子群

难点与例子

• 在 z 10 中，令 H = { 2 ˉ , 4 ˉ , 6 ˉ , 8 ˉ } , 证明： H 中关于剩余类的乘法构成群， H 是 ( Z 10 , . ) 的子群 在z_{10}中，令H=\{\bar 2,\bar 4,\bar 6,\bar 8\},证明：H中关于剩余类的乘法构成群，H是(Z_{10},.)的子群 在z10​中，令H={2ˉ,4ˉ,6ˉ,8ˉ},证明：H中关于剩余类的乘法构成群，H是(Z10​,.)的子群
  $$\begin{gathered} 1.H中元素关于H乘法运算封闭。 \\ 2.剩余类乘法满足交换律和结合律。 \\ 3.Z_{10}单位元是\bar{6},因为，\bar{4}\bar{6}=\bar{4}，可检验其它元素,\bar{6}也是H的单位元。 \\ 4.逆元：{\bar{2}}^{-1}=\bar{8},{\bar{4}}^{-1}=\bar{4},{\bar{6}}^{-1}=\bar{6},{\bar{8}}^{-1}=\bar{2}，逆元均在H中，所有元素均可逆。 \\ 5.(Z_{10},.)不构成群 \\ (1)单位元为\bar{1} \\ (2)满足结合律 \\ (3)有些元素没逆元，只有当元素a\in Z_{10}，(a,m)=1时，才有逆元。 \\ 比如\bar{2}没有逆元，{\bar{2}}^{-1}=?，在z_{10}中找不到！ \\ (4)Z_{10}关于乘法不构成群。 \end{gathered}$$
• G = G L 2 ( R ) ， H = { A ∈ G ∣ d e t ( A ) 是 3 的整数次幂 } ，证明： H 是 G 的子群。 G=GL_2(R)，H=\{A \in G|det(A)是3的整数次幂\}，证明：H是G的子群。 G=GL2​(R)，H={A∈G∣det(A)是3的整数次幂}，证明：H是G的子群。
  $$\begin{gathered} \forall A,B\in G,det(A)=3^m,det(B)=3^n,m,n\in Z \\ det(A{B}^{-1})=det(A)det(B{)}^{-1}=3^m{3}^{-n}=e^{m-n}=>A{B}^{-1}\in H \end{gathered}$$
• G是交换群，m是固定的整数，令
  H = { a ∈ G ∣ a m = e } H=\{a \in G|a^m=e\} H={a∈G∣am=e}，证明H是G的子群。
  $$\begin{gathered} \forall a,b\in H,a^m=e,b^m=e \\ e\in H \\ (a{b}^{-1}{)}^m=a{b}^{-m}=a^m(b^m{)}^{-1}=e{e}^{-1}=e \end{gathered}$$
• 设a是群G的元素，定义a在G中的中心化子为
  C ( a ) = { g ∈ G ∣ g a = a g } C(a)=\{g \in G|ga=ag\} C(a)={g∈G∣ga=ag}
  证：C(a)是G的子群
  $$\begin{gathered} g_1\in C(a),g_2\in C(a) \\ {g}_{1}a=a{g}_1,g_{2}a=a{g}_2 \\ {g}_1^{-1}a=a{g}_1^{-1},g_2^{-1}a=a{g}_2^{-1} \\ {g}_1{g}_2^{-1}a=g_{1}a{g}_2^{-1}=a{g}_1{g}_2^{-1} \end{gathered}$$

中心化子与正规化子

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中心化子（centralizer）是数学中的一个重要概念，特别是在群论中。以下是关于中心化子的详细解释：

定义

• 设$g$是群$G$中的一个元素，则集合 C ( g ) = { a ∈ G ∣ a g = g a } C(g) = \{a \in G \mid ag = ga\} C(g)={a∈G∣ag=ga}称为$g$在$G$中的中心化子（centralizer）。这个集合包含了群$G$中所有与$g$可交换的元素。
• 更一般地，设集合$S$是群$G$的子集（不必是子群），则集合 C ( S ) = { a ∈ G ∣ a g = g a , ∀ g ∈ S } C(S) = \{a \in G \mid ag = ga, \forall g \in S\} C(S)={a∈G∣ag=ga,∀g∈S}称为$S$在$G$中的中心化子。这个集合包含了群$G$中所有与$S$中所有元素都可交换的元素。

