马尔科夫过程论

基础

• $$\begin{gathered} 如果\alpha 是(G_1,A_1)到(G_2,A_2)的可测映象，\beta 是(G_2,A_2)到(G_3,A_3）的可测映象 \\ \beta \alpha (G_1,A_1)到的可测映象，前提是\beta 的定义域包含\alpha (G_1) \end{gathered}$$
• $$\begin{gathered} 设(G,M)为某可测空间，非负函数\phi (A)(A\in M)称为测度 \\ 对M中任一有限或可数多个两两不相交的集A_1,A_2,...,\phi (\cup A_k)=\Sigma \phi (A_k),\phi (G)=1的测度称为概率测度。 \end{gathered}$$
• $令{\alpha }_i为从(G,A)到(G_i,A_i)的可测映象，则由公式$
  α ( w ) = { α 1 ( w ) , α 2 ( w ) , . . . } 所定义的 空间 ( G , A ) 到 ( G 1 × G 2 × . . . . G n , A 1 × A 2 × . . . . ) 的映象是可测的。 \alpha(w)=\{\alpha_1(w),\alpha_2(w),...\}所定义的 \\空间(G,A)到(G_1\times G_2 \times ....G_n,A_1 \times A_2 \times....)的映象是可测的。 α(w)={α1​(w),α2​(w),...}所定义的空间(G,A)到(G1​×G2​×....Gn​,A1​×A2​×....)的映象是可测的。
• $如果0\le f_n(w)\uparrow f(w)对一切w\in A成立，则$
  $$\lim {\int }_A{f}_n(w)\phi (dw)={\int }_A{f}_n(w)\phi (dw)$$
• $如果对于一切w\in A,f_n(w)\to f(w)，|f_n(w)|<g(w)，且g在A上\phi 可积，则$
  $$\lim {\int }_A{f}_n(w)\phi (dw)={\int }_A{f}_n(w)\phi (dw)$$
• $令M_i为G_i中的\sigma 代数，{\phi }_i为M_i上的测度(i=1,2)，设f(w_1,w_2)是G_1\times G_2上的M_1\times M_2可测函数，则$
  $$\begin{gathered} {\int }_{G_1}[{\int }_{G_2}\mid f(w_1,w_2)\mid {\phi }_2(d{w}_2)]{\phi }_1(d{w}_1)<\infty ，则 \\ {\int }_{G_1}[{\int }_{G_2}\mid f(w_1,w_2)\mid {\phi }_2(d{w}_2)]{\phi }_1(d{w}_1)={\int }_{G_2}[{\int }_{G_1}\mid f(w_1,w_2)\mid {\phi }_2(d{w}_1)]{\phi }_1(d{w}_2) \end{gathered}$$
• 未完，待续写

理论

函数系的定义、例子和分类

一、函数系的定义

函数系是指由一组函数构成的集合，这些函数之间可能具有某种特定的关系或性质。在数学中，函数系的概念广泛应用于多个领域，如数学分析、泛函分析、逼近论等。函数系中的函数可以是同一类型的，也可以是不同类型的，关键在于它们之间的某种联系或共性。

二、函数系的例子

1. 正交多项式函数系：

   • 定义：在某一区间内，如果一组多项式函数满足正交性条件，即任意两个不同次数的多项式在该区间内的积分为零，则这组多项式构成一个正交多项式函数系。
   • 例子：勒让德多项式、切比雪夫多项式等。这些多项式在数值分析、逼近论等领域有重要应用。

2. 三角函数系：

   • 定义：在$[-\pi ,\pi ]$区间内，由常数1、正弦函数和余弦函数及其整数倍角函数构成的集合构成一个正交函数系。
   • 例子： { 1 , sin ⁡ x , cos ⁡ x , sin ⁡ 2 x , cos ⁡ 2 x , … , sin ⁡ n x , cos ⁡ n x , … } \{1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, \ldots, \sin nx, \cos nx, \ldots\} {1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,…,sinnx,cosnx,…}。这是傅里叶级数展开的基础，广泛应用于信号处理、图像处理等领域。

3. 幂函数系：

   • 定义：虽然幂函数系 { 1 , x , x 2 , x 3 , … } \{1, x, x^2, x^3, \ldots\} {1,x,x2,x3,…}在一般区间内不是正交的，但它在某些特定问题中仍具有重要作用。例如，在泰勒级数展开中，幂函数系用于表示函数的局部近似。

