{parent->_right = cur->_left;}}///左右都不为空 -> 替换法else{Node* rightMinParent = cur;Node* rightMin = cur->_right;//找右子树的最小值while (rightMin->_left){rightMinParent = rightMin;rightMin = rightMin->_left;}swap(rightMin->_key, cur->_key);if (rightMinParent->_left == rightMin)rightMinParent->_left = rightMin->_right;elserightMinParent->_right = rightMin->_right;}return true;}}return false;}

最后父节点也可以直接指向空的，但是为了代码的美观性，这样写也不是不行。

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