性质

• $C(S)$是群$G$的子群。这是因为如果$x,y\in C(S)$，那么对于所有$s\in S$，有$x{y}^{-1}s=xs{y}^{-1}=sx{y}^{-1}$，从而$x{y}^{-1}\in C(S)$。
• 如果$H$是群$G$的子群，且$a\in G$，则$C_H(a)=C_G(a)\cap H$。这里，$C_G(a)$表示$a$在群$G$中的中心化子，而$C_H(a)$表示$a$在子群$H$中的中心化子。
• 群$G$的中心$Z(G)$是$G$本身在$G$中的中心化子，即$Z(G)=C_G(G)$。群的中心既是正规子群也是交换群，并且具有许多其他重要属性。

与正规化子的关系

• 正规化子（normalizer）是另一个与中心化子密切相关的概念。设$S$是群$G$的子集，则$S$在$G$中的正规化子 N G ( S ) = { g ∈ G ∣ g S = S g } N_G(S) = \{g \in G \mid gS = Sg\} NG​(S)={g∈G∣gS=Sg}。
• 直观上，正规化子要求的是集合$S$作为一个整体在群$G$的某个元素作用下保持不变，而中心化子则要求的是集合$S$中的每个元素都与群$G$中的某个元素可交换。因此，中心化子的要求比正规化子更为严格。
• 值得注意的是，对于群$G$中的任意子集$S$，其中心化子$C_G(S)$总是其正规化子$N_G(S)$的正规子群。

应用

中心化子在群论、代数几何、李代数等多个数学分支中都有重要应用。例如，在研究群的结构和性质时，中心化子可以帮助我们理解群中的可交换元素和子群的结构；在李代数中，中心化子则用于描述李代数中的可交换元素和子代数。

以上信息主要基于群论中的相关定义和性质，希望对您有所帮助。

det

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概述

"det"在数学和线性代数中，特别是在矩阵的上下文中，通常指的是矩阵的行列式（Determinant）。行列式是一个将方阵（即行数和列数相等的矩阵）映射到标量（即单一数值）的函数。行列式的值反映了矩阵的某些重要性质，比如矩阵是否可逆（非奇异）、矩阵的线性变换对面积或体积的影响等。

行列式的计算对于理解矩阵的性质和解决线性方程组、计算矩阵的逆等问题至关重要。对于2x2矩阵，其行列式的计算公式为：

$$\text{det}\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$$

对于更高阶的矩阵，行列式的计算通常更加复杂，但可以通过递归的方式（如拉普拉斯展开）或使用特定的算法（如高斯消元法结合行列式展开定理）来计算。

行列式还具有一些重要的性质，比如：

1. 单位矩阵的行列式是1。
2. 如果矩阵的某一行或列是零向量，则行列式为0。
3. 交换矩阵的两行或两列，行列式的符号会改变。
4. 如果矩阵的某一行或列是另一行或列的倍数，则行列式为0。
5. 矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式。

这些性质在矩阵理论和线性代数中有着广泛的应用。

两个矩阵乘积的行列式等于这两个矩阵行列式的乘积

在矩阵理论中，有一个非常重要的性质，即两个矩阵乘积的行列式等于这两个矩阵行列式的乘积。这个性质可以表示为：

$$\text{det}(AB)=\text{det}(A)\cdot \text{det}(B)$$

其中，$A$ 和 $B$ 是两个方阵（即行数和列数相等的矩阵），且它们的乘积 $AB$ 也是方阵。

这个性质可以通过多种方法证明，但在这里，我们可以从直观上理解它为什么成立。

首先，考虑矩阵的行列式作为矩阵所代表的线性变换对空间体积（或面积，在二维情况下）的缩放因子。当矩阵 $A$ 和 $B$ 相继作用于一个空间时，它们分别对这个空间进行了两次线性变换。第一次变换由 $A$ 完成，它将空间缩放了一个 $\text{det}(A)$ 倍；第二次变换由 $B$ 完成，它在已经由 $A$ 变换过的空间上再缩放一个 $\text{det}(B)$ 倍。因此，两次变换的总效果是将原始空间缩放了 $\text{det}(A)\cdot \text{det}(B)$ 倍。

从数学的角度来看，这个性质可以通过行列式的定义和性质来证明。例如，可以使用拉普拉斯展开（Laplace expansion）或代数余子式（cofactors）来展开 $\text{det}(AB)$，并证明它等于 $\text{det}(A)\cdot \text{det}(B)$。然而，这种证明通常比较复杂，需要一定的矩阵理论和代数技巧。

总之，$\text{det}(AB)=\text{det}(A)\cdot \text{det}(B)$ 是矩阵理论中的一个基本且重要的性质，它在解决线性方程组、计算矩阵的逆、判断矩阵是否可逆等问题中都有广泛的应用。

参考文献

1.《近世代数（第三版）》