三、函数系的分类

函数系可以根据不同的标准和性质进行分类，以下是一些常见的分类方式：

1. 按正交性分类：

   • 正交函数系：如上所述，满足正交性条件的函数系。
   • 非正交函数系：不满足正交性条件的函数系。

2. 按函数类型分类：

   • 多项式函数系：由多项式函数构成的集合。
   • 三角函数系：由三角函数及其整数倍角函数构成的集合。
   • 指数函数系：由指数函数构成的集合，尽管它们不常作为一个完整的函数系出现，但在某些特定问题中有重要应用。
   • 其他类型函数系：如对数函数系、双曲函数系等，根据具体问题的需要而定。

3. 按应用领域分类：

   • 数学分析中的函数系：如用于逼近论的勒让德多项式、切比雪夫多项式等。
   • 物理学中的函数系：如量子力学中的本征函数系、波动方程中的解函数系等。
   • 工程学中的函数系：如信号处理中的傅里叶级数展开所用的三角函数系、图像处理中的小波函数系等。

请注意，以上分类方式并不是严格的，函数系可以根据不同的需求和标准进行分类。在实际应用中，函数系的选择和构造往往取决于具体问题的性质和需求。

勒贝格积分

是现代数学中的一个重要积分概念，它扩展了传统积分运算的适用范围，并提供了更一般的积分定义和计算方法。以下是对勒贝格积分的定义、计算及例子的详细描述：

一、定义

勒贝格积分是以法国数学家昂利·勒贝格命名的，他于1904年引入了这一积分定义。勒贝格积分将积分运算扩展到任何测度空间中，并允许对更广泛的函数进行积分。在最简单的情况下，勒贝格积分可以看作是对一个非负函数的积分，其值等于该函数图像与轴之间“面积”的某种广义度量。

具体来说，设$E$是实数集$R$上的一个可测集，$f(x)$是定义在$E$上的非负可测函数。则$f(x)$在$E$上的勒贝格积分定义为：

$${\int }_{E}f(x)dx=\sup \left\{{\int }_E\varphi (x)dx:\varphi (x)\text{ 是 }E\text{ 上的非负简单函数，且 }0\le \varphi (x)\le f(x)\right\}$$

这里，非负简单函数是指那些取值有限个非负常数的函数，且每个常数值只在可测集上取得。这个定义通过一系列非负简单函数来逼近原函数，并取这些逼近函数积分的上确界作为原函数的勒贝格积分。

二、计算

勒贝格积分的计算方法相对复杂，但可以通过一系列定理和性质来简化。以下是一些与计算相关的定理和方法：

1. 单调收敛定理：如果非负函数列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)}在可测集$E$上单调增加且逐点收敛到函数$f(x)$，则${\lim }_{n\to \infty }{\int }_E{f}_n(x)dx={\int }_{E}f(x)dx$。
2. 法图引理：如果非负函数列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)}在可测集$E$上逐点收敛到函数$f(x)$，且对任意$n$，${\int }_E{f}_n(x)dx\le M$（其中$M$是某个常数），则${\lim }_{n\to \infty }{\int }_E{f}_n(x)dx={\int }_{E}f(x)dx$。
3. 逐项积分定理：如果 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)}是可测集$E$上的一列非负可测函数，则${\int }_E{\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_n(x)dx={\sum }_{n=1}^{\infty }{\int }_E{f}_n(x)dx$（假设右边的级数收敛）。

在实际问题中，勒贝格积分的计算往往需要结合具体问题的特性和上述定理来进行。

三、例子

考虑狄利克雷函数$D(x)$，其定义为：

$$D(x)=\{\begin{array}{ll}1,& \text{如果 }x\text{ 是有理数}\\ 0,& \text{如果 }x\text{ 是无理数}\end{array}$$

这个函数在实数集上几乎处处不连续，因此没有黎曼积分。但是，在勒贝格积分的框架下，我们可以计算它在整个实数集$R$上的积分。由于有理数集$Q$在实数集$R$中是可数的，因此其勒贝格测度为0（即$m(Q)=0$）。而无理数集$Q^c$（即$R-Q$）是$R$的剩余部分，其勒贝格测度为无穷大（即$m(Q^c)=+\infty$）。因此，狄利克雷函数在整个实数集上的勒贝格积分为：

$${\int }_{R}D(x)dx=1\cdot m(Q)+0\cdot m(Q^c)=1\cdot 0+0\cdot +\infty =0$$

这个例子展示了勒贝格积分在处理不连续函数时的优势。

参考文献

1.文心一言

2.《邓肯-马尔科夫过程论》